1. Wykaż, że jeśli p+q+r=0, to p

3

+q

3

+r

3

=3pqr.

2. Zbadaj, czy istnieje liczba rzeczywista a, dla której wielomian W(x)=(4a+3)x

3

+9ax

2

+6ax+a+2 jest trzecią potęgą

pewnego dwumianu.

3. Liczby 0, 1, 2, 3 są miejscami zerowymi wielomianu W o współczynnikach całkowitych, to dla każdej liczby całkowitej k

liczba W(k) jest podzielna przez 24.

4. Wykaż, że jeżeli wielomian W(x)=x

3

+ax+b ma pierwiastek dwukrotny, to 4a

3

+27b

2

=0

5. Rozłóż na czynniki: (1) (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc; (2) (a+b+c)

3

-a

3

-b

3

-c

3

;

(3) a

3

+b

3

+c

3

-3abc; (4) y

3

(z-x)-x

3

(z-y)+z

3

(x-y).

6. Wykaż, że jeśli x

1

, x

2

, x

3

są pierwiastkami wielomianu W(x)=ax

3

+bx

2

+cx+d, to zachodzą wzory Viete’a: x

1

+x

2

+x

3

=

−𝑏

𝑎

;

x

1

x

2

+x

1

x

3

+x

2

x

3

=

𝑐

𝑎

; x

1

x

2

x

3

=

−𝑑

𝑎

.

7. Niech a i b będą liczbami całkowitymi. Wiadomo, że liczba 2 +

3 jest pierwiastkiem wielomianu x

3

+x

2

+ax+b. Znajdź

pozostałe pierwiastki.

8. Dla jakich a wielomian W(x)=x

3

-ax+2a-8 ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste?

9. Wielomian W(x)=x

3

+ax

2

+bx+c, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 posiada trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Wykaż, że a

2

>3b.

10. Dany jest wielomian W(x)=x

3

+ax

2

+bx+c, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑊. Pierwiastkami tego wielomianu są liczby rzeczywiste u, v, uv.

Wykaż, że jeśli 𝑎 ≠ 1, to 𝑢𝑣 ∈ 𝑊.

11. Rozwiąż nierównośd 𝑥

4

− 4𝑥

3

+ 3𝑥

2

+ 8𝑥 − 10 ≥ 0 wiedząc, że wśród pierwiastków wielomianu po lewej stronie

nierówności są dwie liczby przeciwne.

12. Dla jakich wartości parametru m równanie 𝑚 − 2 𝑥

5

− 2 𝑚 + 3 𝑥

3

+ 𝑚 − 1 𝑥 = 0 ma pięd różnych pierwiastków?

13. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian 𝑃 𝑥 = 𝑥

4

+ 𝑥

3

− 3𝑥

2

− 4𝑥 − 4

jest wielomianem 𝑥

3

− 5𝑥 + 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez

wielomian 𝑥

2

− 4.

14. Na rysunku przedstawiony jest wykres pewnego wielomianu stopnia czwartego. Podaj

wzór tego wielomianu, korzystając z danych podanych na rysunku.

15. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = (x

2

+ 4x + 2)

2006

przez wielomian P(x) = x

2

+

4x + 3.

16. Dla jakich wartości parametru m równanie x

4

+ (m – 3)x

2

+ m

2

– m – 6 = 0 ma dwa różne

pierwiastki?

17. Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji danej wzorem 𝑓 𝑚 = 𝑥

1

𝑥

2

, gdzie 𝑥

1

, 𝑥

2

są

różnymi pierwiastkami równania 𝑚 + 2 𝑥

2

− 𝑚 + 2

2

𝑥 + 3𝑚 + 2 = 0 (wskazówka: pamiętaj o wszystkich

dziurkach i przerwach w wykresie funkcji). Rozwiąż nierównośd f(m)>0. Zbadaj liczbę rozwiązao równania 𝑓(𝑚) = 𝑘
w zależności od wartości parametru k.

18. Wyznacz wzór oraz narysuj wykres funkcji f(x), która dla wszystkich możliwych 𝑥 ∈ ℝ spełnia warunek

𝑓 𝑥 + 2𝑓

1
𝑥

=

2−4𝑥

𝑥−1

.

19. Wyznacz wszystkie liczby całkowite x, dla których wyrażenie

10𝑥

5

−35𝑥

4

+14𝑥

3

−49𝑥

2

−26𝑥+100

2𝑥−7

przyjmuje wartości całkowite.

20. Rozwiąż nierównośd: -(x-2)

10

(2-x)

20

(x+3)

17

(3-x)

101

>0

21.Daj przykład nierówności wielomianowej, której rozwiązaniem jest zbiór (-∞,-10)U(-5,-1)U(-1,7)U(9,+∞).

