Krzysztof Rykaczewski
Teoria miary
Przegląd zagadnień
[e-mail]
http://www.mat.uni.torun.pl/Ümozgun/
Nicolaus Copernicus University
2007
SPIS TREÅšCI
Spis treści 1
1 Podstawy 1
1.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Miara zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Miary skończone i nieskończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Zupełność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Przykłady miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Produkty miar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 Miara Lebesgue a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 Własności  prawie wszędzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Podstawy teorii całki (Lebesgue a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.11 Zbiory niemierzalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.12 Rozszerzenia pojęcia miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bibliografia 17
Skorowidz 18
1
Streszczenie
okument ten ma służyć jako streszczenie (bez dowodów) podstawowych zagadnień występujących
D w teorii miary. Jest on zaplanowany na jeden wykład, ale mam nadzieję kiedyś (przy jakiejś sposob-
ności) go poszerzyć.
Podamy definicjÄ™ Ã-ciaÅ‚a, miary oraz podstawowe fakty z jej teorii. W kolejnych sekcjach skoncentru-
jemy się na mierze Lebesgue a oraz podamy definicję całki Lebesgue a. Podamy też przykłady zbiorów
niemierzalnych.
Skrypt ten jest pomyślany jako przegląd zagadnień dla studentów I-szego roku matematyki.
Chciałbym podziękować M. Karpiczowi za wnikliwe przeczytanie dokumentu, skomentowanie go, po-
prawienie błędów oraz liczne wskazówski. Podziękowania należą się też Z. Błaszczykowi za inspirację do
napisania tej pracy.
Krzysztof Rykaczewski
Toruń, 9 listopada 2007
ROZDZIAA
1
PODSTAWY
1.1 Wstęp
W matematyce miara jest uogólnieniem takich rzeczy jak długość, powierzchnia i objętość. Dlate-
go miara może być czasami interpretowana jako wielkość fizyczna. Głównym zastosowaniem miary jest
zdefiniowanie całki, która jest w sposób nierozdzielny związana z miarą. Takie uogólnione definicje ca-
łek pojawiają się np. w teorii prawdopodobieństwa i analizie matematycznej. W analizie matematycznej
teoria miary stała się podstawą nowoczesnego rozumienia pojęcia całki od roku 1902 r., kiedy to Henri
Lebesgue zaproponował swoją konstrukcję całki opartej na pojęciu miary.
Intuicja podpowiada, że miarą zbioru otwartego (a, b) można nazwać liczbę b - a. Ogólnie miarę
odcinka I będziemy oznaczać przez |I|. Jeśli jest to zbiór pusty, to oczywiście jesgo miara wynosi 0.
Wiadomo, że każdy zbiór otwarty zawarty w R jest sumą co najwyżej przeliczalnej mnogości przedzia-
łów otwartych. StÄ…d każdy otwarty podzbiór G ‚" R można przedstawić w postaci
"

G = In, Ii )" Ij = " dla i = j, (1.1)

n=0
gdzie Ii są przedziałami otwartymi w R. Miarę tego zbioru określamy jako
"
|G| = |In|, (1.2)
n=0
jeśli ten szereg jest zbieżny; w przeciwnym przypadku powiemy, że G ma miarę nieskończoną.
Powstaje pytanie: czy istnieje funkcja (miara) określona na każdym podzbiorze prostej R o wartościach
nieujemnych, która by dodatkowo spełniała warunki:
1. µ(") = 0,
2. µ (A )" B) = µ(A) + µ(B), dla dowolnych i rozÅ‚Ä…cznych podzbiorów A, B prostej R.
1
Krzysztof Rykaczewski
Okazuje się, że takiej funkcji nie ma. I problem nie tkwi w tym, że za dużo zakładamy od takiej funkcji
(popatrzmy, że musi ona spełnić tylko dość elementarne warunki 1. i 2.). Problem w tym, że dla zbyt dużej
klasy zbiorów chcemy aby była ona określona, tj. dla każdego podzbioru prostej R. Rodzina podzbiorów,
na których może być zdefiniowana miara musi speÅ‚niać pewne warunki (mówimy, że musi być Ã-algebrÄ…,
Ã-ciaÅ‚em).
Definicja 1.1.1. Niech X bÄ™dzie zbiorem. Wtedy Ã-ciaÅ‚em nazywamy takÄ… rodzinÄ™ M podzbiorów X, która
spełnia następujące warunki:
1. " " M,
2. jeśli A " M, to X \ A " M,
"
3. Jeśli A1, A2, . . . " M jest rodziną zbiorów mierzalnych, to Ai (w przypadku, gdy ta własność
i=1
zachodzi dla skończonej ilości zbiorów mówimy o ciele zbiorów).
Zbiory z rodziny M nazywamy zbiorami mierzalnymi, a parÄ™ (X, M) przestrzeniÄ… mierzalnÄ….
Uwaga 1.1.1. Ponieważ każde Ã-ciaÅ‚o jest zamkniÄ™te na przekroje przeliczalne, to przekrój dowolnej
rodziny Ã-ciaÅ‚ na X jest znów Ã-ciaÅ‚em zbiorów. Dowodzi siÄ™, że dla dowolnej rodziny A podzbiorów zbioru
X istnieje najmniejsze Ã-ciaÅ‚o zbiorów zawierajÄ…ce wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywa siÄ™ je Ã-ciaÅ‚em
generowanym przez tÄ™ rodzinÄ™ i oznacza symbolem Ã(A) bÄ…dz
A . Niech F bÄ™dzie Ã-ciaÅ‚em podzbiorów
X, a I bÄ™dzie Ã-ideaÅ‚em podzbiorów X. Wówczas Ã-ciaÅ‚em generowanym przez F *" I jest zbiór
Ã(F *" I) = {A B: A " F oraz B " I} ,
gdzie oznacza operację różnicy symetrycznej.
PrzykÅ‚ad 1.1.1. Rodzina zÅ‚ożona ze zbioru pustego i zbioru X jest najmniejszym Ã-ciaÅ‚em okreÅ›lonym
na X.
NajmniejszÄ… Ã-algebrÄ™ podzbiorów R zawierajÄ…cÄ… zbiory otwarte nazywamy Ã-algebrÄ… zbiorów borelow-
skich. Oznaczamy jÄ… B.
Niech K bÄ™dzie Ã-ideaÅ‚em zbiorów pierwszej kategorii (w sensie Baire a). Wówczas
Ã(B *" K) = {O K: K " K oraz O jest zbiorem otwartym}
jest Ã-ciaÅ‚em zbiorów o wÅ‚asnoÅ›ci Baire a.
Ćwiczenie 1.1.1. Udowodnić:
1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Wtedy (X, 2X) jest przestrzenią mierzalną.
2. B jest najmniejszÄ… Ã-algebrÄ… zawierajÄ…cÄ… zbiory domkniÄ™te.
3. Czy zbiory Q oraz R \ Q sÄ… mierzalne?
Ćwiczenie 1.1.2. Jeśli A i B są mierzalne, to A )" B jest mierzalny. Ogólnie: skończone iloczyny nie
wyprowadzajÄ… nas poza rodzinÄ™ M.
Hint. Skorzystać z relacji na zbiorach.
Definicja 1.1.2. Formalnie miarÄ… nazywamy funkcjÄ™ µ: M [0, +") *" {+"} =: R+ zdefiniowanÄ… na
Ã-algebrze podzbiorów zbioru X speÅ‚niajÄ…cÄ… warunki:
Podstawy teorii miary, 2007 2
Krzysztof Rykaczewski
1. µ(") = 0,
2. Ã-addytywność, tzn. dla przeliczalnej rodziny rozÅ‚Ä…cznych zbiorów E1, E2, E3, . . . " M (czyli Ei)"Ej =
" dla i = j) mamy


