Algebra liniowa
Marcin Stępień
[e-mail]
Politechnika Świętokrzyska
Wykład 6
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
2. Liczbę rz A równą największemu ze stopni jej niezerowych minorów, gdy A nie jest
macierzÄ… zerowÄ….
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
2. Liczbę rz A równą największemu ze stopni jej niezerowych minorów, gdy A nie jest
macierzÄ… zerowÄ….
Rząd macierzy spełnia więc nierówność:
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
2. Liczbę rz A równą największemu ze stopni jej niezerowych minorów, gdy A nie jest
macierzÄ… zerowÄ….
Rząd macierzy spełnia więc nierówność:
0 rz A min(m, n)
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
2. Liczbę rz A równą największemu ze stopni jej niezerowych minorów, gdy A nie jest
macierzÄ… zerowÄ….
Rząd macierzy spełnia więc nierówność:
0 rz A min(m, n)
Twierdzenie.
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
2. Liczbę rz A równą największemu ze stopni jej niezerowych minorów, gdy A nie jest
macierzÄ… zerowÄ….
Rząd macierzy spełnia więc nierówność:
0 rz A min(m, n)
Twierdzenie.
Następujące operacje nie zmieniają rzędu macierzy:
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
2. Liczbę rz A równą największemu ze stopni jej niezerowych minorów, gdy A nie jest
macierzÄ… zerowÄ….
Rząd macierzy spełnia więc nierówność:
0 rz A min(m, n)
Twierdzenie.
Następujące operacje nie zmieniają rzędu macierzy:
1. Pomnożenie wiersza (lub kolumny) macierzy przez tę samą liczbę.
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
2. Liczbę rz A równą największemu ze stopni jej niezerowych minorów, gdy A nie jest
macierzÄ… zerowÄ….
Rząd macierzy spełnia więc nierówność:
0 rz A min(m, n)
Twierdzenie.
Następujące operacje nie zmieniają rzędu macierzy:
1. Pomnożenie wiersza (lub kolumny) macierzy przez tę samą liczbę.
2. Przestawienie wierszy (lub kolumn) macierzy.
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
2. Liczbę rz A równą największemu ze stopni jej niezerowych minorów, gdy A nie jest
macierzÄ… zerowÄ….
Rząd macierzy spełnia więc nierówność:
0 rz A min(m, n)
Twierdzenie.
Następujące operacje nie zmieniają rzędu macierzy:
1. Pomnożenie wiersza (lub kolumny) macierzy przez tę samą liczbę.
2. Przestawienie wierszy (lub kolumn) macierzy.
3. Dodanie do wiersza (lub kolumny) kombinacji liniowej pozostałych wierszy (lub
kolumn).
RzÄ…d macierzy
Definicja.
RzÄ™dem macierzy A " Mm×n nazywamy:
1. LiczbÄ™ zero, gdy A jest macierzÄ… zerowÄ….
2. Liczbę rz A równą największemu ze stopni jej niezerowych minorów, gdy A nie jest
macierzÄ… zerowÄ….
Rząd macierzy spełnia więc nierówność:
0 rz A min(m, n)
Twierdzenie.
Następujące operacje nie zmieniają rzędu macierzy:
1. Pomnożenie wiersza (lub kolumny) macierzy przez tę samą liczbę.
2. Przestawienie wierszy (lub kolumn) macierzy.
3. Dodanie do wiersza (lub kolumny) kombinacji liniowej pozostałych wierszy (lub
kolumn).
4. Skreślenie lub dopisanie do macierzy wiersza zerowego (lub kolumny zerowej).
Obliczanie rzędu macierzy
Przykłady.
Obliczanie rzędu macierzy
Przykłady.

1 -2 1 2
1. Obliczymy rzÄ…d macierzy A = korzystajÄ…c jedynie
-1 2 -1 -2
z definicji.
Obliczanie rzędu macierzy
Przykłady.

1 -2 1 2
1. Obliczymy rzÄ…d macierzy A = korzystajÄ…c jedynie
-1 2 -1 -2
z definicji.
Wyznaczamy odpowiednie minory macierzy A:
Obliczanie rzędu macierzy
Przykłady.

1 -2 1 2
1. Obliczymy rzÄ…d macierzy A = korzystajÄ…c jedynie
-1 2 -1 -2
z definicji.
Wyznaczamy odpowiednie minory macierzy A:
1 -2 1 1 1 2
= 0 = 0 = 0
-1 2 -1 -1 -1 -2
Obliczanie rzędu macierzy
Przykłady.

1 -2 1 2
1. Obliczymy rzÄ…d macierzy A = korzystajÄ…c jedynie
-1 2 -1 -2
z definicji.
Wyznaczamy odpowiednie minory macierzy A:
1 -2 1 1 1 2
= 0 = 0 = 0
-1 2 -1 -1 -1 -2
-2 1 -2 2 1 2
= 0 = 0 = 0
2 -1 2 -2 -1 -2
Obliczanie rzędu macierzy
Przykłady.

1 -2 1 2
1. Obliczymy rzÄ…d macierzy A = korzystajÄ…c jedynie
-1 2 -1 -2
z definicji.
Wyznaczamy odpowiednie minory macierzy A:
1 -2 1 1 1 2
= 0 = 0 = 0
-1 2 -1 -1 -1 -2
-2 1 -2 2 1 2
= 0 = 0 = 0
2 -1 2 -2 -1 -2
Wszystkie minory stopnia 2 są równe zero, natomiast łatwo wskazać niezerowy minor
stopnia 1, np. |2| = 2 = 0, zatem rz A = 1.

Obliczanie rzędu macierzy  c. d.
Przykłady.
Obliczanie rzędu macierzy  c. d.
Przykłady.

1 0 -1 2
2. Obliczymy rzÄ…d macierzy B = 0 3 2 -2 korzystajÄ…c z twierdzenia o operacjach nie
1 -3 -3 4
zmieniających rzędu macierzy.
Obliczanie rzędu macierzy  c. d.
Przykłady.

1 0 -1 2
2. Obliczymy rzÄ…d macierzy B = 0 3 2 -2 korzystajÄ…c z twierdzenia o operacjach nie
1 -3 -3 4
zmieniających rzędu macierzy.

1 0 -1 2
rz B = rz 0 3 2 -2 =
1 -3 -3 4
Obliczanie rzędu macierzy  c. d.
Przykłady.

1 0 -1 2
2. Obliczymy rzÄ…d macierzy B = 0 3 2 -2 korzystajÄ…c z twierdzenia o operacjach nie
1 -3 -3 4
zmieniających rzędu macierzy.

1 0 -1 2
rz B = rz 0 3 2 -2 = w3 w3 - w1
1 -3 -3 4
Obliczanie rzędu macierzy  c. d.
Przykłady.

1 0 -1 2
2. Obliczymy rzÄ…d macierzy B = 0 3 2 -2 korzystajÄ…c z twierdzenia o operacjach nie
1 -3 -3 4
zmieniających rzędu macierzy.

1 0 -1 2
rz B = rz 0 3 2 -2 = w3 w3 - w1
1 -3 -3 4

1 0 -1 2
= rz 0 3 2 -2 =
0 -3 -2 2
Obliczanie rzędu macierzy  c. d.
Przykłady.

1 0 -1 2
2. Obliczymy rzÄ…d macierzy B = 0 3 2 -2 korzystajÄ…c z twierdzenia o operacjach nie
1 -3 -3 4
zmieniających rzędu macierzy.

1 0 -1 2
rz B = rz 0 3 2 -2 = w3 w3 - w1
1 -3 -3 4

1 0 -1 2
= rz 0 3 2 -2 = w3 w3 + w2
0 -3 -2 2
Obliczanie rzędu macierzy  c. d.
Przykłady.

1 0 -1 2
2. Obliczymy rzÄ…d macierzy B = 0 3 2 -2 korzystajÄ…c z twierdzenia o operacjach nie
1 -3 -3 4
zmieniających rzędu macierzy.

1 0 -1 2
rz B = rz 0 3 2 -2 = w3 w3 - w1
1 -3 -3 4

1 0 -1 2
= rz 0 3 2 -2 = w3 w3 + w2
0 -3 -2 2

1 0 -1 2
= rz 0 3 2 -2
0 0 0 0
Obliczanie rzędu macierzy  c. d.
Przykłady.