22. Dla jakich wartości parametru a dziedziną funkcji 𝑓 𝑥 =

𝑥

2

+𝑎𝑥 +1

𝑥

2

+3𝑥−3𝑎

jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś wartości funkcji f

zawierają się w zbiorze < 0,

8
3

>?

23. Naszkicuj wykres funkcji 𝑓 𝑥 =

2𝑥

3

+𝑥

2

−8𝑥−4

𝑥

3

+𝑥

2

−4𝑥−4

. Zbadaj liczbę rozwiązao równania f(x)=m, w zależności od rzeczywistych

wartości parametru m.

24. Dla jakich wartości parametru m równanie

x

5

1

x

1

m









ma dwa różne rozwiązania?

25. Zbadaj, czy można tak dobrad wartości parametrów m, n, aby funkcje 𝐹 𝑥 =

𝑥−1

𝑥

2

−𝑚𝑥 +2

, 𝐺 𝑥 =

1

𝑥+𝑛

były równe. Jeśli

tak, wyznacz te parametry, jeśli nie, uzasadnij dlaczego.

26. Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m



R), dla których równanie

0

3

x

m

2

m

x

)

1

m

2

(

x

2

2













ma dwa różne

pierwiastki jednakowych znaków.

27. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierównośd

𝑥

4

−7𝑥

2

+13

𝑚 𝑥

2

+2 𝑚+1 𝑥+9𝑚+4

< 0 jest prawdziwa dla każdego

𝑥 ∈ ℝ.

28. Dana jest funkcja 𝑓 𝑥 =

3𝑚𝑥 −6

𝑥−𝑚

. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f jest malejąca w

każdym z przedziałów (-∞; m), (m; +∞). Dla najmniejszej naturalnej wartości parametru m spełniającej warunki
zadania narysuj wykres funkcji f.

29. Narysuj przybliżony wykres funkcji 𝑓 𝑥 =

2

𝑥

3

. Następnie narysuj wykres funkcji g 𝑥 =

5𝑥

3

+15𝑥

2

+15𝑥+7

𝑥

3

+3𝑥

2

+3𝑥+1

. Podaj wartośd

parametru p, dla którego równanie g(x)=p

2

+4 ma dokładnie jedno rozwiązanie.

30. Zbadaj liczbę rozwiązao równania

𝑥+1
𝑥+3

= −𝑥 + 𝑚 w zależności od wartości parametru m.

31. Wyznacz zbiór wartości funkcji

2

x

1

x

2

)

x

(

f





.

32. Wykres funkcji f, którego fragment jest obok, powstał przez translację wykresu

funkcji 𝑦 =

−2

𝑥

, x≠0.

(a) Napisz wzór funkcji f i oblicz jej miejsce zerowe.

(b) Naszkicuj wykres funkcji h(x)=|f(x)|.

(c) Dla jakich wartości parametru p równanie h(x)=p

2

-1 ma dwa rozwiązania różnych

znaków?

33. Liczba 2 jest miejscem zerowym wielomianu

. Wyznacz resztę z dzielenia

tego wielomianu przez wielomian

jeśli wiadomo, że w

wyniku dzielenia wielomianu

przez dwumian

otrzymujemy resztę 5.

34. Wielomian

jest podzielny przez wielomian

. Wyznacz

liczby p, q i r.

35. Dana jest funkcja

dla

. Zbadaj na podstawie definicji monotonicznośd tej funkcji w

przedziale

.

36. Jeżeli W(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych liczb całkowitych x, y liczba W(x)-

W(y) dzieli się przez x-y. Uzasadnij.

37. Wielomian

jest wielomianem stopnia 5 i spełnia warunki:

oraz

. Wykaż, że nie wszystkie

współczynniki wielomianu

są liczbami całkowitymi.

38. Wyznacz zbiór wartości funkcji

.

39. Oblicz najmniejszą wartośd wielomianu

.

40. Wykaż, że jeżeli wielomian

jest podzielny przez trójmian

, to jest również

podzielny przez trójmian

.

41. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu

przez wielomian

.

42. Wykaż, że wielomian

jest podzielny przez

wielomian

dla każdego

.

43. Dla jakich wartości parametru

dziedziną funkcji

jest zbiór liczb rzeczywistych?

44. Dana jest funkcja

, gdzie

. Wykaż, że zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb

rzeczywistych.

45. Funkcja określona jest wzorem

.

a. Wykaż, że funkcja jest nieparzysta.
b. Wykaż (z definicji), że funkcja w przedziale

jest malejąca.

c. Wykaż, że funkcja nie przyjmuje wartości większych od 4.