" "

µ Ei = µ(Ei). (1.3)
i=1 i=1
"
Uwaga 1.1.2. Zauważmy, że wtedy szereg µ(Ei) jest bezwzglÄ™dnie zbieżny (ćwiczenie).
i=1
Jeśli miara przyjmuje wartości nie większe niż 1, to mówimy, że mamy do czynienia z miarą unormowa-
nÄ…. MiarÄ… probabilistycznÄ… nazywamy takÄ… miarÄ™, że µ(X) = 1. PrzestrzeniÄ… probabilistycznÄ… nazywamy
przestrzeń z miarą probabilistyczną.
PrzestrzeniÄ… z miarÄ… nazywamy trójkÄ™ (X, M, µ).
Początkowo warunek drugi w definicji był warunkiem skończonej addytywności, tzn. dla każdej rozłącz-
nej i skończonej rodziny zbiorów E1, E2, E3, . . . , En zachodzi

n n

µ Ei = µ(Ei), (1.4)
i=1 i=1
jednak warunek ten nie okazał się przydatny w zastosowaniach (zobacz miara Jordana - przykład 7).
PoprawÄ™ warunku 3 w definicji miary zawdziÄ™czamy Borelowi. Zauważmy, że jeÅ›li µ jest przeliczalnie
addytywna, to jest addytywna, czyli ta druga klasa okazała się większa (nawet za duża dla dobrej teorii!).
1.2 Własności
Nasępujące własności mogą być bezpośrednio wyprowadzone z definicji miary.
1. (Monotoniczność) JeÅ›li E1 ‚" E2 bÄ™dÄ… zbiorami mierzalnymi, to µ(E1) µ(E2).
2. (Ã-podaddytywność) JeÅ›li E1, E2, E3, . . . sÄ… zbiorami mierzalnymi, to

" "

µ Ei µ(Ei). (1.5)
i=1 i=1
3. JeÅ›li µ(B) < ", oraz A ‚" B, to µ(B \ A) = µ(B) - µ(A).
4. (Ciągłość z dołu) Jeśli E1, E2, E3, . . . są zbiorami mierzalnymi oraz dla każdego n " N zachodzi
En ‚" En+1, to

"

µ Ei = lim µ(Ei). (1.6)
i"
i=1
5. (CiÄ…gÅ‚ość z góry) JeÅ›li E1, E2, E3, . . . sÄ… zbiorami mierzalnymi, dla każdego n " N zachodzi En ƒ"
En+1 oraz dla pewnego n0 miara En jest skończona, to
0

"

µ Ei = lim µ(Ei). (1.7)
i"
i=1
Uwaga 1.2.1. Własność 4 nie
"zachodzi, jeśli wszystkie zbiory są miary nieskończonej. Istotnie, oznaczmy
En := [n, +") ‚" R. Wtedy Ei = ", ale limi" µ(Ei) = +".
i=1
Podstawy teorii miary, 2007 3
Krzysztof Rykaczewski
1.3 Miara zewnętrzna
Definicja 1.3.1. MiarÄ… zewnÄ™trznÄ… okreÅ›lonÄ… na podzbiorah zbioru X nazywamy funkcjÄ™ µ" : 2X R+
spełniającą warunki:
1. µ"(") = 0,
2. jeÅ›li A ‚" B, to µ"(A) µ"(B),
3. jeÅ›li A1, A2, . . . ‚" X, to

" "

µ" An µ"(An). (1.8)
n=0 n=0
Bardzo ważnym jest następujące
Twierdzenie 1.3.1. (Carathéodory ego) JeÅ›li µ" jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ… okreÅ›lonÄ… na podzbiorach X, to
zbiór
"
Fµ = A ‚" X : dla każdego E ‚" X zachodzi µ"(E) = µ"(E )" A) + µ"(E )" AC) (1.9)
"
jest Ã-ciaÅ‚em, a µ"|F jest miarÄ… (tzn. (X, Fµ , µ") jest przestrzeniÄ… mierzalnÄ…).
µ"
Przykład 1.3.1. Istnieją metody konstrukcji miar zewnętrznych.
Niech X będzie zbiorem, C dowolną rodziną podzbiorów X (zawierającą zbiór pusty) oraz p: C R+
taką, że p(") = 0. Wtedy (ćwiczenie)
" "

