1. Wykaż, że jeśli p+q+r=0, to p
3
+q
3
+r
3
=3pqr.
2. Zbadaj, czy istnieje liczba rzeczywista a, dla której wielomian W(x)=(4a+3)x
3
+9ax
2
+6ax+a+2 jest trzecią potęgą
pewnego dwumianu.
3. Liczby 0, 1, 2, 3 są miejscami zerowymi wielomianu W o współczynnikach całkowitych, to dla każdej liczby całkowitej k
liczba W(k) jest podzielna przez 24.
4. Wykaż, że jeżeli wielomian W(x)=x
3
+ax+b ma pierwiastek dwukrotny, to 4a
3
+27b
2
=0
5. Rozłóż na czynniki: (1) (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc; (2) (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
;
(3) a
3
+b
3
+c
3
-3abc; (4) y
3
(z-x)-x
3
(z-y)+z
3
(x-y).
6. Wykaż, że jeśli x
1
, x
2
, x
3
są pierwiastkami wielomianu W(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d, to zachodzą wzory Viete’a: x
1
+x
2
+x
3
=
−𝑏
𝑎
;
x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
2
x
3
=
𝑐
𝑎
; x
1
x
2
x
3
=
−𝑑
𝑎
.
7. Niech a i b będą liczbami całkowitymi. Wiadomo, że liczba 2 +
3 jest pierwiastkiem wielomianu x
3
+x
2
+ax+b. Znajdź
pozostałe pierwiastki.
8. Dla jakich a wielomian W(x)=x
3
-ax+2a-8 ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste?
9. Wielomian W(x)=x
3
+ax
2
+bx+c, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 posiada trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Wykaż, że a
2
>3b.
10. Dany jest wielomian W(x)=x
3
+ax
2
+bx+c, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑊. Pierwiastkami tego wielomianu są liczby rzeczywiste u, v, uv.
Wykaż, że jeśli 𝑎 ≠ 1, to 𝑢𝑣 ∈ 𝑊.
11. Rozwiąż nierównośd 𝑥
4
− 4𝑥
3
+ 3𝑥
2
+ 8𝑥 − 10 ≥ 0 wiedząc, że wśród pierwiastków wielomianu po lewej stronie
nierówności są dwie liczby przeciwne.
12. Dla jakich wartości parametru m równanie 𝑚 − 2 𝑥
5
− 2 𝑚 + 3 𝑥
3
+ 𝑚 − 1 𝑥 = 0 ma pięd różnych pierwiastków?
13. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian 𝑃 𝑥 = 𝑥
4
+ 𝑥
3
− 3𝑥
2
− 4𝑥 − 4
jest wielomianem 𝑥
3
− 5𝑥 + 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez
wielomian 𝑥
2
− 4.
14. Na rysunku przedstawiony jest wykres pewnego wielomianu stopnia czwartego. Podaj
wzór tego wielomianu, korzystając z danych podanych na rysunku.
15. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = (x
2
+ 4x + 2)
2006
przez wielomian P(x) = x
2
+
4x + 3.
16. Dla jakich wartości parametru m równanie x
4
+ (m – 3)x
2
+ m
2
– m – 6 = 0 ma dwa różne
pierwiastki?
17. Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji danej wzorem 𝑓 𝑚 = 𝑥
1
𝑥
2
, gdzie 𝑥
1
, 𝑥
2
są
różnymi pierwiastkami równania 𝑚 + 2 𝑥
2
− 𝑚 + 2
2
𝑥 + 3𝑚 + 2 = 0 (wskazówka: pamiętaj o wszystkich
dziurkach i przerwach w wykresie funkcji). Rozwiąż nierównośd f(m)>0. Zbadaj liczbę rozwiązao równania 𝑓(𝑚) = 𝑘
w zależności od wartości parametru k.
18. Wyznacz wzór oraz narysuj wykres funkcji f(x), która dla wszystkich możliwych 𝑥 ∈ ℝ spełnia warunek
𝑓 𝑥 + 2𝑓
1
𝑥
=
2−4𝑥
𝑥−1
.
19. Wyznacz wszystkie liczby całkowite x, dla których wyrażenie
10𝑥
5
−35𝑥
4
+14𝑥
3
−49𝑥
2
−26𝑥+100
2𝑥−7
przyjmuje wartości całkowite.
20. Rozwiąż nierównośd: -(x-2)
10
(2-x)
20
(x+3)
17
(3-x)
101
>0
21.Daj przykład nierówności wielomianowej, której rozwiązaniem jest zbiór (-∞,-10)U(-5,-1)U(-1,7)U(9,+∞).
22. Dla jakich wartości parametru a dziedziną funkcji 𝑓 𝑥 =
𝑥
2
+𝑎𝑥 +1
𝑥
2
+3𝑥−3𝑎
jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś wartości funkcji f
zawierają się w zbiorze < 0,
8
3
>?
23. Naszkicuj wykres funkcji 𝑓 𝑥 =
2𝑥
3
+𝑥
2
−8𝑥−4
𝑥
3
+𝑥
2
−4𝑥−4
. Zbadaj liczbę rozwiązao równania f(x)=m, w zależności od rzeczywistych
wartości parametru m.
24. Dla jakich wartości parametru m równanie
x
5
1
x
1
m
ma dwa różne rozwiązania?
25. Zbadaj, czy można tak dobrad wartości parametrów m, n, aby funkcje 𝐹 𝑥 =
𝑥−1
𝑥
2
−𝑚𝑥 +2
, 𝐺 𝑥 =
1
𝑥+𝑛
były równe. Jeśli
tak, wyznacz te parametry, jeśli nie, uzasadnij dlaczego.
26. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m
R), dla których równanie
0
3
x
m
2
m
x
)
1
m
2
(
x
2
2
ma dwa różne
pierwiastki jednakowych znaków.