1 0 -1 2
2. Obliczymy rzÄ…d macierzy B = 0 3 2 -2 korzystajÄ…c z twierdzenia o operacjach nie
1 -3 -3 4
zmieniających rzędu macierzy.

1 0 -1 2
rz B = rz 0 3 2 -2 = w3 w3 - w1
1 -3 -3 4

1 0 -1 2
= rz 0 3 2 -2 = w3 w3 + w2
0 -3 -2 2

1 0 -1 2
= rz 0 3 2 -2
0 0 0 0
Jak widać po ostatnim przekształceniu, wszystkie minory stopnia 3 znikają, natomiast można wybrać minor, np.
0 -1

= 0, skąd otrzymujemy, że rz A = 2.
3 2
Macierz odwrotna
Macierz odwrotna
Definicja.
Macierz odwrotna
Definicja.
Macierz kwadratowÄ… A " Mn nazywamy nieosobliwÄ…, gdy det A = 0

(a osobliwÄ…, gdy det A = 0).
Macierz odwrotna
Definicja.
Macierz kwadratowÄ… A " Mn nazywamy nieosobliwÄ…, gdy det A = 0

(a osobliwÄ…, gdy det A = 0).
Definicja.
Macierz odwrotna
Definicja.
Macierz kwadratowÄ… A " Mn nazywamy nieosobliwÄ…, gdy det A = 0

(a osobliwÄ…, gdy det A = 0).
Definicja.
Niech A " Mn będzie macierzą nieosobliwą. Macierzą odwrotną do
macierzy A nazywamy macierz A-1 taką, że AA-1 = A-1A = I.
Macierz odwrotna
Definicja.
Macierz kwadratowÄ… A " Mn nazywamy nieosobliwÄ…, gdy det A = 0

(a osobliwÄ…, gdy det A = 0).
Definicja.
Niech A " Mn będzie macierzą nieosobliwą. Macierzą odwrotną do
macierzy A nazywamy macierz A-1 taką, że AA-1 = A-1A = I.
Można ją wyznaczyć ze wzoru:
Macierz odwrotna
Definicja.
Macierz kwadratowÄ… A " Mn nazywamy nieosobliwÄ…, gdy det A = 0

(a osobliwÄ…, gdy det A = 0).
Definicja.
Niech A " Mn będzie macierzą nieosobliwą. Macierzą odwrotną do
macierzy A nazywamy macierz A-1 taką, że AA-1 = A-1A = I.
Można ją wyznaczyć ze wzoru:
1
A-1 = AD,
det A
Macierz odwrotna
Definicja.
Macierz kwadratowÄ… A " Mn nazywamy nieosobliwÄ…, gdy det A = 0

(a osobliwÄ…, gdy det A = 0).
Definicja.
Niech A " Mn będzie macierzą nieosobliwą. Macierzą odwrotną do
macierzy A nazywamy macierz A-1 taką, że AA-1 = A-1A = I.
Można ją wyznaczyć ze wzoru:
1
A-1 = AD,
det A
gdzie macierz AD postaci AD = [(-1)i+jAij]T nazywamy macierzą dołączoną
macierzy A.
Macierz odwrotna
Definicja.
Macierz kwadratowÄ… A " Mn nazywamy nieosobliwÄ…, gdy det A = 0

(a osobliwÄ…, gdy det A = 0).
Definicja.
Niech A " Mn będzie macierzą nieosobliwą. Macierzą odwrotną do
macierzy A nazywamy macierz A-1 taką, że AA-1 = A-1A = I.
Można ją wyznaczyć ze wzoru:
1
A-1 = AD,
det A
gdzie macierz AD postaci AD = [(-1)i+jAij]T nazywamy macierzą dołączoną
macierzy A.
Wyznaczanie macierzy odwrotnej z pomocÄ… operacji
elementarnych na macierzy blokowej
Wyznaczanie macierzy odwrotnej z pomocÄ… operacji
elementarnych na macierzy blokowej
Macierz odwrotną A-1 do macierzy A można również wyznaczyć, stosując
operacje elementarne na wierszach następującej macierzy blokowej:
Wyznaczanie macierzy odwrotnej z pomocÄ… operacji
elementarnych na macierzy blokowej
Macierz odwrotną A-1 do macierzy A można również wyznaczyć, stosując
operacje elementarne na wierszach następującej macierzy blokowej:
[A|I ] =
Wyznaczanie macierzy odwrotnej z pomocÄ… operacji
elementarnych na macierzy blokowej
Macierz odwrotną A-1 do macierzy A można również wyznaczyć, stosując
operacje elementarne na wierszach następującej macierzy blokowej:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
[A|I ] =
. . . . . .
. .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . .
. .
. . . . . .
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej z pomocÄ… operacji
elementarnych na macierzy blokowej
Macierz odwrotną A-1 do macierzy A można również wyznaczyć, stosując
operacje elementarne na wierszach następującej macierzy blokowej:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
[A|I ] =
. . . . . .
. .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . .
. .
. . . . . .
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
przy czym dozwolone są następujące operacje:
Wyznaczanie macierzy odwrotnej z pomocÄ… operacji
elementarnych na macierzy blokowej
Macierz odwrotną A-1 do macierzy A można również wyznaczyć, stosując
operacje elementarne na wierszach następującej macierzy blokowej:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
[A|I ] =
. . . . . .
. .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . .
. .
. . . . . .
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
przy czym dozwolone są następujące operacje:
1) przestawienie dowolnych dwóch wierszy (wi "! wj),
Wyznaczanie macierzy odwrotnej z pomocÄ… operacji
elementarnych na macierzy blokowej
Macierz odwrotną A-1 do macierzy A można również wyznaczyć, stosując
operacje elementarne na wierszach następującej macierzy blokowej:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
[A|I ] =
. . . . . .
. .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . .
. .
. . . . . .
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
przy czym dozwolone są następujące operacje:
1) przestawienie dowolnych dwóch wierszy (wi "! wj),
2) pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera (ąwi),
Wyznaczanie macierzy odwrotnej z pomocÄ… operacji
elementarnych na macierzy blokowej
Macierz odwrotną A-1 do macierzy A można również wyznaczyć, stosując
operacje elementarne na wierszach następującej macierzy blokowej:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
[A|I ] =
. . . . . .
. .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . .
. .
. . . . . .
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
przy czym dozwolone są następujące operacje:
1) przestawienie dowolnych dwóch wierszy (wi "! wj),
2) pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera (ąwi),

3) dodanie do wiersza kombinacji liniowej pozostałych wierszy (wi + ąj
wj).
Wyznaczanie macierzy odwrotnej z pomocÄ… operacji
elementarnych na macierzy blokowej
Macierz odwrotną A-1 do macierzy A można również wyznaczyć, stosując
operacje elementarne na wierszach następującej macierzy blokowej:
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0
a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
[A|I ] =
. . . . . .
. .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . .
. .
. . . . . .
an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1
przy czym dozwolone są następujące operacje:
1) przestawienie dowolnych dwóch wierszy (wi "! wj),
2) pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera (ąwi),

3) dodanie do wiersza kombinacji liniowej pozostałych wierszy (wi + ąj
wj).
Celem tych wszystkich operacji jest doprowadzenie macierzy blokowej [A|I ]
do postaci [I |A-1].
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa.
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A =
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 =
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9
(-1)1+1A11 = = -6
-1 5
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7
-1 5 3 5
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7
(-1)2+1A21 = = 3
-1 5
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7
(-1)2+1A21 = = 3 (-1)2+2A22 = = -6
-1 5 3 5
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)2+1A21 = = 3 (-1)2+2A22 = = -6 (-1)2+3A23 = = -3
-1 5 3 5 3 -1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)2+1A21 = = 3 (-1)2+2A22 = = -6 (-1)2+3A23 = = -3
-1 5 3 5 3 -1
-2 7
(-1)3+1A31 = = 3
-3 9
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)2+1A21 = = 3 (-1)2+2A22 = = -6 (-1)2+3A23 = = -3
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7
(-1)3+1A31 = = 3 (-1)3+2A32 = = 1
-3 9 4 9
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)2+1A21 = = 3 (-1)2+2A22 = = -6 (-1)2+3A23 = = -3
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)3+1A31 = = 3 (-1)3+2A32 = = 1 (-1)3+3A33 = = 1
-3 9 4 9 4 -3
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)2+1A21 = = 3 (-1)2+2A22 = = -6 (-1)2+3A23 = = -3
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)3+1A31 = = 3 (-1)3+2A32 = = 1 (-1)3+3A33 = = 1
-3 9 4 9 4 -3
Zatem ostatecznie:
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)2+1A21 = = 3 (-1)2+2A22 = = -6 (-1)2+3A23 = = -3
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)3+1A31 = = 3 (-1)3+2A32 = = 1 (-1)3+3A33 = = 1
-3 9 4 9 4 -3
Zatem ostatecznie:
A-1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)2+1A21 = = 3 (-1)2+2A22 = = -6 (-1)2+3A23 = = -3
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)3+1A31 = = 3 (-1)3+2A32 = = 1 (-1)3+3A33 = = 1
-3 9 4 9 4 -3
Zatem ostatecznie:

T
-6 7 5
1
A-1 = · 3 -6 -3 =
3
3 1 1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
macierzy dołączonej
Przykłady.