Õ(E) = inf p(Ai) : E ‚" Ai, oraz Ai " C dla każdego i " N (1.10)
i=1 i=1
jest miarą zewnętrzną na X.
Ćwiczenie 1.3.1. Niech X = N oraz µ" : 2N R+ dana bÄ™dzie wzorem
sup A - inf A
µ"(A) = , (1.11)
2
gdzie przyjmujemy, że sup " = inf " = 0. Wtedy µ" jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ….
1.4 Miary skończone i nieskończone
Definicja 1.4.1. PrzestrzeÅ„ (X, M, µ) nazywamy skoÅ„czonÄ…, jeÅ›li µ(X) jest skoÅ„czona. JeÅ›li tak nie jest,
to przestrzeń tę nazywamy nieskończoną.
"
PrzestrzeÅ„ (X, M, µ) nazywamy Ã-skoÅ„czonÄ…, jeÅ›li X = Ei oraz dla każdego n " N miara En jest
i=1
skoÅ„czona (tzn. µ(En) < +").
Uwaga 1.4.1. PrzestrzeÅ„ (R, L, l) jest przestrzeniÄ… Ã-skoÅ„czonÄ…, ale nie skoÅ„czonÄ… (patrz sekcja 1.8).
SkÅ‚adniki sumy, które wystÄ™pujÄ… w definicji przestrzeni Ã-skoÅ„czonej sÄ… postaci [k, k + 1]. Ogólnie każda
miara Lebesgue a jest Ã-skoÅ„czona.
Zachodzi ogólny fakt. Jeśli w R wez
miemy inną miarę, np. liczącą liczbę punktów, to zbiór R z tak
wybranÄ… miarÄ… nie jest ani przestrzeniÄ… skoÅ„czonÄ…, ani Ã-skoÅ„czonÄ….
Podstawy teorii miary, 2007 4
Krzysztof Rykaczewski
1.5 Zupełność
Definicja 1.5.1. Zbiór A nazywamy µ-zerowym, o ile istnieje zbiór mierzalny B taki, że A ‚" B oraz
µ(B) = 0. O takich zbiorach mówi siÄ™, że sÄ… pomijalne.
Uwaga 1.5.1. Zauważmy, że zbiory µ-zerowe nie muszÄ… być mierzalne. JeÅ›li w przestrzeni X wszystkie
zbiory µ-zerowe sÄ… mierzalne, to X nazywamy zupeÅ‚nÄ….
Każda przestrzeń z miarą może być rozszerzona do przestrzeni zupełnej biorąc zamiast M najmniej-
sze Ã-ciaÅ‚o M zawierajÄ…ce wszystkie elementy Ã-ciaÅ‚a M i zbiory µ-zerowe. Dowodzi siÄ™, że wszystkie
elementy M sÄ… postaci
A = B C := (B \ C) *" (C \ B), (1.12)
gdzie B " M oraz C jest zbiorem µ-zerowym.
Przyjmuje siÄ™ wtedy, że µ(A) = µ(B). Zachodzi
Fakt 1.5.1. (Ćwiczenie) Trójka (X, M , µ) jest przestrzeniÄ… z miarÄ… zupeÅ‚nÄ…, tzn.
1. M jesy Ã-algebrÄ…, 2. µ jest miarÄ… na (X, M ), 3. µ jest miarÄ… zupeÅ‚nÄ….
1.6 Przykłady miar
Przykład 1.6.1. Przykłady miar:
1. Miara liczÄ…ca elementy zbioru, tzn. µ(S) = #S.
2. Miara Lebesgue a; jest jedynÄ… przesuwalnÄ… miarÄ… (tzn. µ(A + x) = µ(A) dla każdego A " L oraz

x " R) okreÅ›lonÄ… na R takÄ…, że µ [0, 1] = 1.
3. Miara kąta; jest niezmiennicza ze względu na obrót o 2Ąk, dla k " Z.
4. Miara Haara jest określona na lokalnie zwartych grupach topologicznych, ma podobną własność
jedyności co miara Lebesgue a; mianowicie, jest to jedyna miara (z dokładnością do stałej multi-
plikatywnej), która jest niezmienna ze względu na lewe przesunięcia zbiorów borelowskich B(G) w
grupie G (najmniejszÄ… Ã-algebrÄ™ generowanÄ… prze zbiory otwarte w G) oraz taka, że µ(U) > 0 jeÅ›li
U jest niepusty. Oto szkic konstrukcji:
Twierdzenie 1.6.1. Niech G jest grupÄ… topologicznÄ… lokalnie zwartÄ…. IstniejÄ… wtedy miary µ, ½: B(G)
R taka, że
(a) (lewostronna niezienniczość) µ(lgB) = µ(B); gdzie g " G, B " B(G), lg : G G oznacza
lewostronne przesunięcie, tzn. lg(h) = gh dla każdego h " G,
(b) dla U ‚" G - zbioru otwartego i niepustego mamy, że µ(U) > 0,
oraz
(a) (prawostronna niezienniczość) ½(rgB) = ½(B); gdzie g " G, B " B(G), rg : G G oznacza
prawostronne przesunięcie (definicja analogiczna do lewostronnego przesunięcia),
(b) dla U ‚" G - zbioru otwartego i niepustego mamy, że ½(U) > 0.
Następnie miarę tę przenosi się na klasę zbiorów zwartych za pomocą lematu:
Podstawy teorii miary, 2007 5
Krzysztof Rykaczewski
Lemat 1.6.1. Niech X będzie przestrzenią topologiczną, a K(X) klasą wszystkich podzbiorów zwar-
tych w X oraz niech : K(X) R będzie taka, że
(a) 0 (C) < +",
(b) dla C ‚" D mamy (C) (D),
(c) (C *" D) (C) + (D),
(d) C )" D = ", to (C *" D) = (C) + (D),
dla C, D " K(X). Wtedy funkcja µ: B(X) R zdefiniowana wzorem µ(B) := sup{(C) : C ‚" B} dla
B " B(X) jest miarÄ….
Pytanie jest więc tylko o określenie miary na zbiorach zwartych. To jest jednak inna bajka :-),
5. Miara probabilistyczna: niech &! = {w1, w2, . . .}, oraz niech p1, p2, . . . 0; wtedy
µ(A) := pi, dla A ‚" &!, (1.13)
{i: wi"A}
jest miarÄ… Ã-skoÅ„czonÄ….
6. Miara Diraca ´a (miara skupiona w jednym punkcie) jest okreÅ›lona wzorem: ´a(S) = ÇS(a), gdzie
ÇS jest funkcjÄ… charakterystycznÄ… zbioru S. Miara ta jest równa 1, jeÅ›li element a należy do zbioru
S, oraz 0 w przeciwnym przypadku.
7. Miara Jordana: Najpierw definiujemy miarę dowolnego prostokąta (standardowo). Dowodzi się póz
-
niej, że każdy ograniczony podzbiór R2 można od zewnątrz i od wewnątrz przybliżać za pomocą
skończonej ilości prostokóątów.
Oznaczmy M(B) = inf{µJ(N) : N ƒ" B, N  skoÅ„czona rodzina prostokÄ…tów}, m(B) = sup{µJ(N) :
N ‚" B, N  skoÅ„czona rodzina prostokÄ…tów}, gdzie µj to suma miar prostokÄ…tów z rodziny N.
Oczywiście M(B) m(B). Liczby te nazywamy odpowiednio zewnętrzną i wewnętrzną miarą Jor-
dana zbioru B. Jeśli obie te miary pokrywają się, to mówimy, że zbiór ten jest mierzalny w sensie
Jordana.
Pytanie, które pojawia się od razu: czy każdy zbiór ograniczony na płaszczyznie jest mierzalny
w sensie Jordana? Odpowiedz
jest negatywna. Istotnie, wez
my dowolny kwadrat. Podzielimy go
na cztery przystajz
ce kwadraty i usuńmy ich wszystkie wierzchołki. Następnie każdy z powsta-
łych kwadratów ponownie podzielimy na cztery przystające kwadraty i usuńmy ich wszystkie wierz-
chołki. Proces kontynuujmy. Zbiór który pozostanie oznaczmy przez A. Nietrudno zauważyć, że
m(A) = 0 = 1 = M(A). A zatem zbiór A nie jest mierzalny w sensie Jordana.

