Jednokładność i podobieństwo

§ 48. Definicja i budowanie figur jednokładnych

270. Określenia. Dane są na płaszczyźnie: figura F, punkt stały S oraz dwa odcinki m i n (rys. 234).

Rys. 234

Połączmy dowolny punkt A tej figury z punktem S i znajdźmy odcinek czwarty proporcjonalny do trzech odcinków m, n i SA, czyli taki odcinek SA₁, który zadość czyniłby proporcji

SA, SA₁ m, n.

Jak wiadomo, taki odcinek istnieje tylko jeden, więc jeżeli na SA, począwszy od S, odmierzymy SA₁, to wyznaczymy punkt A₁, odpowiadający punktowi A.

Obierzmy inny punkt danej figury, np. B, połączmy go z punktem S i znowu znajdźmy odcinek czwarty proporcjonalny do m, n i SB, tj. taki odcinek SB₁, który czyniłby zadość proporcji

SB, SB₁ m, n.

Wyznaczmy na SB punkt B₁, odpowiadający punktowi B danej figury.

Jeżeli teraz wyobrazimy sobie, że dla każdego punktu danej figury znaleźliśmy w powyższy sposób punkt odpowiadający mu, to zbiór otrzymanych punktów utworzy nową figurę F₁, którą nazywamy figurą jednokładną do danej figury F względem danego punktu S, który nosi nazwę środka jednokładności.

Odcinki SA, SB, SA₁ itd. nazywamy promieniami jednokładności.

Punkty A i A₁ albo B i B₁, które są położone na tym samym promieniu jednokładności, nazywamy punktami jednokładnymi figur jednokładnych.

Odcinki SA₁, SB₁ itd. moglibyśmy odkładać nie na promieniach SA, SB ... , ale na ich przedłużeniach, w ten sposób otrzymalibyśmy figurę F₂ jednokładną z daną F, ale położoną z przeciwnej strony środka S. Dlatego rozróżniamy jednokładność prostą (F i F₁) oraz odwrotną (F i F₂).

Łatwo spostrzec, że figury F₂ i F₁ są przystające. Są one także symetrycznie położone względem środka S. Ogólnie można powiedzieć, że symetria figur względem danego środka jest szczególnym przypadkiem jednokładności, mianowicie takiej, kiedy odcinki dane m i n są sobie równe.

Jeżeli punkty A i B danej figury F połączymy odcinkiem AB, oraz połączymy punkty do nich jednokładne A₁ i B₁ figury F₁, to wtedy będzie AB II A₁B₁ (dlaczego?) i ponadto

AB, A₁B₁ SA, SA₁ SB, SB₁ m, n.

271. Z tego, co było wyżej powiedziane, wynika, że dla każdej danej figury można znaleźć figurę do niej jednokładną, czyli przekształcić ją jednokładnie (wprost lub odwrotnie), spełniając następujące warunki:

1. Dla każdego punktu jednej figury będzie wyznaczony punkt do niego jednokładny drugiej figury.

2. Wszystkie promienie jednokładności, tj. odcinki, łączące parami odpowiednie punkty figur, przechodzić będą przez punkt stały (środek jednokładności).

3. Wszystkie promienie jednokładności będą proporcjonalne do dwóch z góry danych odcinków.

Wtedy, jak widzieliśmy:

odcinki łączące dwa punkty jednej figury i punkty do nich jednokładne drugiej figury są do siebie równoległe i proporcjonalne do dwóch danych odcinków m i n.

272. Twierdzenie. Figura jednokładna do odcinka, jest odcinkiem do niej równoległym.

Dany jest odcinek AB (rys. 235), środek jednokładności S, i dwa odcinki m i n. Wiadomym już sposobem znajdźmy punkt A₁ jednokładny do A oraz punkt B₁ jednokładny do B. Odcinek A₁B₁ jest odcinkiem jednokładnym do AB.

Rys. 235

Odcinek A₁B₁ jest równoległy do AB, o czym już wiemy z poprzednich rozważań. Wystarczy dowieść, że jest on miejscem geometrycznym punktów jednokładnych do punktów odcinka AB.

Weźmy dowolny punkt K odcinka AB i poprowadźmy promień jednokładności SK, który przecina odcinek A₁B₁ w punkcie K₁. Łatwo udowodnić, że ten punkt jest punktem jednokładnym do K.

Istotnie z trójkątów SAK i SA₁K₁ mamy

SK, SK₁ SA, SA₁ m, n,

dlatego że A₁K₁ II AK, więc punkty K i K₁ są jednokładne. Widzimy dalej, że jeżeli obierzemy dowolny punkt na odcinku AB, to punkt jednokładny do niego znajdziemy zawsze na przecięciu jego promienia jednokładności z odcinkiem A₁B₁ i poza tym odcinkiem nie będzie punktów jednokładnych do punktów odcinka AB.

Jeżeli dany odcinek przekształcimy odwrotnie, to otrzymamy odcinek A₂B₂, także równoległy do danego, ale mający zwrot przeciwny.

Wniosek. Figura jednokładna do kąta jest kątem równym danemu.

Dowód wynika wprost z powyższego twierdzenia.

273. Twierdzenie. Figura jednokładna do wielokąta, jest wielokątem o kątach odpowiednio równych kątom danego wielokąta, a bokach odpowiednio równoległych do boków wielokąta danego i proporcjonalnych do danych odcinków.