3 -2 7
1. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = 4 -3 9 z pomocą macierzy dołączonej.
3 -1 5
Zauważmy najpierw, że macierz A jest nieosobliwa. Istotnie det A = - 45 - 28 - 54 + 63 + 27 + 40 = 3 = 0.

Obliczamy macierz dołączoną macierzy A.
-3 9 4 9 4 -3
(-1)1+1A11 = = -6 (-1)1+2A12 = = 7 (-1)1+3A13 = = 5
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)2+1A21 = = 3 (-1)2+2A22 = = -6 (-1)2+3A23 = = -3
-1 5 3 5 3 -1
-2 7 3 7 3 -2
(-1)3+1A31 = = 3 (-1)3+2A32 = = 1 (-1)3+3A33 = = 1
-3 9 4 9 4 -3
Zatem ostatecznie:
îÅ‚ Å‚Å‚
-2 1 1
T
-6 7 5
1 7 1
ðÅ‚ ûÅ‚
A-1 = · 3 -6 -3 = -2
3 3 3
3 1 1
5 1
-1 -
3 3
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0
4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0 w2 - w1
4 -3 9 0 1 0 w1 "! w2
3 -1 5 0 0 1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0 w2 - w1
4 -3 9 0 1 0 w1 "! w2
3 -1 5 0 0 1
1 -1 2 -1 1 0
3 -2 7 1 0 0
3 -1 5 0 0 1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0 w2 - w1
4 -3 9 0 1 0 w1 "! w2
3 -1 5 0 0 1
1 -1 2 -1 1 0
3 -2 7 1 0 0 w2 - 3w1
3 -1 5 0 0 1 w3 - 3w1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0 w2 - w1
4 -3 9 0 1 0 w1 "! w2
3 -1 5 0 0 1
1 -1 2 -1 1 0
3 -2 7 1 0 0 w2 - 3w1
3 -1 5 0 0 1 w3 - 3w1
1 -1 2 -1 1 0
0 1 1 4 -3 0
0 2 -1 3 -3 1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0 w2 - w1
4 -3 9 0 1 0 w1 "! w2
3 -1 5 0 0 1
1 -1 2 -1 1 0
3 -2 7 1 0 0 w2 - 3w1
3 -1 5 0 0 1 w3 - 3w1
1 -1 2 -1 1 0
0 1 1 4 -3 0 w1 + w2
0 2 -1 3 -3 1 w3 - 2w2
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0 w2 - w1
4 -3 9 0 1 0 w1 "! w2
3 -1 5 0 0 1
1 -1 2 -1 1 0
3 -2 7 1 0 0 w2 - 3w1
3 -1 5 0 0 1 w3 - 3w1
1 -1 2 -1 1 0
0 1 1 4 -3 0 w1 + w2
0 2 -1 3 -3 1 w3 - 2w2
1 0 3 3 -2 0
0 1 1 4 -3 0
0 0 -3 -5 3 1
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0 w2 - w1
4 -3 9 0 1 0 w1 "! w2
3 -1 5 0 0 1
1 -1 2 -1 1 0
3 -2 7 1 0 0 w2 - 3w1
3 -1 5 0 0 1 w3 - 3w1
1 -1 2 -1 1 0
0 1 1 4 -3 0 w1 + w2
0 2 -1 3 -3 1 w3 - 2w2
1 0 3 3 -2 0 w1 + w3
1
0 1 1 4 -3 0 - w3
3
0 0 -3 -5 3 1 w2 - w3
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0 w2 - w1
4 -3 9 0 1 0 w1 "! w2
3 -1 5 0 0 1
1 -1 2 -1 1 0
3 -2 7 1 0 0 w2 - 3w1
3 -1 5 0 0 1 w3 - 3w1
1 -1 2 -1 1 0
0 1 1 4 -3 0 w1 + w2
0 2 -1 3 -3 1 w3 - 2w2
1 0 3 3 -2 0 w1 + w3
1
0 1 1 4 -3 0 - w3
3
0 0 -3 -5 3 1 w2 - w3
1 0 0 -2 1 1
7 1
0 1 0 -2
3 3
5 1
0 0 1 -1 -
3 3
Wyznaczanie macierzy odwrotnej przy pomocy
przekształceń elementarnych macierzy blokowej
Przykłady.
2. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy z poprzedniego przykładu stosując przekształcenia elementerne
macierzy blokowej:

3 -2 7 1 0 0
[A|I ] = 4 -3 9 0 1 0
3 -1 5 0 0 1
Zapisujemy to w następujący sposób:
3 -2 7 1 0 0 w2 - w1
4 -3 9 0 1 0 w1 "! w2
3 -1 5 0 0 1
1 -1 2 -1 1 0
3 -2 7 1 0 0 w2 - 3w1
3 -1 5 0 0 1 w3 - 3w1
1 -1 2 -1 1 0
0 1 1 4 -3 0 w1 + w2
0 2 -1 3 -3 1 w3 - 2w2
1 0 3 3 -2 0 w1 + w3
1
0 1 1 4 -3 0 - w3

3
-2 1 1
0 0 -3 -5 3 1 w2 - w3
7 1
Zatem A-1 = -2
3 3
1 0 0 -2 1 1
5 1
-1 -
7 1 3 3
0 1 0 -2
3 3
5 1
0 0 1 -1 -
3 3
Rozwiązywanie równań macierzowych
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
X · I = (C - BT ) · A-1
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
X · I = (C - BT ) · A-1 korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy jednostkowej
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
X · I = (C - BT ) · A-1 korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy jednostkowej
X = (C - BT ) · A-1
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
X · I = (C - BT ) · A-1 korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy jednostkowej
X = (C - BT ) · A-1
Zauważmy, że równanie ma rozwiązanie, gdyż
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
X · I = (C - BT ) · A-1 korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy jednostkowej
X = (C - BT ) · A-1
Zauważmy, że równanie ma rozwiązanie, gdyż
det A =
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
X · I = (C - BT ) · A-1 korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy jednostkowej
X = (C - BT ) · A-1
Zauważmy, że równanie ma rozwiązanie, gdyż
det A = 8 · (-1) · 1 + 2 · 3 · 6 + (-5) · (-2) · 0
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
X · I = (C - BT ) · A-1 korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy jednostkowej
X = (C - BT ) · A-1
Zauważmy, że równanie ma rozwiązanie, gdyż
det A = 8 · (-1) · 1 + 2 · 3 · 6 + (-5) · (-2) · 0 - 6 · (-1) · (-5) - 0 · 3 · 8 - 1 · (-2) · 2 =
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
X · I = (C - BT ) · A-1 korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy jednostkowej
X = (C - BT ) · A-1
Zauważmy, że równanie ma rozwiązanie, gdyż
det A = 8 · (-1) · 1 + 2 · 3 · 6 + (-5) · (-2) · 0 - 6 · (-1) · (-5) - 0 · 3 · 8 - 1 · (-2) · 2 =
= -8 + 36 + 0 - 30 - 0 + 4 = 40 - 38 = 2 = 0,

Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady.
3. RozwiÄ…zać równanie macierzowe X · A + BT = C, gdzie:


8 -2 6 -11 -8
11 1 13
A = 2 -1 0 , B = 6 5 , C =
3 4 7
-5 3 1 -5 -6
Przekształcamy najpierw nasze równanie stosując metodę równań równoważnych.
X · A + BT = C - BT
X · A + BT - BT = C - BT korzystamy z definicji macierzy zerowej
X · A + O = C - BT korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy zerowej
X · A = C - BT mnożymy prawostronnie przez macierz odwrotnÄ… do A, czyli przez A-1
(X · A) · A-1 = (C - BT ) · A-1 korzystamy z Å‚Ä…cznoÅ›ci mnożenia macierzy
X · (A · A-1) = (C - BT ) · A-1 korzystamy z definicji macierzy odwrotnej
X · I = (C - BT ) · A-1 korzystamy z wÅ‚asnoÅ›ci macierzy jednostkowej
X = (C - BT ) · A-1
Zauważmy, że równanie ma rozwiązanie, gdyż
det A = 8 · (-1) · 1 + 2 · 3 · 6 + (-5) · (-2) · 0 - 6 · (-1) · (-5) - 0 · 3 · 8 - 1 · (-2) · 2 =
= -8 + 36 + 0 - 30 - 0 + 4 = 40 - 38 = 2 = 0,

czyli macierz A jest nieosobliwa, zatem jest odwracalna.
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0
(-1)1+1 · A11 = = -1,
3 1
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2,
3 1 -5 1
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6
(-1)2+1 · A21 = = 20,
3 1
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38,
3 1 -5 1
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6
(-1)3+1 · A31 = = 6,
-1 0
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12,
-1 0 2 0
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12, (-1)3+3 · A33 = = -4.
-1 0 2 0 2 -1
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12, (-1)3+3 · A33 = = -4.
-1 0 2 0 2 -1
Zatem macierz dołączona ma postać
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12, (-1)3+3 · A33 = = -4.
-1 0 2 0 2 -1
Zatem macierz dołączona ma postać
AD
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12, (-1)3+3 · A33 = = -4.
-1 0 2 0 2 -1
Zatem macierz dołączona ma postać

T
-1 -2 1
AD = 20 38 -14 =
6 12 -4
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12, (-1)3+3 · A33 = = -4.
-1 0 2 0 2 -1
Zatem macierz dołączona ma postać

T
-1 -2 1 -1 20 6
AD = 20 38 -14 = -2 38 12
6 12 -4 1 -14 -4
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12, (-1)3+3 · A33 = = -4.
-1 0 2 0 2 -1
Zatem macierz dołączona ma postać

T
-1 -2 1 -1 20 6
AD = 20 38 -14 = -2 38 12
6 12 -4 1 -14 -4
StÄ…d otrzymujemy macierz odwrotnÄ…
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12, (-1)3+3 · A33 = = -4.
-1 0 2 0 2 -1
Zatem macierz dołączona ma postać

T
-1 -2 1 -1 20 6
AD = 20 38 -14 = -2 38 12
6 12 -4 1 -14 -4
StÄ…d otrzymujemy macierz odwrotnÄ…
A-1
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12, (-1)3+3 · A33 = = -4.
-1 0 2 0 2 -1
Zatem macierz dołączona ma postać

T
-1 -2 1 -1 20 6
AD = 20 38 -14 = -2 38 12
6 12 -4 1 -14 -4
StÄ…d otrzymujemy macierz odwrotnÄ…

-1 20 6
1
A-1 = · -2 38 12 =
2
1 -14 -4
Wyznaczymy najpierw macierz A-1.
W tym celu liczymy macierz dołączoną macierzy A.
-1 0 2 0 2 -1
(-1)1+1 · A11 = = -1, (-1)1+2 · A12 = = -2, (-1)1+3 · A13 = = 1,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)2+1 · A21 = = 20, (-1)2+2 · A22 = = 38, (-1)2+3 · A23 = = -14,
3 1 -5 1 -5 3
-2 6 8 6 8 -2
(-1)3+1 · A31 = = 6, (-1)3+2 · A32 = = 12, (-1)3+3 · A33 = = -4.
-1 0 2 0 2 -1
Zatem macierz dołączona ma postać

T
-1 -2 1 -1 20 6
AD = 20 38 -14 = -2 38 12
6 12 -4 1 -14 -4
StÄ…d otrzymujemy macierz odwrotnÄ…

1
- 10 3
-1 20 6 2
1
A-1 = · -2 38 12 = -1 19 6 .
2
1 -14 -4
1
-7 -2
2
Możemy teraz podstawić wszystkie macierze do naszego rozwiązania:
Możemy teraz podstawić wszystkie macierze do naszego rozwiązania:
X = (C - BT ) · A-1
Możemy teraz podstawić wszystkie macierze do naszego rozwiązania:
X = (C - BT ) · A-1

1
T - 10 3

-11 -8 2
11 1 13
X = - 6 5 · -1 19 6
3 4 7
-5 -6
1
-7 -2
2
Możemy teraz podstawić wszystkie macierze do naszego rozwiązania:
X = (C - BT ) · A-1

1
T - 10 3

-11 -8 2
11 1 13
X = - 6 5 · -1 19 6
3 4 7
-5 -6
1
-7 -2
2

1
- 10 3
2
11 1 13 -11 6 -5
X = - · -1 19 6
3 4 7 -8 5 -6
1
-7 -2
2
Możemy teraz podstawić wszystkie macierze do naszego rozwiązania:
X = (C - BT ) · A-1

1
T - 10 3

-11 -8 2
11 1 13
X = - 6 5 · -1 19 6
3 4 7
-5 -6
1
-7 -2
2

1
- 10 3
2
11 1 13 -11 6 -5
X = - · -1 19 6
3 4 7 -8 5 -6
1
-7 -2
2

1
- 10 3
2
22 -5 18
X = · -1 19 6
11 -1 13
1
-7 -2
2
Możemy teraz podstawić wszystkie macierze do naszego rozwiązania:
X = (C - BT ) · A-1

1
T - 10 3

-11 -8 2
11 1 13
X = - 6 5 · -1 19 6
3 4 7
-5 -6
1
-7 -2
2

1
- 10 3
2
11 1 13 -11 6 -5
X = - · -1 19 6
3 4 7 -8 5 -6
1
-7 -2
2

1
- 10 3
2
22 -5 18
X = · -1 19 6
11 -1 13
1
-7 -2
2

-11 + 5 + 9 220 - 95 - 126 66 - 30 - 36
X =
-5, 5 + 1 + 6, 5 110 - 19 - 91 33 - 6 - 26
Możemy teraz podstawić wszystkie macierze do naszego rozwiązania:
X = (C - BT ) · A-1

1
T - 10 3

-11 -8 2
11 1 13
X = - 6 5 · -1 19 6
3 4 7
-5 -6
1
-7 -2
2

1
- 10 3
2
11 1 13 -11 6 -5
X = - · -1 19 6
3 4 7 -8 5 -6
1
-7 -2
2

1
- 10 3
2
22 -5 18
X = · -1 19 6
11 -1 13
1
-7 -2
2

-11 + 5 + 9 220 - 95 - 126 66 - 30 - 36
X =
-5, 5 + 1 + 6, 5 110 - 19 - 91 33 - 6 - 26

3 -1 0
X = .
2 0 1
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Podstawiamy wyliczoną macierz X do pierwotnego równania.
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Podstawiamy wyliczoną macierz X do pierwotnego równania.
Zaczynamy od lewej strony równania i sprawdzamy, czy po obliczeniach otrzymamy macierz C stojącą po jego
prawej stronie.
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Podstawiamy wyliczoną macierz X do pierwotnego równania.
Zaczynamy od lewej strony równania i sprawdzamy, czy po obliczeniach otrzymamy macierz C stojącą po jego
prawej stronie.
X · A + BT =
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Podstawiamy wyliczoną macierz X do pierwotnego równania.
Zaczynamy od lewej strony równania i sprawdzamy, czy po obliczeniach otrzymamy macierz C stojącą po jego
prawej stronie.

T

8 -2 6 -11 -8
3 -1 0
X · A + BT = · 2 -1 0 + 6 5 =
2 0 1
-5 3 1 -5 -6
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Podstawiamy wyliczoną macierz X do pierwotnego równania.
Zaczynamy od lewej strony równania i sprawdzamy, czy po obliczeniach otrzymamy macierz C stojącą po jego
prawej stronie.

