Analiza matematyczna 1/Wykład 1: Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

Rozpoczynamy od przeglądu najważniejszych pojęć i twierdzeń, które są omawiane w szkole średniej lub w ramach innych przedmiotów objętych programem studiów (logika i teoria mnogości, algebra liniowa z geometrią analityczną, matematyka dyskretna).

Oznaczenia zbiorów liczbowych

Przypomnijmy powszechnie stosowane oznaczenia zbiorów liczbowych.

Zbiór nazywamy zbiorem liczb naturalnych lub zbiorem liczb całkowitych dodatnich.

Zbiór nazywamy zbiorem liczb całkowitych nieujemnych. Wielu nazywa ten zbiór także zbiorem liczb naturalnych. Na ogół nie prowadzi to do nieporozumień.

Z kolei zbiór nazywamy zbiorem liczb całkowitych.

Zbiór , czyli zbiór ułamków o całkowitym liczniku i naturalnym mianowniku, nazywamy zbiorem liczb wymiernych.

Literą będziemy oznaczać zbiór liczb rzeczywistych, a literą - zbiór liczb zespolonych.

Przedziały. Kresy

Definicja 1.1.

Rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi elementami plus nieskończoność oraz minus nieskończoność tak, że w zbiorze liczb rzeczywistych zachowany jest naturalny porządek zadany przez relację nierówności, natomiast element plus nieskończoność następuje po każdej liczbie rzeczywistej, a element minus nieskończoność poprzedza dowolną liczbę rzeczywistą.

Definicja 1.2.

Niech , będą dowolnymi elementami zbioru . Jeśli to każdy ze zbiorów:

nazywamy przedziałem o końcach , , przedziałem - odpowiednio - domkniętym, otwartym, lewostronnie domkniętym, prawostronnie domkniętym.

Niech będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru .

Definicja 1.3.

Ograniczeniem górnym zbioru nazywamy dowolny element zbioru nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru .

Definicja 1.4.

Ograniczeniem dolnym zbioru nazywamy dowolny element zbioru nie większy od dowolnego elementu zbioru .

Definicja 1.5.

Najmniejsze ograniczenie górne zbioru nazywamy kresem górnym zbioru (lub: supremum zbioru ) i oznaczamy symbolem .

Definicja 1.6.

Największe ograniczenie dolne zbioru nazywamy kresem dolnym zbioru (lub: infimum zbioru ) i oznaczamy symbolem .

Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny

Definicja 1.7.

Ciąg o wyrazach gdzie nazywamy ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie i różnicy

Definicja 1.8.

Niech i Ciąg o wyrazach , gdzie nazwyamy ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie i ilorazie .

Przypomnijmy, że

Uwaga 1.9.

Jeśli jest ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie i różnicy , to

Uwaga 1.10.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej i dowolnej liczby naturalnej zachodzi równość

(Jeśli , mamy oczywistą równość )

Wniosek 1.11.

Jeśli jest ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie i ilorazie , to

Przykład 1.12.

Rozważmy zbiór skończonych sum kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie i nieujemnym ilorazie . Zauważmy, że jeśli , to

gdyż . Stąd zarówno liczba jak i każda liczba większa od niej są ograniczeniami górnymi zbioru . Najmniejszym z ograniczeń górnych zbioru jest liczba , gdyż wartość ułamka może być dowolnie mała i bliska zeru dla dużych liczb naturalnych . Jeśli natomiast iloraz , to jedynym ograniczeniem górnym każdej z sum jest plus nieskończoność. Wówczas też kresem górnym zbioru sum jest plus nieskończoność.

Do rozważań dotyczących ciągów i nieskończonych sum składników (szeregów) powrócimy w kolejnych modułach.

Odnotujmy jednak jeszcze następującą uwagę.

Uwaga 1.13.

Jeśli , to suma nieskończenie wielu składników , jest równa , co zapisujemy:

Liczby wymierne

Przykład 1.14.

Już w szkole podstawowej dowiedzieliśmy się, że

Zwróćmy uwagę, że okresowe rozwinięcie dziesiętne wyraża nieskończoną sumę składników

Przykład 1.15.