Dany jest wielokąt ABCDE (rys. 236), środek jednokładności S i dwa odcinki m i n.

Rys. 236

Postępując, jak powyżej, otrzymujemy wielokąt A₁B₁C₁D₁E₁ (jednokładność prosta) lub A₂B₂C₂D₂E₂ (jednokładność odwrotna).

Stąd wynika, że dla otrzymania wielokąta jednokładnego do danego należy poprowadzić promienie jednokładności wszystkich wierzchołków, znaleźć punkt A₁ jednokładny do A, potem poprowadzić A₁B₁ II AB, B₁C₁ II BC itd., ostatnim odcinkiem na naszym rysunku będzie E₁A₁, a że punkty E₁ i A₁ już przedtem były wyznaczone, więc łącząc je ze sobą, powinniśmy otrzymać A₁E₁ II AE.

274. Twierdzenie. Figurą jednokładną do okręgu jest okrąg.

Dany jest okrąg (rys. 237), środek jednokładności S i dwa odcinki m i n. Obierzmy dowolny punkt A na danym okręgu, poprowadźmy promień OA i wykreślmy odcinek jednokładny do OA względem środka S. Ten odcinek, jak już wiemy, będzie równoległy do OA i będzie

OA, O₁A₁ m, n.

Rys. 237

Ponieważ w tej proporcji trzy wyrazy są stałe, a mianowicie OA, m, n, więc i czwarty wyraz musi być stały, inaczej mówiąc, wszystkie odcinki odpowiednie do jakiegokolwiek promienia danego okręgu będą sobie równe i równe odcinkowi O₁A₁. Ponadto punkt O₁, jako punkt jednokładny do O, będzie stały. Zatem wszystkie punkty jednokładne do punktów danego okręgu będą leżały w odległości O₁A₁ od punktu O₁, czyli ich miejscem geometrycznym będzie okrąg o promieniu O₁A₁, cbdd.

Oczywiście rozumowanie pozostanie słuszne w przypadku jednokładności odwrotnej.

275. Wnioski. 1) Wyobraźmy sobie dwa okręgi o środkach w punktach O i O₁ o różnych promieniach (rys. 237). Jeżeli w pierwszym poprowadzimy dowolny promień OA, a w drugim równoległy do niego promień O₁A₁, to łącząc punkty A i A₁ prostą AA₁ aż do przecięcia się z linią środków OO₁, otrzymamy punkt S, który będzie środkiem jednokładności tych kół.

Jeżeli w drugim okręgu poprowadzimy promień O₁A₂ równoległy również do OA, ale o zwrocie przeciwnym (przedłużenie O₁A₁), to postępując, jak poprzednio, otrzymamy punkt S₁, który będzie środkiem jednokładności odwrotnej danych okręgów.

Stąd wniosek:

każde dwa okręgi są jednokładne; ich środek jednokładności leży na linii środków i dzieli ją na dwa odcinki proporcjonalne do promieni danych okręgów.

2) Gdyby się okazało (rys. 237), że promienie OA i O₁A₁ danych kół są prostopadłe do AS, to prosta AA₁S byłaby wspólną styczną do obu kół, jak również i prosta AS₁A₂.

Widzimy więc, że

wspólne styczne do dwóch kół przecinają się z linią środków w punkcie, który jest środkiem jednokładności tych kół.

Zatem zagadnienie o poprowadzeniu wspólnych stycznych do dwóch danych kół może być rozwiązane przez zastosowanie jednokładności kół. Należy jednak pamiętać, że wspólne styczne nie zawsze istnieją, a przynajmniej nie zawsze wszystkie istnieją.

276. Pojęcie jednokładności można rozciągnąć na figury przestrzenne. Jeżeli mianowicie mamy daną figurę (F), to łącząc wszystkie jej punkty A, B, C ... z danym środkiem jednokładności i odkładając na promieniach odcinki SA₁, SB₁, SC₁ ... czyniące zadość proporcjom:

SA, SA₁ SB, SB₁ SC, SC₁ ... m, n,

gdzie m i n są odcinkami jednokładności, to miejsce geometryczne punktów A₁, B₁, C₁ ... będzie figurą (F₁) jednokładną do danej.

Dokonawszy tej konstrukcji, każdy odcinek danej figury przekształcimy, jak wiadomo, na odcinek do niego równoległy, kąty danej figury nie ulegną zmianie, chodzić jeszcze będzie o płaszczyzny.

277. Twierdzenie. Figura jednokładna do płaszczyzny jest płaszczyzną do niej równoległą.

Istotnie, wyobraźmy sobie na danej płaszczyźnie P pewną prostą, przechodzącą przez dowolny punkt A tej płaszczyzny. Po przekształceniu jednokładnym otrzymamy prostą w prze strzeni równoległą do poprzedniej, przechodzącą przez punkt A₁ jednokładny do punktu A.

Jeżeli teraz na płaszczyźnie P przez ten sam punkt A poprowadzimy inną prostą, to po przekształceniu otrzymamy znowu prostą do niej równoległą, przechodzącą przez A₁.

Poprowadźmy wszystkie proste na płaszczyźnie P przechodzące przez punkt A. Proste do nich jednokładne będą parami równoległe i będą przechodziły przez A₁, a ich miejscem geometrycznym będzie płaszczyzna równoległa do płaszczyzny P.