T

8 -2 6 -11 -8
3 -1 0
X · A + BT = · 2 -1 0 + 6 5 =
2 0 1
-5 3 1 -5 -6

24 - 2 + 0 -6 + 1 + 0 18 + 0 + 0 -11 6 -5
= + =
16 + 0 - 5 -4 + 0 + 3 12 + 0 + 1 -8 5 -6
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Podstawiamy wyliczoną macierz X do pierwotnego równania.
Zaczynamy od lewej strony równania i sprawdzamy, czy po obliczeniach otrzymamy macierz C stojącą po jego
prawej stronie.

T

8 -2 6 -11 -8
3 -1 0
X · A + BT = · 2 -1 0 + 6 5 =
2 0 1
-5 3 1 -5 -6

24 - 2 + 0 -6 + 1 + 0 18 + 0 + 0 -11 6 -5
= + =
16 + 0 - 5 -4 + 0 + 3 12 + 0 + 1 -8 5 -6

22 -5 18 -11 6 -5
= + =
11 -1 13 -8 5 -6
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Podstawiamy wyliczoną macierz X do pierwotnego równania.
Zaczynamy od lewej strony równania i sprawdzamy, czy po obliczeniach otrzymamy macierz C stojącą po jego
prawej stronie.

T

8 -2 6 -11 -8
3 -1 0
X · A + BT = · 2 -1 0 + 6 5 =
2 0 1
-5 3 1 -5 -6

24 - 2 + 0 -6 + 1 + 0 18 + 0 + 0 -11 6 -5
= + =
16 + 0 - 5 -4 + 0 + 3 12 + 0 + 1 -8 5 -6

22 -5 18 -11 6 -5 11 1 13
= + =
11 -1 13 -8 5 -6 3 4 7
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Podstawiamy wyliczoną macierz X do pierwotnego równania.
Zaczynamy od lewej strony równania i sprawdzamy, czy po obliczeniach otrzymamy macierz C stojącą po jego
prawej stronie.

T

8 -2 6 -11 -8
3 -1 0
X · A + BT = · 2 -1 0 + 6 5 =
2 0 1
-5 3 1 -5 -6

24 - 2 + 0 -6 + 1 + 0 18 + 0 + 0 -11 6 -5
= + =
16 + 0 - 5 -4 + 0 + 3 12 + 0 + 1 -8 5 -6

22 -5 18 -11 6 -5 11 1 13
= + = = C
11 -1 13 -8 5 -6 3 4 7
Ze względu na to, że wykonaliśmy wiele obliczeń, w których łatwo popełnić błąd, zawsze należy wykonać
sprawdzenie.
Podstawiamy wyliczoną macierz X do pierwotnego równania.
Zaczynamy od lewej strony równania i sprawdzamy, czy po obliczeniach otrzymamy macierz C stojącą po jego
prawej stronie.

T

8 -2 6 -11 -8
3 -1 0
X · A + BT = · 2 -1 0 + 6 5 =
2 0 1
-5 3 1 -5 -6

24 - 2 + 0 -6 + 1 + 0 18 + 0 + 0 -11 6 -5
= + =
16 + 0 - 5 -4 + 0 + 3 12 + 0 + 1 -8 5 -6

22 -5 18 -11 6 -5 11 1 13
= + = = C
11 -1 13 -8 5 -6 3 4 7
Otrzymaliśmy w wyniku podstawienia, że lewa strona równa jest prawej. Zatem macierz X została wyznaczona
prawidłowo.
Układy równań liniowych
Układ równań liniowych
Układ równań liniowych
Definicja.
Układ równań liniowych
Definicja.
Równanie postaci
Układ równań liniowych
Definicja.
Równanie postaci
a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + anxn = b
Układ równań liniowych
Definicja.
Równanie postaci
a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + anxn = b
nazywamy równaniem liniowym pierwszego stopnia o n niewiadomych
x1, x2, x3, . . . , xn i współczynnikach rzeczywistych a1, a2, a3, . . . , an.
Układ równań liniowych
Definicja.
Równanie postaci
a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + anxn = b
nazywamy równaniem liniowym pierwszego stopnia o n niewiadomych
x1, x2, x3, . . . , xn i współczynnikach rzeczywistych a1, a2, a3, . . . , an.
Definicja.
Układ równań liniowych
Definicja.
Równanie postaci
a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + anxn = b
nazywamy równaniem liniowym pierwszego stopnia o n niewiadomych
x1, x2, x3, . . . , xn i współczynnikach rzeczywistych a1, a2, a3, . . . , an.
Definicja.
Układ m równań liniowych pierwszego stopnia o n niewiadomych x1, x2, x3, . . . , xn
ma postać:
Układ równań liniowych
Definicja.
Równanie postaci
a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + anxn = b
nazywamy równaniem liniowym pierwszego stopnia o n niewiadomych
x1, x2, x3, . . . , xn i współczynnikach rzeczywistych a1, a2, a3, . . . , an.
Definicja.
Układ m równań liniowych pierwszego stopnia o n niewiadomych x1, x2, x3, . . . , xn
ma postać:
Å„Å‚
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
òÅ‚
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3 (1)
.
ôÅ‚
ôÅ‚ .
ôÅ‚ .
ół
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
Układ równań liniowych
Definicja.
Równanie postaci
a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + anxn = b
nazywamy równaniem liniowym pierwszego stopnia o n niewiadomych
x1, x2, x3, . . . , xn i współczynnikach rzeczywistych a1, a2, a3, . . . , an.
Definicja.
Układ m równań liniowych pierwszego stopnia o n niewiadomych x1, x2, x3, . . . , xn
ma postać:
Å„Å‚
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
òÅ‚
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3 (1)
.
ôÅ‚
ôÅ‚ .
ôÅ‚ .
ół
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
gdzie aij " R, 1 i m, 1 j n oraz bi " R.
Postać macierzowa układu równań
Postać macierzowa układu równań
Definicja.
Postać macierzowa układu równań
Definicja.
Układ (1) można zapisać w następującej postaci macierzowej:
Postać macierzowa układu równań
Definicja.
Układ (1) można zapisać w następującej postaci macierzowej:
AX = B,
Postać macierzowa układu równań
Definicja.
Układ (1) można zapisać w następującej postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie A jest tzw. macierzą główną układu (lub macierzą podstawową, albo też macierzą współczynników przy
niewiadomych):
Postać macierzowa układu równań
Definicja.
Układ (1) można zapisać w następującej postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie A jest tzw. macierzą główną układu (lub macierzą podstawową, albo też macierzą współczynników przy
niewiadomych):
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
.
. . . .
.
. . .
am1 am2 . . . amn
Postać macierzowa układu równań
Definicja.
Układ (1) można zapisać w następującej postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie A jest tzw. macierzą główną układu (lub macierzą podstawową, albo też macierzą współczynników przy
niewiadomych):
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
.
. . . .
.
. . .
am1 am2 . . . amn
X jest tzw. wektorem niewiadomych, czyli macierzÄ… postaci
Postać macierzowa układu równań
Definicja.
Układ (1) można zapisać w następującej postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie A jest tzw. macierzą główną układu (lub macierzą podstawową, albo też macierzą współczynników przy
niewiadomych):
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
.
. . . .
.
. . .
am1 am2 . . . amn
X jest tzw. wektorem niewiadomych, czyli macierzÄ… postaci
îÅ‚ Å‚Å‚
x1
x2
ðÅ‚ ûÅ‚
.
.
.
xm
Postać macierzowa układu równań
Definicja.
Układ (1) można zapisać w następującej postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie A jest tzw. macierzą główną układu (lub macierzą podstawową, albo też macierzą współczynników przy
niewiadomych):
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
.
. . . .
.
. . .
am1 am2 . . . amn
X jest tzw. wektorem niewiadomych, czyli macierzÄ… postaci
îÅ‚ Å‚Å‚
x1
x2
ðÅ‚ ûÅ‚
.
.
.
xm
oraz B jest tzw. wektorem wyrazów wolnych , czyli macierzą
Postać macierzowa układu równań
Definicja.
Układ (1) można zapisać w następującej postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie A jest tzw. macierzą główną układu (lub macierzą podstawową, albo też macierzą współczynników przy
niewiadomych):
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
.
. . . .
.
. . .
am1 am2 . . . amn
X jest tzw. wektorem niewiadomych, czyli macierzÄ… postaci
îÅ‚ Å‚Å‚
x1
x2
ðÅ‚ ûÅ‚
.
.
.
xm
oraz B jest tzw. wektorem wyrazów wolnych , czyli macierzą
îÅ‚ Å‚Å‚
b1
b2
ðÅ‚ ûÅ‚
.
.
.
bm
Układ równań liniowych jednorodnych
Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bi , 1 i m układu równań (1) są zerami, to układ równań liniowych (1)
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bi , 1 i m układu równań (1) są zerami, to układ równań liniowych (1)
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Jeśli conajmniej jeden z wyrazów wolnych bi jest liczbą różną od zera to układ równań liniowych (1) nazywamy
układem równań liniowych niejednorodnych.
Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bi , 1 i m układu równań (1) są zerami, to układ równań liniowych (1)
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Jeśli conajmniej jeden z wyrazów wolnych bi jest liczbą różną od zera to układ równań liniowych (1) nazywamy
układem równań liniowych niejednorodnych.
Przykłady.
Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bi , 1 i m układu równań (1) są zerami, to układ równań liniowych (1)
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Jeśli conajmniej jeden z wyrazów wolnych bi jest liczbą różną od zera to układ równań liniowych (1) nazywamy
układem równań liniowych niejednorodnych.
Przykłady.
1. Poniższy układ równań
Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bi , 1 i m układu równań (1) są zerami, to układ równań liniowych (1)
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Jeśli conajmniej jeden z wyrazów wolnych bi jest liczbą różną od zera to układ równań liniowych (1) nazywamy
układem równań liniowych niejednorodnych.
Przykłady.
1. Poniższy układ równań