Przypomnijmy jeszcze szkolny sposób zamiany ułamka okresowego na iloraz dwóch liczb całkowitych. Rozważmy na przykład liczbę

która wyraża sumę nieskończonej liczby składników

Zauważmy też, że różnica

jest liczbą całkowitą. Stąd jest liczbą wymierną.

Rozumując, podobnie jak w powyższym przykładzie, można wykazać ogólnie, że

Uwaga 1.16.

Liczba rzeczywista jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy ma okresowe rozwinięcie dziesiętne.

Przykład 1.17.

Liczba

w której rozwinięciu dziesiętnym znajdują się kolejno cyfry wyrażające następujące po sobie liczby naturalne, nie jest wymierna, gdyż nie ma okresowego rozwinięcia dziesiętnego.

Iloczyn kartezjański. Współrzędne biegunowe

Niech i będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

Definicja 1.18.

Iloczynem kartezjańskim zbiorów i nazywamy zbiór par uporządkowanych takich, że i , tj.

Przypomnijmy, że dowolny punkt w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych można jednoznacznie przedstawić za pomocą pary liczb rzeczywistych .

Niech będzie odległością punktu od początku układu współrzędnych. Jeśli , niech będzie kątem (skierowanym), jaki tworzą dodatnia półoś osi odciętych (tj.dodatnia półoś osi ) z promieniem wodzącym punktu . Równość jednoznacznie przedstawia początek układu współrzędnych, można przyjąć w tym przypadku, że jest dowolną liczbą.

Zauważmy, że oraz .

Definicja 1.19.

Parę liczb , gdzie oraz , nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu .

Uwaga 1.20.

Niech dane będą liczby rzeczywiste oraz . Układ równań

z niewiadomymi , spełnia dokładnie jeden promień oraz nieskończona liczba różnych kątów postaci gdzie jest kątem między dodatnią półosią odciętych a promieniem wodzącym punktu , zaś jest dowolną liczbą całkowitą.

Liczby zespolone

Definicja 1.21.

W iloczynie kartezjańskim definiujemy sumę oraz iloczyn par oraz następująco

Definicja 1.22.

Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych
i oznaczamy literą

Uwaga 1.23.

a) Suma i iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.
b) Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami łącznymi i przemiennymi, tzn.

dla dowolnych liczb zespolonych
c) Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.

dla dowolnych liczb zespolonych oraz

Definicja 1.24.

Jeśli jest liczbą zespoloną, to pierwszy element pary nazywamy częścią rzeczywistą liczby i oznaczamy symbolem (lub ), a drugi element tej pary - częścią urojoną liczby i oznaczamy (lub ).

Zauważmy, że każdej liczbie zespolonej odpowiada dokładnie jeden punkt w prostokątnym układzie współrzędnych. Tradycyjnie mówimy więc o płaszczyźnie zespolonej Oś odciętych na płaszczyźnie nazywamy osią rzeczywistą, a oś rzędnych osią urojoną.

Definicja 1.25.

Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną .

Uwaga 1.26.

a) Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci sumy
b) Kwadrat jednostki urojonej wynosi , gdyż
c) Jeśli oraz , to sumę i iloczyn liczb możemy wyznaczyć tak, jak zwykliśmy przekształcać wyrażenia algebraiczne, traktując jednostkę urojoną jak parametr i pamiętać, że . Mamy więc

oraz

Uwaga 1.27.

Dowolną liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej , gdzie , a jest dowolnym kątem takim, że

.

Wiemy, że kątów takich jest nieskończenie wiele.

Definicja 1.28.

Jeśli , to liczbę nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy , a każdy z kątów takich, że zachodzą równości , nazywamy argumentem liczby i oznaczamy . Najmniejszy nieujemny argument liczby zespolonej nazywamy argumentem głównym tej liczby i oznaczamy .

Wyrażenie będziemy

krótko notować w postaci wykładniczej lub pomijając na razie zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji.

Odtąd liczbę zespoloną o module i argumencie będziemy zapisywać w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej

Definicja 1.29.

Sprzężeniem liczby zespolonej nazywamy liczbę .