Miara ta ma wÅ‚asność skoÅ„czonej addytywnoÅ›ci (ale nie Ã-addytywnoÅ›ci). Jako zadanie można
potraktować następujące
Podstawy teorii miary, 2007 6
Krzysztof Rykaczewski
Twierdzenie 1.6.2. Ograniczony podzbiór R2 jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy,
gdy jego brzeg jest zborem miary 0 (w sensie Jordana).
1.7 Produkty miar
Załóżmy, że mamy ukÅ‚ad przestrzeni mierzalnych (Xi, Mi), dla i = 1, . . . , n. Najmniejsze Ã-ciaÅ‚o
n n
podzbiorów produktu Xi zawierające wszystkie zbiory A postaci Ai, gdzie Ai " Mi, dla
i=1 i=1
i = 1, . . . , n, nazywamy produktem Ã-ciaÅ‚ M1, . . . , Mn i oznaczamy symbolem
n

Mi lub M1 " . . . " Mn. (1.14)
i=1
Równoważna charkateryzacja tego Ã-ciaÅ‚a jest taka, że jest to najmniejsze Ã-ciaÅ‚o zaierajÄ…ce produkt
n
Mi.
i=1
PrzykÅ‚ad 1.7.1. JeÅ›li B jest Ã-ciaÅ‚em zbiorów borelowskich na R, to B " B jest Ã-ciaÅ‚em zbiorów bore-
lowskich na płaszczyz
nie R2. Oznaczamy je czasem B2.
Twierdzenie 1.7.1. JeÅ›li Mi jest Ã-ciaÅ‚em podzbiorów Xi oraz µi jest miarÄ… okreÅ›lonÄ… na tym Ã-ciele,
dla i = 1, . . . , n, to istnieje jedna i tylko jedna miara µ okreÅ›lona na produkcie M1 " . . . " Mn taka, że
µ(A1 × . . . × An) = µ1(A1) · . . . · µn(An), (1.15)
gdzie Ai " Mi, dla i = 1, . . . , n. MiarÄ™ tÄ™ nazywamy produktem miar µ1, . . . , µn.
n
Uwaga 1.7.1. Ponieważ nie wszystkie elementy produktu Ã-ciaÅ‚ sÄ… postaci Ai, wiÄ™c miara z tezy
i=1
powyższego twierdzenia nie musi być zupeÅ‚na, jeÅ›li nawet wszystkie miary µ1, . . . , µn sÄ…!
1.8 Miara Lebesgue a
Jednak, ze względu na to iż miara Jordana nie potrafi mierzyć zbiorów nawet tak prostych w swojej
budowie jak powyżej opisany  kwadrat z dziurami musimy szukac  lepszej funkcji. Wprowadzimy zatem
pojęcie miary Lebesgue a, a następnie ściśle z nim związane pojęcie całki Lebesgue a. Miara Lebesgue a
będzie już mierzyła zbiory choćby tak proste w swojej budowie jak opisany powyżej  kwadrat z dziurami ,
czy wiekszość zbiorów nieograniczonych.
W tym celu określmy:
1. S = {(a, b] : a < b, a, b " R} *" {"},

2. l0 : S R+ wzorem l0 (a, b] := b - a,

"
"
3. oraz l" : B R+ danÄ… wzorem l"(E) := inf l0 (ai, bi] : E ‚" (ai, bi] .
i=1 i=1
WidzieliÅ›my już w przykÅ‚adzie 1.3.1, że jest to miara zewnÄ™trzna. Korzystamy z twierdzenia Carathéodory ego.
Definicja 1.8.1. Definiujemy miarÄ™ Lebesgue a na R jako
l := l"|B . (1.16)
l"
"
Zbiory L := Bl nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a.
Podstawy teorii miary, 2007 7
Krzysztof Rykaczewski
Uwaga 1.8.1. Wszystkie zbiory borelowskie sÄ… zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue a.
"
Przestrzeń (R, Bl , l") jest uzupełnieniem przestrzeni (R, B, l).
Uwaga 1.8.2. Istnieje zbiór mocy continuum i mierze Lebesgue a równej zero (jest to zbiór C Cantora).
Stąd (skoro miara Lebesgue a jest zupełna) każdy podzbiór C jest zbiorem miary zero. Tak więc zbiorów
mierzalnych w sensie Lebesgue a jest 2c.
"
Mamy natomiast B Bl !
Teraz mozna ponowić pytanie: czy każdy podzbiór płaszczyzny (niekoniecznie ograniczony) jest mierzal-
ny w sensie Lebesgue a? Odpowiedz
znowu jest negatywna, a przykÅ‚adem może być chociażby zbiór V × V,
gdzie V to przedstawiony poniżej zbiór Vitaliego.
Przewaga miary Lebesgue a nad miarą Jordana jest duża. Wspomniany powyżej i nie mierzalny w
sensie Lebesgue a zbiór V × V, to zbiór, na który w normalnym uprawianiu matematyki raczej natknać
się nie można.
1.8.1 Miara Radona
Miara Lebesgue a jest szczególnym rodzajem miary Radona, której podamy tu krótką definicję. Ogra-
niczymy się do przestrzeni Rn, choć rozważania bez trudu mogą być przeniesione do dowolnej przestrzeni
lokalnie zwartej.
Mówimy, że µ: M [0, +") jest miarÄ… Radona, jeÅ›li speÅ‚nione sÄ… nastÄ™pujÄ…ce warunki:
1. każdy zbiór zwarty K ma miarÄ™ skoÅ„czonÄ… (µ(K) < "),
2. dla każdego zbioru otwartego U zachodzi
µ(U) = sup{µ(K) : K ‚" U, K - zwarty}, (1.17)
3. dla dowolnego zbioru E " M zachodzi
µ(E) = inf{µ(U) : U ƒ" E, U - otwarty}. (1.18)
1.9 Własności  prawie wszędzie
W teorii miary i caÅ‚ki mówimy, ze pewna wÅ‚asność W zachodzi prawie wszÄ™dzie (µ-prawie wszÄ™dzie) na
zbiorze X, jeÅ›li istnieje zbiór miary µ zero, o tej wÅ‚asnoÅ›ci, że wÅ‚asność W zachodzi poza nim. Używamy
zapisu p.w. lub µ-p.w.
Przykład 1.9.1. Jeśli zbiór {x " X : f(x) = ą"} ma miarę zero, to mówimy, że f jest prawie wszędzie
skończona.
JeÅ›li miara jest zupeÅ‚na, to równoważnie można powiedzieć, że wÅ‚asność W zachodzi µ-prawie wszÄ™dzie