3x1 + 2x2 - x3 + x4 = 5
x1 + x2 - x3 = 0
2x1 - 6x3 = -11
-2x1 + 3x2 - 4x4 = 0
Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bi , 1 i m układu równań (1) są zerami, to układ równań liniowych (1)
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Jeśli conajmniej jeden z wyrazów wolnych bi jest liczbą różną od zera to układ równań liniowych (1) nazywamy
układem równań liniowych niejednorodnych.
Przykłady.
1. Poniższy układ równań

3x1 + 2x2 - x3 + x4 = 5
x1 + x2 - x3 = 0
2x1 - 6x3 = -11
-2x1 + 3x2 - 4x4 = 0
jest układem równań niejednorodnych, bo np. b3 = -11 = 0,

Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bi , 1 i m układu równań (1) są zerami, to układ równań liniowych (1)
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Jeśli conajmniej jeden z wyrazów wolnych bi jest liczbą różną od zera to układ równań liniowych (1) nazywamy
układem równań liniowych niejednorodnych.
Przykłady.
1. Poniższy układ równań

3x1 + 2x2 - x3 + x4 = 5
x1 + x2 - x3 = 0
2x1 - 6x3 = -11
-2x1 + 3x2 - 4x4 = 0
jest układem równań niejednorodnych, bo np. b3 = -11 = 0,

natomiast układ równań
Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bi , 1 i m układu równań (1) są zerami, to układ równań liniowych (1)
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Jeśli conajmniej jeden z wyrazów wolnych bi jest liczbą różną od zera to układ równań liniowych (1) nazywamy
układem równań liniowych niejednorodnych.
Przykłady.
1. Poniższy układ równań

3x1 + 2x2 - x3 + x4 = 5
x1 + x2 - x3 = 0
2x1 - 6x3 = -11
-2x1 + 3x2 - 4x4 = 0
jest układem równań niejednorodnych, bo np. b3 = -11 = 0,

natomiast układ równań

x1 + 3x2 - x3 = 0
x1 + x2 - 2x3 = 0
x1 - 7x2 - x3 = 0
Układ równań liniowych jednorodnych
Definicja.
Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bi , 1 i m układu równań (1) są zerami, to układ równań liniowych (1)
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Jeśli conajmniej jeden z wyrazów wolnych bi jest liczbą różną od zera to układ równań liniowych (1) nazywamy
układem równań liniowych niejednorodnych.
Przykłady.
1. Poniższy układ równań

3x1 + 2x2 - x3 + x4 = 5
x1 + x2 - x3 = 0
2x1 - 6x3 = -11
-2x1 + 3x2 - 4x4 = 0
jest układem równań niejednorodnych, bo np. b3 = -11 = 0,

natomiast układ równań

x1 + 3x2 - x3 = 0
x1 + x2 - 2x3 = 0
x1 - 7x2 - x3 = 0
jest układem równań jednorodnych, bo bi = 0 dla i = 1, 2, 3.
Rozwiązania układu równań
Rozwiązania układu równań
Definicja.
Rozwiązania układu równań
Definicja.
Rozwiązaniem układu równań liniowych (1) nazywamy taki ciąg takich rzeczywistych
wartości niewiadomych
x1 = Ä…1, x2 = Ä…2, . . . , xn = Ä…n
,
które wstawione do układu równań (1) na miejsca odpowiednich niewiadomych
x1, x2, . . . , xn spełniają ten układ równań, tzn. zmieniają go w układ tożsamości.
Rozwiązania układu równań
Definicja.
Rozwiązaniem układu równań liniowych (1) nazywamy taki ciąg takich rzeczywistych
wartości niewiadomych
x1 = Ä…1, x2 = Ä…2, . . . , xn = Ä…n
,
które wstawione do układu równań (1) na miejsca odpowiednich niewiadomych
x1, x2, . . . , xn spełniają ten układ równań, tzn. zmieniają go w układ tożsamości.
Zbiorem rozwiązań układu równań liniowych (1) nazywamy zbiór wszystkich takich
ciągów liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniami tego układu równań.
Rozwiązania układu równań
Definicja.
Rozwiązaniem układu równań liniowych (1) nazywamy taki ciąg takich rzeczywistych
wartości niewiadomych
x1 = Ä…1, x2 = Ä…2, . . . , xn = Ä…n
,
które wstawione do układu równań (1) na miejsca odpowiednich niewiadomych
x1, x2, . . . , xn spełniają ten układ równań, tzn. zmieniają go w układ tożsamości.
Zbiorem rozwiązań układu równań liniowych (1) nazywamy zbiór wszystkich takich
ciągów liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniami tego układu równań.
Jeżeli układ równań liniowych (1) nie posiada żadnego rozwiązania, tzn. zbiór
rozwiązań układu jest zbiorem pustym, to układ taki nazywamy układem sprzecznym.
Rozwiązania układu równań
Definicja.
Rozwiązaniem układu równań liniowych (1) nazywamy taki ciąg takich rzeczywistych
wartości niewiadomych
x1 = Ä…1, x2 = Ä…2, . . . , xn = Ä…n
,
które wstawione do układu równań (1) na miejsca odpowiednich niewiadomych
x1, x2, . . . , xn spełniają ten układ równań, tzn. zmieniają go w układ tożsamości.
Zbiorem rozwiązań układu równań liniowych (1) nazywamy zbiór wszystkich takich
ciągów liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniami tego układu równań.
Jeżeli układ równań liniowych (1) nie posiada żadnego rozwiązania, tzn. zbiór
rozwiązań układu jest zbiorem pustym, to układ taki nazywamy układem sprzecznym.
Jeżeli układ równań liniowych (1) posiada dokładnie jedno rozwiązanie, tzn. zbiór
rozwiązań układu zawiera dokładnie jeden element, to układ taki nazywamy układem
oznaczonym.
Rozwiązania układu równań
Definicja.
Rozwiązaniem układu równań liniowych (1) nazywamy taki ciąg takich rzeczywistych
wartości niewiadomych
x1 = Ä…1, x2 = Ä…2, . . . , xn = Ä…n
,
które wstawione do układu równań (1) na miejsca odpowiednich niewiadomych
x1, x2, . . . , xn spełniają ten układ równań, tzn. zmieniają go w układ tożsamości.
Zbiorem rozwiązań układu równań liniowych (1) nazywamy zbiór wszystkich takich
ciągów liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniami tego układu równań.
Jeżeli układ równań liniowych (1) nie posiada żadnego rozwiązania, tzn. zbiór
rozwiązań układu jest zbiorem pustym, to układ taki nazywamy układem sprzecznym.
Jeżeli układ równań liniowych (1) posiada dokładnie jedno rozwiązanie, tzn. zbiór
rozwiązań układu zawiera dokładnie jeden element, to układ taki nazywamy układem
oznaczonym.
Jeżeli układ równań liniowych (1) ma nieskończenie wiele rozwiązań, tzn. zbiór
rozwiązań układu zawiera nieskończenie wiele elementów, to układ taki nazywamy
układem nieoznaczonym.
Układy Cramera
Układy Cramera
Definicja.
Układy Cramera
Definicja.
Układ (1) m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera
(lub układem cramerowskim),
Układy Cramera
Definicja.
Układ (1) m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera
(lub układem cramerowskim), jeżeli m = n i wyznacznik macierzy głównej tego
układu jest różny od zera, tzn. det A = 0.

