Rodzaje operatorów

Operator matematyczny

Jest to skrócony sposób przedstawienia działania matematycznego . operator działa zwykle na jakąś funkcję i wyróżniamy go daszkiem.

Operator różniczkowania 

Operator położenia 

Najczęściej spotykany operator w mechanice kwantowej, który jest związany z wektorem położenia:

Oraz ze składowymi gradientu:

Operator położenia  jest to zbiór reguł odwzorowujących dowolną funkcję f w jakiejś przestrzeni w inną funkcję g tej samej przestrzeni: g=

Operator iloczyn  *x

Działanie tego operatora na funkcje f rozumiemy jako:

Nie jest to obojętna kolejność operatorów bo dla odwrotnej kolejności mamy:

Operatory działają na funkcję która znajduje sie z prawej strony – w kolejności od prawej do lewej.

(to obowiązuje)

Operator liniowy

Jest to operator , który spełnia następujące dwa warunki:

Oraz 

Gdzie c to stała

Wszystkie operatory występujące w mechanice kwantowej są operatorami liniowymi.

Dla potrzeb mechaniki kwantowej wprowadza się jeszcze dwa operatory:

Operator energii całkowitej układu 

Operator momentu pędu układu 

Operator energii całkowitej układu  :

Operator ten zwany hamiltonianem wynika z teorii schrodingera

W równaniu stacjonarnym :



Ogólnie równanie ma postać



Gdzie  = ( )

Operator momentu pędu układu:

Jest to bardzo ważny operator, bo zawiera dwiae mierzalne wielkości cząstki: pęd i położenie.

Jest to iloczyn wektorowy:

Gdzie r wektor położenia

P – wektor pędu

Operator całkowitego momentu pędu to suma składowych

 - to trzeba poprawić

( do tego miejsca obowiązuje na kolokwium)

W zapisie macierzowym mamy:

 dokończyć

Gdzie 

Z zapisu macierzowego możemy określić wszystkie składowe operatory momentu pędu, np.

Wektor 

Operator :

Wartość momentu pędu jest to jeden z najważniejszych parametrów elektronu w atomie.

Definicje terminów związanych z rachunkiem operatorowym

Komutacja i komomutator

Gdy wynik działania kilku operatorów na funkcje zależy od porządku ich działania, to są one nieprzemienne, czyli nie komutują.

W ogólności wynik działania operatorowego dwóch operatorów

Przykłady operatory nieprzemienne – nie komutują (komutator 

gdy  … wówczas:

zaś po zamianie:…

2) operatory przemienne – komutują (komutator =0)

Gdy

To

Oraz

Czyli:

Komentarz

Ta właściwość przemienności operatorów wiąże się ściśle z zasadą Heisenberga.

W mechanice kwantowej dowodzi się , ze tylko ta wielkości obserwowalne, których operatory są przemienne mogą być zmierzone z nieograniczoną dokładnością.

Jeżeli zaś operatory dwóch wielkości obserwowalnych nie są przemienne, zawsze wystąpi pewna dolna granica błędu pomiaru( nie mogą być wyznaczone z dowolną dokładnością)

tak np. było w wypadku pomiaru położenia x i pędu px

według Heisenberga ta niedokładność wynosi:

delta x * delta px większe równe h kreślone

funkcja symetryczna i antysymetryczna

w mechanice kwantowej funkcja falowa , która nie ulega zmianie po przestawieniu współrzędnych nosi nazwę symetrycznej.

Stosuje sie tu operator permutacji  którego działanie na funkcję ψ polega na przestawieniu współrzędnych np.

Cząstek:

F(x1, x2)=

Funkcja antysymetryczna

Funkcja , która zmienia tylko swój znak po przestawieniu współrzędnych nazywa się antysymetryczna.

Funkcja własna i wartość własna

Jeżeli działanie operatora  na jakąś funkcję f_n sprowadza się jedynie do pomnożenia tej funkcji przez jakąś liczbę a_n , to funkcję f_n nazywamy funkcją własną operatora  zaś liczbę a_n – wartością własną operatora  :

(1)

 f_n= a_n f_n

Równanie to nazywamy zagadnieniem własnym operatora 

Przykłady :

Działanie operatora d^2/ dx^2 na funkcję sin3x jest równoważne pomnożeniu tej funkcji przez stałą -9.

-9 jest to wartość własna operatora d^2/ dx^2

Sin3x jest to funkcja własna operatora d^2/ dx^2

Funkcja 

W ogólnym wzorze, który opisuje zagadnienie własne operatora 

 f_n= a_n f_n

Wskaźnik n oznacza, ze jednej funckji własnej może odpowiadac więcej niż jedna wartość własna. Mówimy wtedy , ze taka funkcja jest n- krotnie zdegenerowana – ma to miejsce w wypadku poziomów energetycznych w atomie.

(przerywnik)

Niels bohr- duński fizyk, reprezentant dani w piłce nożnej

Nagrodę nobla otrzymał w 1922r. za badania nad struktura atomu i zjawiskiem promieniowania w atomach. Aby uczcić bohra jego nazwiskiem nazwano pierwiastek o liczbie atomowej 107 – bohr.

(lantanowce miały być opowiedziane na nastepnych zajęciach )

Niels bohr był dowcipny:

„ekspert to człowiek, który w bardzo wąskiej dziedzinie zrobił wszystkie możliwe błędy”

Był też roztropny . na pytanie o podkowę na jego drzwiach:

„czyżby pan takie wielki uczony, wierzył , ze podkowa przynosi szczęście”- bohr odpowiedział:

„nie ale powiedziano mi że podkowa przynosi szczęście tym którzy w to nie wierzą”

Bohr nie nauczył się języka angielskiego posługiwał się językiem będącym mieszanka duńskiego angielskiego i niemieckiego (na część większość konferencji trzeba było wynajmować tłumacza)

Einstein nie mógł kupować tytoniu- tak mu zabronili lekarze zakradł sie więc do pokoju bohra by mu go ukraść.

Pytania sprawdzian nr. 1

Efekt fotoelektryczny – stanowisko pomiarowe i analiza wyników doświadczalnych

Efekt comptona – wyjaśnić na rysunkach i przeprowadzić alalizę (bez wzorów)

Co to są fale de brogliea i podać warunek interferencji

Zasada heisenberga jako kompromis (pokazać na rysunku) i przeprowadzić analizę

Interpretacja podstawowych zjawisk klasyczna i kwantowa (tabela)

Cechy funkcji falowej

Interpretacja wyników pomiaru jako prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej

Podać ogólne równanie schrodingera wraz z objaśnieniem wszystkich symboli

Wymienić rodzaje operatorów stosowanych w mechanice kwantowej z krótkim objaśnieniem (bez wzorów)

Co to jest komutator i komutacja

(oceniane będzie każde słowo za każde ważne słowo jest punkt)(jak pisze że nie pisać wzorów to nie piszemy bo nie bedą oceniane)

Co to jest wartość własna i funkcja własna.