jeÅ›li zbiór, dla którego ta wÅ‚asność nie zachodzi jest miary zero, tzn. µ {x " X : W(x) nie zachodzi} = 0.
Podstawy teorii miary, 2007 8
Krzysztof Rykaczewski
1.10 Podstawy teorii całki (Lebesgue a)
Niech M bÄ™dzie Ã-algebrÄ… podzbiorów X. FunkcjÄ™ f: X R := R *" {-"} *" {+"} okreÅ›lamy jako
mierzalną, jeśli dla dowolnego ą " R zbiór {x " X : f(x) > ą} " M.
JeÅ›li A ‚" X i dla każdego Ä… " R zbiór
A )" {x " X : f(x) > Ä…} (1.19)
jest mierzalny, to f jest mierzalna na zbiorze A.
JeÅ›li X = R oraz M jest Ã-ciaÅ‚em podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue a, to funkcjÄ™ mierzalnÄ…
nazywamy mierzalnÄ… w sensie Lebesgue a.
Fakt 1.10.1. Funkcja f: X R jest mierzalna wtedy i tylko tedy, gdy mierzalne sÄ… zbiory {x " X : f(x) <
Ä…}, {x " X : f(x) Ä…}, {x " X : f(x) Ä…}.
Fakt 1.10.2. Jeśli f: Rn Rm jest ciągła, to jest mierzalna.
Uwaga 1.10.1. W celu wprowadzenia pojęcia funkcji mierzalnej nie potrzebowaliśmy pojęcia miary, a
tylko jakÄ…Å› skonkretyzowanÄ… Ã-algebrÄ™.
Fakt 1.10.3. Jeśli f, g, fn : X R są funkcjami mierzalnymi, to następujące funkcje są mierzalne:
1. f · g, w szczególnoÅ›ci Ä…f, dla Ä… " R,
2. f+ := max{f, 0}, f- := min{f, 0}, |f|, f '" g := max{f, g}, f (" g := min{f, g},
3. f Ä… g,
4. supn fn, infn fn, lim supn fn := limn"(supk n fk), lim infn fn,
5. granica punktowa limn fn (o ile istnieje).
Ćwiczenie 1.10.1. Udowodnić, że ÇA jest funkcjÄ… mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem
mierzalnym.
n
Definicja 1.10.1. FunkcjÄ™ postaci Ä…kÇA , gdzie Ä…k oraz Ak " M, nazywamy schodkowÄ….
k=1 k
Zachodzi isteresujÄ…ce
Twierdzenie 1.10.1. Każda funkcja mierzalna może być aproksymowana przez funkcje schodkowe; gdy
f 0, to istnieje ściśle rosnący ciąg funkcji schodkowych nieujemnych zbieżny punktowo do f p.w.
1.10.1 Szczegóły konstrukcji
Niech X = (X, M, µ). W celu uproszczenia konstrukcji zakÅ‚adamy, że miara µ jest zupeÅ‚na. CaÅ‚kÄ™
f dµ definiujemy za pomocÄ… tzw. indukcji mierzalnej:
X
n
1. JeÅ›li funkcja f jest schodkowa oraz f = Ä…kÇA , to definiujemy
k=1 k
n
f dµ := Ä…kµ(Ak). (1.20)
X
k=1
Podstawy teorii miary, 2007 9
Krzysztof Rykaczewski
2. Jeśli f : X R+, to z definicji
f dµ := sup g dµ : g jest schodkowa oraz 0 g f . (1.21)
X X
3. Ogólnie
f dµ := f+ dµ + f- dµ, (1.22)
X X X
przy czym w przypadku wyrażenia " - " mówimy, że f nie jest całkowalna w sensie Lebesgue a.
4. Funkcję o wartościach zespolonych f + ig określamy mianem mierzalnej, jeżeli obydwie funkcje f i
g sÄ… mierzalne. JeÅ›li f = g + ih przyjmuje wartoÅ›ci zespolone, to okreÅ›lamy caÅ‚kÄ™ jako f dµ :=
X
g dµ + i h dµ.
X X
Uwaga 1.10.2. JeÅ›li A ‚" X, to caÅ‚ka f dµ jest równa fÇA dµ.
A X
Definicja 1.10.2. FunkcjÄ™ f: X R nazywamy caÅ‚kowalnÄ…, jeÅ›li |f| dµ < ".
Twierdzenie 1.10.2. Niech (X, M, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ…, a f, g: X R bÄ™dÄ… funkcjami
mierzalnymi oraz Ä…, ² " R, to:

1. jeÅ›li f jest caÅ‚kowalna, to jest prawie wszÄ™dzie skoÅ„czona, tzn. µ {x " X : |f(x)| = +"} = 0,
2. jeÅ›li f jest caÅ‚kowalna, to | f dµ| |f| dµ,
3. jeÅ›li f jest caÅ‚kowalna i f 0, to f dµ 0,
4. jeÅ›li 0 g(x) f(x), dla każdego x " X, oraz f jest caÅ‚kowalna, to g jest caÅ‚kowalna oraz g dµ
f dµ,
5. jeÅ›li f i g sÄ… caÅ‚kowalne, to Ä…f+²g jest caÅ‚kowalna oraz zachodzi (Ä…f+²g) dµ = Ä… f dµ+² g dµ,
6. jeÅ›li f i g sÄ… caÅ‚kowalne oraz dla każdego A " M zachodzi f dµ = g dµ, to f = g µ-p.w. na
A A
X.
1.10.2 Całka Lebesgue a-Stieltjesa
n
Niech będzie dany przedział (a, b), gdzie -" a < b ". Niech M = { (ci, di] : a ci <
i=1
b, a < di < b, 1 n "} oraz niech B będzie rodzina zbiorów borelowskich na (a, b).
Niech g będzie mierzalną w sensie Borela funkcją określoną na R, prawostronnie ciągłą, niemalejącą i
posiadającą granicę lewostronną g(x-) w każdym punkcie x " R. Na M definiujemy nową miarę wzorem