Układy Cramera
Definicja.
Układ (1) m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera
(lub układem cramerowskim), jeżeli m = n i wyznacznik macierzy głównej tego
układu jest różny od zera, tzn. det A = 0.

Twierdzenie.
Układy Cramera
Definicja.
Układ (1) m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera
(lub układem cramerowskim), jeżeli m = n i wyznacznik macierzy głównej tego
układu jest różny od zera, tzn. det A = 0.

Twierdzenie.
Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego
układu, którym jest macierz X (wektor kolumnowy niewiadmomych), powstała z
pomnożenia macierzy odwrotnej A-1 przez macierz B (wektor kolumnowy wyrazów
wolnych), tzn.
Układy Cramera
Definicja.
Układ (1) m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera
(lub układem cramerowskim), jeżeli m = n i wyznacznik macierzy głównej tego
układu jest różny od zera, tzn. det A = 0.

Twierdzenie.
Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego
układu, którym jest macierz X (wektor kolumnowy niewiadmomych), powstała z
pomnożenia macierzy odwrotnej A-1 przez macierz B (wektor kolumnowy wyrazów
wolnych), tzn.
X = A-1B
Układy Cramera
Definicja.
Układ (1) m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera
(lub układem cramerowskim), jeżeli m = n i wyznacznik macierzy głównej tego
układu jest różny od zera, tzn. det A = 0.

Twierdzenie.
Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego
układu, którym jest macierz X (wektor kolumnowy niewiadmomych), powstała z
pomnożenia macierzy odwrotnej A-1 przez macierz B (wektor kolumnowy wyrazów
wolnych), tzn.
X = A-1B
Twierdzenie (Cramera).
Układy Cramera
Definicja.
Układ (1) m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera
(lub układem cramerowskim), jeżeli m = n i wyznacznik macierzy głównej tego
układu jest różny od zera, tzn. det A = 0.

Twierdzenie.
Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego
układu, którym jest macierz X (wektor kolumnowy niewiadmomych), powstała z
pomnożenia macierzy odwrotnej A-1 przez macierz B (wektor kolumnowy wyrazów
wolnych), tzn.
X = A-1B
Twierdzenie (Cramera).
Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego
układu określone wzorami
Układy Cramera
Definicja.
Układ (1) m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera
(lub układem cramerowskim), jeżeli m = n i wyznacznik macierzy głównej tego
układu jest różny od zera, tzn. det A = 0.

Twierdzenie.
Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego
układu, którym jest macierz X (wektor kolumnowy niewiadmomych), powstała z
pomnożenia macierzy odwrotnej A-1 przez macierz B (wektor kolumnowy wyrazów
wolnych), tzn.
X = A-1B
Twierdzenie (Cramera).
Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego
układu określone wzorami
det Ak
xk = (1 k n),
det A
Układy Cramera
Definicja.
Układ (1) m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układem Cramera
(lub układem cramerowskim), jeżeli m = n i wyznacznik macierzy głównej tego
układu jest różny od zera, tzn. det A = 0.

Twierdzenie.
Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego
układu, którym jest macierz X (wektor kolumnowy niewiadmomych), powstała z
pomnożenia macierzy odwrotnej A-1 przez macierz B (wektor kolumnowy wyrazów
wolnych), tzn.
X = A-1B
Twierdzenie (Cramera).
Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego
układu określone wzorami
det Ak
xk = (1 k n),
det A
gdzie det Ak jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy A przez
zastąpienie w niej k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Rozwiązywanie układów Cramera
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Liczba równań jest zatem równa liczbie występujących w układzie niewiadomych.
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Liczba równań jest zatem równa liczbie występujących w układzie niewiadomych.
Sprawdzimy najpierw, czy macierz główna naszego układu jest nieosobliwa.
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Liczba równań jest zatem równa liczbie występujących w układzie niewiadomych.
Sprawdzimy najpierw, czy macierz główna naszego układu jest nieosobliwa.
Liczymy det A:
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Liczba równań jest zatem równa liczbie występujących w układzie niewiadomych.
Sprawdzimy najpierw, czy macierz główna naszego układu jest nieosobliwa.
Liczymy det A:

3 2 1

det A = 2 3 1 = 12 = 0


2 1 3
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Liczba równań jest zatem równa liczbie występujących w układzie niewiadomych.
Sprawdzimy najpierw, czy macierz główna naszego układu jest nieosobliwa.
Liczymy det A:

3 2 1

det A = 2 3 1 = 12 = 0


2 1 3
Macierz A jest więc macierzą nieosobliwą, a zatem nasz układ jest cramerowski i istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie naszego układu postaci
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Liczba równań jest zatem równa liczbie występujących w układzie niewiadomych.
Sprawdzimy najpierw, czy macierz główna naszego układu jest nieosobliwa.
Liczymy det A:

3 2 1

det A = 2 3 1 = 12 = 0


2 1 3
Macierz A jest więc macierzą nieosobliwą, a zatem nasz układ jest cramerowski i istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie naszego układu postaci
X = A-1B,
gdzie
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Liczba równań jest zatem równa liczbie występujących w układzie niewiadomych.
Sprawdzimy najpierw, czy macierz główna naszego układu jest nieosobliwa.
Liczymy det A:

3 2 1

det A = 2 3 1 = 12 = 0


2 1 3
Macierz A jest więc macierzą nieosobliwą, a zatem nasz układ jest cramerowski i istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie naszego układu postaci
X = A-1B,
gdzie

3 2 1

A = 2 3 1 ,

2 1 3
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Liczba równań jest zatem równa liczbie występujących w układzie niewiadomych.
Sprawdzimy najpierw, czy macierz główna naszego układu jest nieosobliwa.
Liczymy det A:

3 2 1

det A = 2 3 1 = 12 = 0


2 1 3
Macierz A jest więc macierzą nieosobliwą, a zatem nasz układ jest cramerowski i istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie naszego układu postaci
X = A-1B,
gdzie

3 2 1
x1

A = 2 3 1 , X = x2 ,

2 1 3 x3
Rozwiązywanie układów Cramera
Przykłady.
1a. Rozwiążemy następujący układ równań

3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu.
Układ ten składa się z trzech równań (n = 3) o trzech niewiadomych: x1, x2, x3.
Liczba równań jest zatem równa liczbie występujących w układzie niewiadomych.
Sprawdzimy najpierw, czy macierz główna naszego układu jest nieosobliwa.
Liczymy det A:

3 2 1

det A = 2 3 1 = 12 = 0


2 1 3
Macierz A jest więc macierzą nieosobliwą, a zatem nasz układ jest cramerowski i istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie naszego układu postaci
X = A-1B,
gdzie

3 2 1
x1 5

A = 2 3 1 , X = x2 , B = 1 .

