Egzamin z matematyki dla student´

ow chemii, 3 lutego 2010, 10:05 – 13:05

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow

serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek! Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE-

˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly pojawi ly sie

,

na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Zdefiniowa´c log

c

a pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o a i c .

Rozwia

,

za´c r´ownanie log

10

(x

2

− 3x + 2) = 1 − log

10

(x + 2) .

2. Poda´c definicje

,

kosinusa i sinusa dowolnego ka

,

ta.

Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c cos

2

t > cos

2

(t+

π

3

) . Zilustrowa´c jej rozwia

,

zanie na okre

,

gu x

2

+y

2

= 1 .

3. Niech f (x) =

3

q

2x −

1

x

, wie

,

c f

0

(x) =

2x

2

+1

3

3

√

x

4

(2x

2

−1)

2

, f

00

(x) = −

4(2x

4

+5x

2

−1)

9

3

√

x

7

(2x

2

−1)

5

, gdy

1
2

6= x

2

6= 0 .

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje, na kt´orych ro´snie.

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la, na kt´orych jest wkle

,

s la.

Obliczy´c granice jednostronne funkcji f przy x −→ 0 .

Obliczy´c granice jednostronne f

0

przy x −→ ±

q

1
2

i przy x −→ 0 .

Znale´z´c asymptoty funkcji f .

Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

4. Obliczy´c wyznacznik

2 −2 2

−1

1 3

−2

1 7

.

Niech A = (1, 2, 3) , B = (−1, 3, 1) , C = (13, 5, −1) .

Obliczy´c d lugo´s´c wektora

−→

AC .

Znale´z´c iloczyn wektorowy i skalarny wektor´ow

−−→

AB i

−→

AC oraz kosinus i sinus ka

,

ta mie

,

dzy tymi

wektorami.

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC .

5. Znale´z´c trzeci wielomian Taylora funkcji

− ln(1 − x)

w punkcie x

0

= 0 .

Wykaza´c, ˙ze je´sli 0 < x < 1 , to T

3

(x) < − ln(1 − x) < T

3

(x) +

x

4

4(1−x)

, gdzie T

3

(x) oznacza

warto´s´c trzeciego wielomianu funkcji − ln(1 − x) w punkcie 0 .

Korzystaja

,

c z uzyskanej nier´owno´sci wskaza´c taka

,

liczbe

,

wymierna

,

w , ˙ze w < ln 2 < w +

1

32

.

6. Znale´z´c obje

,

to´s´c obszaru z lo˙zonego z tych punkt´ow (x, y, z) , dla kt´orych spe lnione sa

,

nier´owno´sci

|z| ≤

1
2

i x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1 .

Informacje po˙zyteczne lub zbe

,

dne: 5

3

= 125 , 3

4

= 81 , 4

3

= 64 , 81

2

= 6561 , 5

7

= 78125 , 3

2

= 9 ,

3

3

= 27 , 3

4

= 81 , 3

5

= 243 , 3

6

= 729 , 2

6

= 64 , 2

7

= 128 , 2

8

= 256 , 2

16

= 65536 , 2

17

= 131072 ,

19

3

= 6859 , 19

4

= 130321 , 19

5

= 2476099 ,

sin(2α) = 2 sin α cos α , cos(2α) = 2 cos

2

α − 1 , tg(2α) =

2 tg α

1−tg

2

α

.