µg (c, d] = g(d) - g(c), (1.23)
jeśli zaś (ci, di] )" (cj, dj] = ", dla i = j, i, j " N, to


n n


µg (ci, di] = µg (ci, di] (1.24)
i=1 i=1
Następnie tak określoną miarę (dzieki temu, że rodzina przedziałów postai (a, b] generuje B) rozszerza
siÄ™ na Ã-ciaÅ‚o zbiorów borelowskich.
Tak określoną miarę nazywamy miarą Lebesgue a-Stieltjesa.
Ćwiczenie 1.10.2. Własności miary Lebesgue a-Stieltjesa:
Podstawy teorii miary, 2007 10
Krzysztof Rykaczewski

1. µg {Ä} = g(Ä) - g(Ä-), 3. µg [c, d) = g(d-) - g(c-),

2. µg [c, d] = g(d) - g(c-), 4. µg (c, d) = g(d-) - g(c).
Jeśli f jest funkcją borelowską określoną na zbiorze borelowskim, to całkę Lebesgue a-Stieltjesa funkcji
f względem funkcji g określamy wzorem
f(x) dg(x) = f(x) dµg(x), (1.25)
E E
gdzie po prawej stronie stoi caÅ‚ka Lebesgue a wzglÄ™dem miary µg.
Ponieważ skÅ‚adnik f(x) dµg(x) jest w istocie zwykÅ‚Ä… caÅ‚ka Lebesgue a wzglÄ™dem miary µg, to caÅ‚ka
E
ta posiada zwykłe własności całki. Ponadto zwrócmy uwagę na ciekawe
Twierdzenie 1.10.3. Jeśli g jest funkcją absolutnie ciągłą, to
f(x) dg(x) = f(x)g (x) dx. (1.26)
E E
1.10.3 Związek całki Riemanna oraz całki Lebesgue a
Przykład 1.10.1. Rozważmy funkcję f: [0, 1] R zadaną w następujący sposób
1, gdy x " Q )" [0, 1],
f(x) = (1.27)
0, gdy x " (R \ Q) )" [0, 1].
Przypomnijmy sobie w tym miejscu definicję całki Riemanna. Jeśli policzymy górną oraz dolną sumę,
to nigdy one nie będą sobie równe. Dlatego całka Riemanna tej funkcji nie istnieje. Całka Lebesgue a
natomiast istnieje! Policzmy jÄ… zatem!
f dµ = f dµ + f dµ = 0 + 0 = 0. (1.28)
[0,1] [0,1])"Q [0,1])"QC
Zachodzi natomiast następujące
Twierdzenie 1.10.4. JeÅ›li istnieje caÅ‚ka Riemanna z funkcji f na zbiorze E ‚" Rn, to istnieje caÅ‚ka
Lebesgue a z tej funkcji na tym zbiorze i są one sobie równe.
Dlatego na oznaczenie całki Lebesgue a używamy tego samego symbolu co dla całki Riemanna.
1.10.4 Twierdzenia o zbieżności
Twierdzenie 1.10.5. Dla całki Lebesgue a mamy
1. (Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Niech fk : X R+ := [0, +") będzie
k"N
ciÄ…giem niemalejÄ…cym, tzn.
fk(x) fk+1(x) dla każdego k " N oraz dla każdego x " E. (1.29)
Wtedy
lim fk dµ = lim fk dµ = sup fk dµ. (1.30)
k k
k
Podstawy teorii miary, 2007 11
Krzysztof Rykaczewski
2. (Lemat Fatou) Jeśli {fk : X R+}k"N jest dowolnym ciągiem, to
lim inf fk dµ lim inf fk dµ. (1.31)
k k
3. (Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej) Jeśli {fk}k"N jest ciągiem funkcji mierzal-
nych z granicą punktową f (przypomnijmy, że wtedy f też jest mierzalna) oraz jeśli istnieje całko-
walna w sensie Lebesgue a funkcja g taka, że |fk| g dla każdego k " N, to f jest całkowalna w
sensie Lebesgue a oraz
lim fk dµ = lim fk dµ = f dµ. (1.32)
k k
4. Jeśli {fk : X R+}k"N są funkcjami mierzalnymi, to
" "
fn dµ = fn dµ. (1.33)
n=1 n=1
1.10.5 Twierdzenie Radona-Nikodyma
PrzykÅ‚ad 1.10.2. Zauważmy, że jeÅ›li f 0, to funkcja zbioru M A f dµ " [0, +") jest miarÄ….

A
Interesujący fakt (twierdzenie odwrotne do powyższego) został udowodnony przez Johanna Radona i
Otto Nikodyma w 1930 roku.
Twierdzenie 1.10.6. (Radona-Nikodyma) Niech (X, M, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… oraz µ bÄ™dzie
miarÄ… Ã-skoÅ„czonÄ…. Przypuśćmy, że ½: M [0, "] jest miarÄ… absolutnie ciÄ…gÅ‚Ä… wzglÄ™dem µ (tzn. jeÅ›li
µ(A) = 0, to również ½(A) = 0 dla A " M). Wówczas istnieje funkcja mierzalna f: X [0, ") taka, że
½(A) = f dµ, (1.34)
A
dla każdego A " M.
Uwaga 1.10.3. Twierdzenie to jest bardzo ważne w teorii prawdopodobieństwa (np. w definicji warun-
kowej wartości oczekiwanej) oraz w analizie matematycznej (np. przy dowodzeniu Twierdzenia Lapunova
o miarach wektorowych oraz zasady bang-bang).
1.11 Zbiory niemierzalne
Okazuje się, że nie wszystkie podzbiory R są mierzalne w sensie Lebesgue a. Przykładem takiego zbioru
jest zbiór Vitaliego. Zbiory niemierzalne pojawiają się także w paradoksie Banacha-Tarskiego. Wszystkie
podane konstrukcje bazują na pewniku wyboru lub innych równoważnych mu aksjomatach.
1.11.1 Zbiór Giuseppe Vitaliego  konstrukcja
W zbiorze liczb rzeczywistych z odcinka [0, 1] określamy relację równoważności następująco:
x <" y wtedy i tylko wtedy, gdy x - y jest liczbÄ… wymiernÄ…. (1.35)
Podstawy teorii miary, 2007 12
Krzysztof Rykaczewski
Klasy abstrakcji [x] = {y " [0, 1] : x <" y} tej relacji są rozłącznymi podzbiorami [0, 1]. Na mocy
aksjomatu wyboru istnieje zbiór V, który ma po jednym elemencie wspólnym z każdą klasą abstrakcji
(v )" [x] jest jednoelementowy). Zbiór V nazywamy zbiorem Vitaliego. Dowodzi się, że zbiór Vitaliego jest
niemierzalny w sensie Lebesgue a.
Istotnie, załóżmy, że jest on mierzalny. Uporządkujmy liczby wymierne z odcinka [-1, 1] w ciąg
q1, q2, . . .. Zauważmy, że Vk = V + qk są rozłączne oraz przystające w sensie relacji <". Ponadto niech
x " [0, 1] oraz v będzie reprezentantem klasy [x]. Wtedy q = x - v " Q, czyli q = qi dla pewnego i. Stąd
" "
x " Vi, czyli [0, 1] ‚" Vi. Ponadto Vi ‚" [-1, 2].
i=1 i=1
Zauważmy, że wtedy