2 1 3 x3 11
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1
(-1)1+1A11 = = 8
1 3
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4
1 3 2 3
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1
(-1)2+1A21 = = -5
1 3
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7
1 3 2 3
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7 (-1)2+3A23 = = 1
1 3 2 3 2 1
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7 (-1)2+3A23 = = 1
1 3 2 3 2 1
2 1
(-1)3+1A31 = = -1
3 1
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7 (-1)2+3A23 = = 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1
(-1)3+1A31 = = -1 (-1)3+2A32 = = -1
3 1 2 1
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7 (-1)2+3A23 = = 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)3+1A31 = = -1 (-1)3+2A32 = = -1 (-1)3+3A33 = = 5
3 1 2 1 2 3
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7 (-1)2+3A23 = = 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)3+1A31 = = -1 (-1)3+2A32 = = -1 (-1)3+3A33 = = 5
3 1 2 1 2 3
Mamy więc:
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7 (-1)2+3A23 = = 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)3+1A31 = = -1 (-1)3+2A32 = = -1 (-1)3+3A33 = = 5
3 1 2 1 2 3
Mamy więc:
A-1 =
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7 (-1)2+3A23 = = 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)3+1A31 = = -1 (-1)3+2A32 = = -1 (-1)3+3A33 = = 5
3 1 2 1 2 3
Mamy więc:

T
8 -4 -4
1
A-1 = · -5 7 1 =
12
-1 -1 5
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7 (-1)2+3A23 = = 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)3+1A31 = = -1 (-1)3+2A32 = = -1 (-1)3+3A33 = = 5
3 1 2 1 2 3
Mamy więc:

T
8 -4 -4 8 -5 -1
1 1
A-1 = · -5 7 1 = · -4 7 -1 =
12 12
-1 -1 5 -4 1 5
Znajdziemy teraz macierz A-1.
1
A-1 = AD ,
det A
gdzie AD = [(-1)i+j Aij ]T .
Wyznaczymy macierz dołączoną macierzy A.
3 1 2 1 2 3
(-1)1+1A11 = = 8 (-1)1+2A12 = = -4 (-1)1+3A13 = = -4
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)2+1A21 = = -5 (-1)2+2A22 = = 7 (-1)2+3A23 = = 1
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3 2
(-1)3+1A31 = = -1 (-1)3+2A32 = = -1 (-1)3+3A33 = = 5
3 1 2 1 2 3
Mamy więc:

2 5 1

- -
T
3 12 12
8 -4 -4 8 -5 -1
1 1 1 7 1
A-1 = · -5 7 1 = · -4 7 -1 = - -
12 12 3 12 12
-1 -1 5 -4 1 5
1 1 5
-
3 12 12
Pomnożymy teraz macierz A-1 przez wektor wyrazów wolnych, aby uzyskać
rozwiÄ…zanie:
Pomnożymy teraz macierz A-1 przez wektor wyrazów wolnych, aby uzyskać
rozwiÄ…zanie:
X = A-1 · B =
Pomnożymy teraz macierz A-1 przez wektor wyrazów wolnych, aby uzyskać
rozwiÄ…zanie:
X = A-1 · B =
îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
- -
3 12 12
ïÅ‚ śł
1 7 1
= - - ûÅ‚
ðÅ‚
3 12 12
1 1 5
-
3 12 12
Pomnożymy teraz macierz A-1 przez wektor wyrazów wolnych, aby uzyskać
rozwiÄ…zanie:
X = A-1 · B =
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
5
- -
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= - - ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
· 1 =
ðÅ‚
3 12 12
1 1 5
-
11
3 12 12
Pomnożymy teraz macierz A-1 przez wektor wyrazów wolnych, aby uzyskać
rozwiÄ…zanie:
X = A-1 · B =
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
5
- -
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= - - ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
· 1 =
ðÅ‚
3 12 12
1 1 5
-
11
3 12 12
îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
5 · + (- ) + 11 · (- )
3 12 12
ïÅ‚ śł
1 7 1
= 5 · (- ) + + 11 · (- ) =
ðÅ‚ ûÅ‚
3 12 12
1 1 5
5 · (- ) + + 11 ·
3 12 12
Pomnożymy teraz macierz A-1 przez wektor wyrazów wolnych, aby uzyskać
rozwiÄ…zanie:
X = A-1 · B =
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
5
- -
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= - - ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
· 1 =
ðÅ‚
3 12 12
1 1 5
-
11
3 12 12
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
2
5 · + (- ) + 11 · (- )
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= 5 · (- ) + + 11 · (- ) = -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 12 12
1 1 5
5 · (- ) + + 11 ·
3
3 12 12
Pomnożymy teraz macierz A-1 przez wektor wyrazów wolnych, aby uzyskać
rozwiÄ…zanie:
X = A-1 · B =
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
5
- -
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= - - ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
· 1 =
ðÅ‚
3 12 12
1 1 5
-
11
3 12 12
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
2
5 · + (- ) + 11 · (- )
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= 5 · (- ) + + 11 · (- ) = -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 12 12
1 1 5
5 · (- ) + + 11 ·
3
3 12 12
Otrzymaliśmy rozwiązanie naszego układu równań, którym jest wektor
Pomnożymy teraz macierz A-1 przez wektor wyrazów wolnych, aby uzyskać
rozwiÄ…zanie:
X = A-1 · B =
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
5
- -
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= - - ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
· 1 =
ðÅ‚
3 12 12
1 1 5
-
11
3 12 12
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
2
5 · + (- ) + 11 · (- )
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= 5 · (- ) + + 11 · (- ) = -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 12 12
1 1 5
5 · (- ) + + 11 ·
3
3 12 12
Otrzymaliśmy rozwiązanie naszego układu równań, którym jest wektor

2
X = -2 ,
3
Pomnożymy teraz macierz A-1 przez wektor wyrazów wolnych, aby uzyskać
rozwiÄ…zanie:
X = A-1 · B =
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
5
- -
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= - - ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
· 1 =
ðÅ‚
3 12 12
1 1 5
-
11
3 12 12
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 5 1
2
5 · + (- ) + 11 · (- )
3 12 12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 7 1
= 5 · (- ) + + 11 · (- ) = -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 12 12
1 1 5
5 · (- ) + + 11 ·
3
3 12 12
Otrzymaliśmy rozwiązanie naszego układu równań, którym jest wektor

2
X = -2 ,
3
co oznacza, że szukane niewiadome wynoszą x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3.
Sprawdzenie.
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
4 - 6 + 3 = 1
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
4 - 6 + 3 = 1
1 = 1
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
4 - 6 + 3 = 1
1 = 1
Drugie równanie też jest spełnione.
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
4 - 6 + 3 = 1
1 = 1
Drugie równanie też jest spełnione.
Podobnie sprawdzamy trzecie równanie:
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
4 - 6 + 3 = 1
1 = 1
Drugie równanie też jest spełnione.
Podobnie sprawdzamy trzecie równanie:
2x1 + x2 + x3 = 11
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
4 - 6 + 3 = 1
1 = 1
Drugie równanie też jest spełnione.
Podobnie sprawdzamy trzecie równanie:
2x1 + x2 + x3 = 11
?
2 · 2 + (-2) + 3 · 3 = 11
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
4 - 6 + 3 = 1
1 = 1
Drugie równanie też jest spełnione.
Podobnie sprawdzamy trzecie równanie:
2x1 + x2 + x3 = 11
?
2 · 2 + (-2) + 3 · 3 = 11
4 - 2 + 9 = 11
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
4 - 6 + 3 = 1
1 = 1
Drugie równanie też jest spełnione.
Podobnie sprawdzamy trzecie równanie:
2x1 + x2 + x3 = 11
?
2 · 2 + (-2) + 3 · 3 = 11
4 - 2 + 9 = 11
11 = 11
Sprawdzenie.
Przy tak długich obliczeniach zawsze warto wykonać sprawdzenie otrzymanego rozwiązania.
W tym celu podstawimy otrzymane wartości niewiadomych x1, x2, x3 do każdego z równań układu.
Pierwsze równanie z układu miało postać:
3x1 + 2x2 + x3 = 5
Podstawiamy rozwiązanie x1 = 2, x2 = -2, x3 = 3 do tego równania:
?
3 · 2 + 2 · (-2) + 3 = 5
6 - 4 + 3 = 5
5 = 5
Otrzymaliśmy tożsamość, czyli równanie to jest spełnione dla wyznaczonych niewiadomych.
Podstawiamy teraz nasze niewiadome do drugiego równania:
2x1 + 3x2 + x3 = 1
?
2 · 2 + 3 · (-2) + 3 = 1
4 - 6 + 3 = 1
1 = 1
Drugie równanie też jest spełnione.
Podobnie sprawdzamy trzecie równanie:
2x1 + x2 + x3 = 11
?
2 · 2 + (-2) + 3 · 3 = 11
4 - 2 + 9 = 11
11 = 11
Ostatnie równanie także jest spełnione dla naszych wartości niewiadomych x1, x2, x3.