Uwaga 1.30.

a) Liczba jest obrazem liczby w symetrii względem osi rzeczywistej.
b) Dla dowolnej liczby zachodzi równość:
c) Jeśli to
d) Jeśli oraz to to znaczy moduł iloczynu liczb jest iloczynem modułów i tych liczb, a argument iloczynu liczb zespolonych jest sumą ich argumentów.

Dowód 1.30.

Uwagi a), b), c) wynikają bezpośrednio z definicji sprzężenia i interpretacji geometrycznej liczb zespolonych. Zauważmy, że

Z punktu d) powyższej uwagi wynika następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.31. [wzór de Moivre'a]

Dla dowolnej liczby zespolonej i dowolnej liczby naturalnej zachodzi równość:

którą można również wyrazić w postaci wykładniczej:

Zanotujmy jeszcze nastepujący

Wniosek 1.32.

Jeśli jest dowolną liczbą zespoloną różną od zera, zaś -- dowolną liczbą naturalną, to równanie spełnia dokładnie liczb zespolonych

gdzie .

Dowód 1.32.

[Szkic] Korzystając ze wzoru de Moivre'a, stwierdzamy, że a więc każda z liczb spełnia dane równanie. Zauważmy ponadto, że gdybyśmy nie ograniczyli zakresu parametru do zbioru liczb całkowitych nieujemnych od do , to i tak nie otrzymalibyśmy więcej pierwiastków danego równania, gdyż ze względu na okresowość funkcji sinus i cosinus.

Uwaga 1.33

Każdy z pierwiastków równania leży na okręgu o środku w punkcie i promieniu Argument pierwiastka jest
-tą częścią argumentu liczby , a każdy kolejny pierwiastek ma argument o większy od poprzedniego, tzn.

Definicja 1.34.

Każdy z pierwiastków równania nazywamy pierwiastkiem algebraicznym stopnia z liczby

Przykład 1.35.

Każda z liczb

jest pierwiastkiem równania

Przykład 1.36.

Zastosujmy twierdzenie de Moivre'a do wyznaczenia sum

Niech

Zauważmy, że - na mocy twierdzenia de Moivre'a - mamy

oraz dla dowolnej liczby

Stąd

Dla mamy

Stąd - korzystając ze znanych wzorów na różnicę sinusów, odpowiednio: cosinusów - dostajemy

oraz

Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi nierówność: , , więc

Wykazaliśmy w ten sposób

Wniosek 1.37.

Dla dowolnej liczby naturalnej i dowolnych liczb rzeczywistych mamy następujące ograniczenie sum

Zauważmy, że wartość ułamka nie zależy od liczby składników wchodzących w skład powyższych sum cosinusów i sinusów, co stanowi istotę tego oszacowania. Wykorzystamy tę informację, badając zbieżność szeregów w ramach kolejnych modułów.

Dwumian Newtona

Definicja 1.38.

Niech będą dowolnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi. Symbolem Newtona po nazywamy wyrażenie

gdzie symbolem oznaczamy silnię liczby określoną rekurencyjnie: oraz dla .

Przypomnijmy, że

Uwaga 1.39.

a) Dla zachodzą równości: oraz .
b) Dla zachodzi równość .

Równość ta pozwala na wyznaczać wartość zgodnie z regułą nazywaną trójkątem Pascala:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mianowicie - zgodnie z równością wartość symbolu Newtona jest sumą dwóch symboli oraz , które znajdują się bezpośrednio nad symbolem w powyższym trójkącie. Reguła ta staje się bardziej czytelna, jeśli zastąpimy symbole odpowiadającymi im liczbami naturalnymi. Tak jak to jest przedstawione na animacji obok.

Przypomnijmy, że symbole Newtona stanowią współczynniki rozwinięcia wyrażenia zgodnie ze wzorem
dwumianowym Newtona.

Twierdzenie 1.40.

Dla dowolnej liczby naturalnej i dowolnych liczb i zachodzi równość

Zauważmy, że dla wzór Newtona ma postać

Wzory te pamiętamy ze szkoły pod nazwą wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 1.41.

