Politechnika Opolska

Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki

Ekonometria

Kierunek studiów: Informatyka Prowadzący:

Rok akademicki: 2014/2015 dr inż. Arkadiusz Gardecki

Rok studiów: I Wykonał:

Semestr: I Adam Czech

1. Cel projektu

Celem projektu jest stworzenie programu, który z podanych danych statycznych wspomoże budowę jednorównaniowego modelu ekonometrycznego. Program ten ma w łatwy i przystępny, z punku widzenia użytkownika, realizować obliczenia z danych zawartych w pliku tekstowym.

2. Dane statystyczne

Dane statyczne umieszczone w pliku tekstowym:

Tabela 1 Dane statystyczne wykorzystane w modelu

Gdzie:

Y – Ilość ludzi na emigracji w tysiącach,
X1 - Ilość zarejestrowanych bezrobotnych w tysiącach,
X2 – Średnie wynagrodzenie brutto w złotówkach,
X3 – Ilość mieszkańców w kraju,
X4 - PKB (Przychód Krajowy Brutto) w milionach.

3. Współczynniki korelacji

Liczba określająca w jakim stopniu zmienne są współzależne. Jest to miara korelacji 

Między zmienną objaśnianą Y i zmiennymi objaśniającymi X_i. Ocena ta została wykonan przy pomocy wzoru na r_i. Do obliczenia wykorzystano wzór:

Po obliczeniu poszczególnych współczynników korelacji otrzymano R_0­:

W następnej kolejności obliczone zostały współczynniki korelacji między potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi. Aby tego dokonać wykorzystano wzór:

Po podstawieniu odpowiednich elementów do wzoru otrzymano macierz współczynników korelacji R:

4. Wybór zmiennych objaśniających

Do wyboru zmiennych wyjaśniających posłuży metoda współczynników korelacji wielorakiej dla poziomu istotności α=0,1.

Metoda Z. Pawłowskiego jest to metoda doboru zmiennych objaśniających do modelu statystycznego w szczególności modelu ekonometrycznego.

Aby dokonać wyboru zmiennych w pierwszej kolejności budujemy tzw. macierz rozszerzoną W:

gdzie:

W – pełną macierzą korelacji

Macierze R oraz W wykorzystujemy do budowy współczynnika korelacji wielorakiej C_i, który jest miarą liniowej zależności między zmienną objaśnianą a liniową kombinacją zmiennych objaśniających.

Obliczony jest ze wzoru:

5. Oszacowanie parametrów strukturalnych modelu

Stosując Metodę Najmniejszych Kwadratów oszacowano parametry strukturalne modelu, oszacowanie to odbyło się po wybraniu zmiennych objaśniających.

Wzór ogólny tego modelu to:

Wyznaczenie parametrów a_i, było możliwe dzięki wzorowi:

Aby skorzystać z wzoru potrzebne było wyznaczenie macierzy X oraz Y. Macierz X sprowadza się do wybrania kolumn reprezentujących wartości zmiennych X₁, X₂ z tabeli z danymi oraz dopisanie do niej kolumny jednostkowej, czyli kolumny samych jedynek. Macierz Y to tak naprawdę wartości zmiennej Y z tabeli danych statystycznych:

Posiadając już macierz Y i X wyznaczono współczynniki a₁, a₂ i a_3. Następnym etapem jest wyznaczenie macierzy transponowanej X­­^T:

Otrzymaną macierz X^T pomnożono przez macierz X w wyniku czego otrzymano macierz X^TX:

Otrzymaną macierz odwrócono i pomnożono przez iloczyn macierzy X^T i Y :

Po wykonaniu wszystkich tych operacji otrzymujemy macierz a:

Gdy otrzymaną macierz a podstawimy do ogólnego wzoru opisującego model otrzymujemy:

6. Weryfikacja modelu

Aby dokonać weryfikację modelu wybrane zostały współczynniki i hipotezy.

Na początku została wyznaczona wariancja składnika resztowego , wyznaczony został przy pomocy wzoru:

Kolejnym krokiem było określenie błędów średnich szacunku parametrów:

D(a₁) = 0,0249,

D(a₂) = 0,1152,

D(a₃) = 428148,1011

Do wyznaczenia współczynnika zbieżności wykorzystany został wzór:

Współczynnik determinacji określony wzorem:

Ostatnim wyznaczonym współczynnikiem jest współczynnik zmienności losowej V:

Zweryfikowany wzór modelu:

(0,0249) (0,1152) (428148,1011)

7. Statystyka t-Studenta

Statystyka t-Studenta została wykorzystana w celu sprawdzenia.

Hipoteza zerowa w postaci:

oraz hipotezę alternatywną w postaci:

Dla statystyki testowej danej wzorem:

otrzymano następujące wartości:

t1 = -33,044

t2 = 2,08442

Dla poziomu istotności =0,1 oraz n=7 (liczba stopni swobody) z tablic testu t-Studenta została odczytana wartość 1,8946.

Dla poziomu istotności =0,1 dokonano następujących porównań:

, bo 33,044 > 1,8946

,, bo 2,08442 > 1,8946.

Z wykonanych porównań wynika, że należy odrzucić hipotezę H₀ i za słuszną uznać hipotezę alternatywną.

5. Statystyka F rozkładu Fischera Snedecora

Po wykonaniu sprawdzenia przy pomocy statystki t-Studenta wykonano sprawdzenia, czy dopasowanie oszacowanego modelu do danych empirycznych jest wystarczające. Wykorzystano w tym celu statystykę F rozkładu Fischera Snedecora. Na początku zostały określone hipotezy:

ʌ ʌ

v v

Korzystając ze statystyki określonej wzorem:

gdzie

R²=1- = 1-0,500 = 0,500

otrzymano

F = 8

Następnie z tablic Fischera Snedecora odczytano wartość krytyczną statystyki dla poziomu istotności α = 0,1 oraz stopni swobody m₁=1 i m₂=8 równą F_α = 3,46. Kolejnym krokiem było wykonanie porównania:

F>F_α , bo 8>3,46

Z wykonanego porównania wynika, że należy przyjąć hipotezę H₁.

6. Graficzna prezentacja wyników

Dla otrzymanego wzoru określającego model ekonometryczny wykonano porównanie rzeczywistego przebiegu zmiennej objaśnianej z symulacyjnym przebiegiem tej zmiennej. Otrzymane wyniki przedstawiono w poniższej tabeli. Dodatkowo zaprezentowano wartość otrzymaną w kolejnym kroku (okresie) funkcji predykcyjnej dla danych z 2000 roku.

Graficzne porównanie rzeczywistego Y z symulacyjnym:

Wykres przedstawia średnią liczbę emigracji z Polski w latach 2003 – 2012. Wykres został sporządzony dokładnie z instrukcjami, które zostały podane na zajęciach.

7. Wnioski

Dzięki przeprowadzonym statystyką t-studenta i F rozkładu Fischera Snedecora, można stwierdzić, że zmienne objaśniające wpływają na zmienną endogeniczną. W oby przypadkach prawidłowe okazały się hipotezy H₁ .

Dzięki graficznemu przedstawieniu modelu, również można potwierdzić poprawność sporządzonego modelu. Jak można zaobserwować przebiegi zmiennej objaśniającej i symulacyjnej są podobne. Oczywiście występują w nich drobne różnice, jednak wartości predykcyjne są bardzo bliskie realnym.