1 µ Vk 3, (1.36)
k

" "
skÄ…d µ ( Vk) = µ(Vk) = µ(V) = +", ponieważ wszystkie zbiory byÅ‚y przestajÄ…ce.
k k=1 k=1
Sprzeczność.
1.11.2 Paradoks Banacha-Tarskiego
Znani polscy matematycy Stefan Banach oraz Alfred Tarski udowodnili w 1924 roku słynne dziś twier-
dzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli. Twierdzenie to mówi, że kulę da się pociąć na skończoną liczbę
części (wystarczy 5!), przy pomocy których używając wyłącznie obrotów i translacji można złożyć dwie
kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.
W twierdzeniu nie pojawia się jednak sprzeczność, ponieważ zbiory, które się  konstruuje nie są
mierzalne, więc nie można argumentować  za lub  przeciw temu twierdzeniu za pomocą teorii miary.
1.11.3 Inny zbiór niemierzalny
Pewną wariację konstrukcji Vitaliego można znalez
ć w książce [7].
Poniższa konstrukcja bazuje na konstrukcji zbioru Vitaliego. Niech S będzie okręgiem. Ustalmy na nim
jeden punkt; oznaczmy go przez 0. Dowolny punkt b na S wyznaczony jest przez jego kÄ…t od punktu 0
(orientacja dodatnia to ta przeciwna do kierunku ruchu wskazówek zegara). Powiemy, że punkty a i b
tego samego typu jeśli (a - b)/Ą jest liczbą wymierną. Okrąg zostanie podzielony na nieprzeliczanie wiele
zbiorów (klas abstrakcji względem tej relacji). Kolejnym etapem konstrukcji jest wybranie z każdego z
tych zbiorów po jednym punkcie (operacja ilorazowa). Zbiór ten nazwiemy E0. Ustalmy pewną numerację
zbioru Q )" [0, 2Ą) = {w1, w2, . . .}. Oznaczmy przez Ek zbiór E0 obrócony o kąt wk. Zbiory {En}" są
n=1
przystające (obrót o wl - wk przeprowadza Ek na El). Ponadto zbiory te są rozłączne, ponieważ jeśli
x " Ei )" Ej = (E0 + wi) )" (E0 + wj), (1.37)
dla i = j to x = u1 + wi = u2 + wj, czyli u1 - u2 = wj - wi " Q. StÄ…d u1 oraz u2 sÄ… tego samego typu.

StÄ…d u1 = u2, czyli wi = wj.
Ponadto zbiory En dają cały okrąg. Gdyby zbiory te byłyby mierzalne, to prowadziłoby to do sprzecz-
ności, podobnie jak w zbiorze Vitaliego.
Przykład 1.11.1. Wez
my dowolny zbiór niemierzalny B. Rozważmy funkcję f : R R zadaną wzorem:
1, gdy x " B,
f(x) = (1.38)
-1, gdy x " R \ B.
Zauważmy teraz, że tak określona funkcja nie jest mierzalna (ćwiczenie). Natomiast f2 jest mierzalna!
Podstawy teorii miary, 2007 13
Krzysztof Rykaczewski
1.12 Rozszerzenia pojęcia miary
Ze względu na zastosowania rozważa się czasem miary, które przyjmują wartości w zbiorze R lub C.
Istnieją także miary o wartościach w przestrzeniach Banacha.
1.12.1 Miary rzeczywiste
Niech (X, M) bÄ™dzie, jak zwykle, przestrzeniÄ… mierzalnÄ… z Ã-ciaÅ‚em M.
Definicja 1.12.1. MiarÄ… rzeczywistÄ… nazywamy Ã-addytywnÄ… funkcjÄ™ µ: M R takÄ…, że µ(") = 0.
Dla A " M określmy
" "

|µ|(A) = inf |µ(An)| : A = An, oraz Ai )" Aj = " . (1.39)
n=1 n=1
"
Skoro szereg µ(An) byÅ‚ bezwzglÄ™dnie zbieżny, to definicja ta jest poprawna.
n=1
Definicja 1.12.2. FunkcjÄ™ |µ|: M R nazywamy wariacjÄ… miary µ.
Fakt 1.12.1. Wariancja jest skoÅ„czonÄ… miarÄ… rzeczywistÄ… na M oraz zachodzi |µ(A)| |µ|(A).
Definicja 1.12.3. Mówimy, że miara µ jest bezatomowa, o ile dla każdego A " M takiego, że |µ|(A) > 0
istnieje B " M taki, że 0 < |µ|(B) < |µ|(A).
Twierdzenie Hahna
Można pokazać, że |µ| = µ+ + µ-, gdzie
µ+(A) := sup{µ(B) : B " M, B ‚" A}, (1.40)
µ-(A) := - inf{µ(B) : B " M, B ƒ" A} (1.41)
są skończonymi miarami (nieujemnymi). Ponadto zachodzi ciekawe
Twierdzenie 1.12.1. (Hahna) JeÅ›li (X, M) jest przestrzeniÄ… mierzalnÄ… oraz µ okreÅ›lonÄ… na niej miarÄ…
rzeczywistą, to istnieją dwa rozłączne zbiory mierzalne X+ oraz X- takie, że
µ+(A) = µ(A )" X+), (1.42)
µ-(A) = -µ(A )" X-). (1.43)
ParÄ™ (µ+, µ-) nazywÄ… siÄ™ dekompozycjÄ… (rozkÅ‚adem) Jordana miary µ.
Dla dowolnej funkcji rzeczywistej f Å‚atwo sprawdzić, że (A) = f dµ jest miarÄ… rzeczywistÄ…. Mamy
A
ponadto
Ä…(A) = fÄ… dµ,
A
(1.44)
||(A) = |f| dµ,
A
gdzie f+, f- to część dodatnia i ujemna funkcji f, odpowiednio.
Podstawy teorii miary, 2007 14
Krzysztof Rykaczewski
Twierdznie Lapunova dla miar wektorowych
Twierdzenie 1.12.2. (Lapunova) Niech µ1, . . . , µn bÄ™dÄ… rzeczywistymi miarami bezatomowymi na Ã-
ciele M. Wówczas funkcja µ: M Rn dana wzorem