Trójkąt Pascala możemy na przykład wykorzystać do efektywnego wyznaczenia rozwinięcia sumy

Funkcje różnowartościowe. Równoliczność

Niech będzie dowolną funkcją określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze Przypomnijmy kilka pojęć z teorii mnogości.

Definicja 1.42.

Funkcję nazywamy iniekcją zbioru w zbiór , jeśli jest różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów z równości wynika, że

Definicja 1.43.

Funkcję nazywamy suriekcją zbioru na zbiór , jeśli każdy element zbioru jest wartością funkcji to znaczy, że dla dowolnego elementu istnieje element taki, że

Definicja 1.44.

Funkcję nazywamy bijekcją zbioru na zbiór , jeśli jest iniekcją i suriekcją.

Definicja 1.45.

Mówimy, że zbiory są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru na zbiór . Mówimy też wtedy, że zbiory , są tej samej mocy, co zapisujemy krótko lub . Jeśli zbiór zawiera skończoną liczbę elementów równą (innymi słowy: jeśli jest równoliczny ze zbiorem ), to mówimy, że jest zbiorem mocy , co zapisujemy lub .

Przykład 1.46.

a) Można wykazać, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych i ze zbiorem liczb wymiernych.
b) Również każdy nieskończony podzbiór zbioru liczb naturalnych (na przykład zbiór liczb parzystych, zbiór liczb nieparzystych, zbiór liczb pierwszych) jest równoliczny z całym zbiorem liczb naturalnych.

Definicja 1.47.

Zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiorem przeliczalnym. Mówimy też, że moc zbioru przeliczalnego jest równa alef zero, co zapisujemy lub .

Definicja 1.48.

Zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym.

Twierdzenie 1.49.

Zbiór liczb rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Przykład 1.50.

a) Jeśli są dowolnymi elementami zbioru , to każdy z przedziałów jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
b) Co więcej, można również wykazać, że zbiór punktów płaszczyzny jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

Definicja 1.51.

Zbiór równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem mocy continuum, co zapisujemy lub

Przykład 1.52.

Niech

gdzie , będzie ciągiem cyfr rozwinięcia w systemie trójkowym (tj. pozycyjnym systemie o podstawie 3) liczby z przedziału . Rozważmy kolejno zbiory

i tak dalej. Zauważmy, że

to zbiór liczb z przedziału , które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 na pierwszym miejscu po przecinku, zaś

to zbiór liczb z przedziału , które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 ani na pierwszym, ani na drugim miejscu po przecinku, a ogólnie

to zbiór liczb z przedziału , które w rozwinięciu trójkowym nie mają cyfry 1 po przecinku na żadnym z miejsc od pierwszego aż do
-tego włącznie.

Zauważmy, że liczbę można zapisać w systemie trójkowym jako bądź też bez użycia cyfry za pomocą trójkowego ułamka okresowego: . Podobnie . Stąd liczby , ,... ., należą do zbiorów , pomimo że ich ich zapis trójkowy zawiera cyfrę 1. Można je bowiem zapisać również nie używając jedynki.

Z definicji zbiorów wynika, że

Dowodzi się (zob. twierdzenie Cantora o zstępującym ciągu zbiorów domkniętych w przestrzeni zupełnej), że część wspólna nieskończenie wielu zbiorów jest zbiorem niepustym. Zbiór ten zawiera tylko te liczby z przedziału , które można zapisać w systemie trójkowym bez użycia cyfry 1.

Definicja 1.53.

Zbiór

tych liczb z przedziału , które w systemie trójkowym da się zapisać bez użycia cyfry 1, nazywamy trójkowym zbiorem Cantora.

Uwaga 1.54.

Zbiór Cantora jest równoliczny ze zbiorem wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach w zbiorze dwuwartościowym: . Jest więc nieprzeliczalny.

Ćwiczenie 1.1.

Sprawdzić, czy liczby: , , , , należą do trójkowego zbioru Cantora.

Wskazówka

Można posłużyć się kalkulatorem i wyznaczyć przybliżenia dziesiętne podanych liczb. Następnie sprawdzić, czy skazane liczby należą do zbiorów , , , ...

Rozwiązanie

Mamy

gdyż mamy oraz . Stąd żadna z podanych liczb nie należy do trójkowego zbioru Cantora.

Ćwiczenie 1.2.

Wykazać równości

a)

b)

Wskazówka

Zauważmy, że obie równości są do siebie podobne, w tym sensie, że jedną można wyprowadzić z drugiej. Jak? Której równości dowodzi się łatwiej? Czy można zastosować zasadę indukcji matematycznej?

Rozwiązanie

Wykażmy wpierw równość a). Dla mamy , , równość prawdziwą. Wykażemy, że dla dowolnej liczby zachodzi implikacja

Mamy bowiem . Na mocy zasady indukcji matematycznej dana równość zachodzi więc dla dowolnej liczby , dla . b) Zauważmy, że jeśli np. , to zgodnie z powyżej wykazaną równością mamy

Gdy równość również zachodzi.

Ćwiczenie 1.3.

a) Sprawdzić, że , dla dowolnych liczb całkowitych nieujemnych , takich, że .

b) Wykazać wzór dwumianowy Newtona

Wskazówka

a) Zastosować definicję symbolu Newtona.

b) Zastosować zasadę indukcji matematycznej. Pomocna będzie równość wykazana w punkcie a) tego zadania.

Rozwiązanie

Dla wzór jest prawdziwy. Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest implikacja

Przekształćmy

Z zasady indukcji matematycznej wynika więc, że równość zachodzi dla każdej liczby naturalnej

Ćwiczenie 1.4.

Za pomocą zasady indukcji matematycznej wykazać, że dla zachodzą równości

a)

b)

Przypomnijmy, że równości te wyprowadziliśmy w ramach wykładu, korzystając ze wzoru de Moivre'a.

Wskazówka

Zastosować zasadę indukcji matematycznej. Warto przekształcić równość, której dowodzimy, w sposób równoważny, na przykład pomnożyć obie strony równości przez mianownik ułamka po prawej stronie znaku równości.

Rozwiązanie

a) Równość zachodzi dla . Następnie zauważmy, że

Stąd

oraz (po dodaniu do obu stron równości składnika )

Dowodzi to implikacji:

stąd -- na mocy zasady indukcji matematycznej -- wnioskujemy, że równość zachodzi dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej .

b) Podobnie jak w zadaniu a) równość zachodzi dla . Zauważmy, że

Stąd

oraz (po dodaniu do obu stron równości składnika )

Dowodzi to implikacji:

stąd -- na mocy zasady indukcji matematycznej -- wnioskujemy, że równość zachodzi dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej .

Ćwiczenie 1.5.

Uprościć wyrażenia

a)

b)

c)

Wskazówka

a) Zastosować wzór Newtona (i trójkąt Pascala).

b) Można (choć nie warto) zastosować wzór Newtona. Bardziej efektywne w tym zadaniu jest wykorzystanie wzoru de Moivre'a.

c) Czy liczby oraz są kwadratami pewnych liczb postaci ?

Rozwiązanie

a) Po zastosowaniu wzoru Newtona i redukcji otrzymanych składników otrzymujemy

b) Zauważmy, że . Wobec tego na mocy wzoru de Moivre'a dostajemy

c) Zauważmy, że oraz , stąd

Ćwiczenie 1.6.

Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równania

a)

b)

c)

Wskazówka

We wszystkich trzech zadaniach należy zastosować wzór de Moivre'a.

b) Warto zauważyć, że , dla .

c) Po przekształceniu równania warto zauważyć, że .

Rozwiązanie

a) Niech . Wówczas , zaś . Wobec tego na mocy wniosku z twierdzenia de Moivre'a równanie spełnia sześć liczb o module i argumentach głównych równych kolejno . Liczby te są wierzchołkami sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o środku i promieniu i równe są

b) Zauważmy, że dane równanie jest równoważne równaniu , . Spełnia je więc pięć z sześciu pierwiastków równania poza pierwiastkiem . Są to - zgodnie z wnioskiem z twierdzenia de Moivre'a - liczby o module 1 i argumentach głównych równych kolejno , , czyli

7