µ(A) = µ1(A), . . . , µn(A) , dla A " M, (1.45)
ma zwarty i wypukły zbiór wartości.
1.12.2 Miary zespolone
Definicja 1.12.4. MiarÄ… zespolonÄ… na przestrzeni mierzalnej (X, M) nazywamy funkcjÄ™ µ: M C takÄ…,
że
1. µ(") = 0,
2. jest Ã-addytywna, tzn. dla przeliczalnej rodziny rozÅ‚Ä…cznych zbiorów E1, E2, E3, . . . " M (czyli Ei )"
Ej = " dla i = j) mamy


" "

µ Ei = µ(Ei). (1.46)
i=1 i=1
Całkowanie ze względu na miarę zespoloną
MiarÄ™ µ: M C można (jak każdÄ… funkcjÄ™ o wartoÅ›ciach zespolonych) przedstawić w postaci µ =
µ1 + iµ2. SkÅ‚adniki te nazywamy odpowiednio częściÄ… rzeczywistÄ… oraz zespolonÄ… miary µ. StosujÄ…c
rozkład Jordana do tych miar otrzymujemy
µ1 = µ+ + µ-,
1 1
(1.47)
µ2 = µ+ + µ-.
2 2
Definicja 1.12.5. 1. Mając funkcję f: X R o wartościach rzeczywistych definiujemy

f dµ := f dµ+ - f dµ- + i f dµ+ - f dµ- . (1.48)
1 1 2 2
X X X X X
2. Jeśli f: X C, to definiujemy
f dµ := (f) dµ + i (f) dµ, (1.49)
X X X
gdzie (f) i (f) to część rzeczywista i zespolona funkcji f, odpowiednio.
1.12.3 Miary spektralne
Miara spektralna  w analizie funkcjonalnej, przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona
na Ã-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartoÅ›ciach w zbiorze operatorów rzutowych
pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John
von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.
Podstawy teorii miary, 2007 15
Krzysztof Rykaczewski
Definicja
1.12.6. Niech X bÄ™dzie przestrzeniÄ… topologicznÄ…, M Ã-ciaÅ‚em podzbiorów tej przestrzeni. Da-

lej, niech H, (·|·) bÄ™dzie oÅ›rodkowÄ… przestrzeniÄ… Hilberta i niech L(H) oznacza przestrzeÅ„ operatorów
liniowych i ciągłych na przestrzeni H.
FunkcjÄ™ E: M L(H) nazywamy miarÄ… spektralnÄ… na przestrzeni X, o ile:
1. E(B) jest operatorem rzutowym dla B " M.
2. E(X) = I,
3. E(B1 )" B2) = E(B1) ć% E(B2), B1, B2 " M,
4. Dla każdego x " H funkcja B E(B)x, B " M, jest Ã-addytywnÄ… miarÄ… wektorowÄ….

Własności
" Gdy B1, B2 " M oraz B1 Ä…" B2, to E(B1) E(B2) w sensie (E(B1)h|h) (E(B2)h|h), h " H.
Ponieważ E(B1)h 2 = (E(B1)h|h), więc z powyższego wynika, że E(B1)H ą" E(B2)H - operator
E(B1) rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni E(B2)H.
" Jeżeli h, k " H oraz B " M, to równość Eh,k(B) := (E(B)h|k) określa przeliczalnie addytywną miarę
wektorowÄ… o wahaniu ograniczonym przez h k .
Podstawy teorii miary, 2007 16
BIBLIOGRAFIA
[1] Poradnik inżyniera, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa 1970
[2] Atlas matematyki, Prószyński i S-ka, 2003
[3] J. Muszyński Teoria całki. Miara i całka, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1990
[4] F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydanie trzynaste, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
1976
[5] Nowoczesne Kompendium Matematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004
[6] Leksykon matematyczny, Wiedza Powszechna, 1993
[7] J. Jakubowski, R. Sztencel Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, Script
[8] W. Kryszewski Teoria sterowania. Skrypt
[9] T. J. Jech The Axiom of Choice, American Elsevier Pub. Co., New York, 1973
[10] Wikipedia - The Free Encyclopedia
17
SKOROWIDZ
Ã-algebra zbiorów borelowskich, 2 produkt miar, 6
przestrzeÅ„ Ã-skoÅ„czona, 4
funkcja całkowalna w sensie Lebesgue a, 9
przestrzeń mierzalna, 2
przestrzeń nieskończona, 4
całka Lebesgue a-Stieltjesa, 9
przestrzeń probabilistyczna, 2
caiło zbiorów, 2
przestrzeń skończona, 4
przestrzeń z miarą, 2
funckcja mierzalna w sensie Lebesgue a, 8
przestrzeń zupełna, 4
indukcja mierzalna, 8
rozkład Jordana miary, 13
lemat Fatou, 11
twierdzenie Caratheodory ego, 3
lewostronna niezienniczość, 5
twierdzenie Hahna, 13
twierdzenie Lapunova, 14
miara, 2
twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej,
miara absolutnie ciągła, 11
10
miara bezatomowa, 13
twierdzenie Radona-Nikodyma, 11
miara Diraca, 6
miara Haara, 5
wariacja miary, 13
miara Jordana, 6
warunkowa wartość oczekiwana, 11
miara kÄ…ta, 5
wewnętrzna miara Jordana, 6
miara Lebesgue a, 6
wierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowa-
miara liczÄ…ca, 5
nej, 11
miara probabilistyczna, 2
miara Radona, 7
zasada bang-bang, 11
miara rzeczywista, 13
zbiór µ-zerowy, 4
miara unormowana, 2
zbiór Vitaliego, 11
miara zespolona, 14
zbiory mierzalne, 2
miara zewnętrzna, 3
zewnętrzna miara Jordana, 6
paradoks Banacha-Tarskiego, 12
pewnik wyboru, 11
prawie wszędzie, 7
prawostronna niezienniczość, 5
produkt Ã-ciaÅ‚, 6
18