Egzamin z matematyki dla student´
ow chemii, 3 lutego 2010, 10:05 – 13:05
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia .
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow
serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek! Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE-
˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zosta ly pojawi ly sie
,
na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1. Zdefiniowa´c log
c
a pamie
,
taja
,
c o za lo˙zeniach o a i c .
Rozwia
,
za´c r´ownanie log
10
(x
2
− 3x + 2) = 1 − log
10
(x + 2) .
2. Poda´c definicje
,
kosinusa i sinusa dowolnego ka
,
ta.
Rozwia
,
za´c nier´owno´s´c cos
2
t > cos
2
(t+
π
3
) . Zilustrowa´c jej rozwia
,
zanie na okre
,
gu x
2
+y
2
= 1 .
3. Niech f (x) =
3
q
2x −
1
x
, wie
,
c f
0
(x) =
2x
2
+1
3
3
√
x
4
(2x
2
−1)
2
, f
00
(x) = −
4(2x
4
+5x
2
−1)
9
3
√
x
7
(2x
2
−1)
5
, gdy
1
2
6= x
2
6= 0 .
Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje, na kt´orych ro´snie.
Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la, na kt´orych jest wkle
,
s la.
Obliczy´c granice jednostronne funkcji f przy x −→ 0 .
Obliczy´c granice jednostronne f
0
przy x −→ ±
q
1
2
i przy x −→ 0 .
Znale´z´c asymptoty funkcji f .
Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .
4. Obliczy´c wyznacznik
2 −2 2
−1
1 3
−2
1 7
.
Niech A = (1, 2, 3) , B = (−1, 3, 1) , C = (13, 5, −1) .
Obliczy´c d lugo´s´c wektora
−→
AC .
Znale´z´c iloczyn wektorowy i skalarny wektor´ow
−−→
AB i
−→
AC oraz kosinus i sinus ka
,
ta mie
,
dzy tymi
wektorami.
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABC .
5. Znale´z´c trzeci wielomian Taylora funkcji
− ln(1 − x)
w punkcie x
0
= 0 .
Wykaza´c, ˙ze je´sli 0 < x < 1 , to T
3
(x) < − ln(1 − x) < T
3
(x) +
x
4
4(1−x)
, gdzie T
3
(x) oznacza
warto´s´c trzeciego wielomianu funkcji − ln(1 − x) w punkcie 0 .
Korzystaja
,
c z uzyskanej nier´owno´sci wskaza´c taka
,
liczbe
,
wymierna
,
w , ˙ze w < ln 2 < w +
1
32
.
6. Znale´z´c obje
,
to´s´c obszaru z lo˙zonego z tych punkt´ow (x, y, z) , dla kt´orych spe lnione sa
,
nier´owno´sci
|z| ≤
1
2
i x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 1 .
Informacje po˙zyteczne lub zbe
,
dne: 5
3
= 125 , 3
4
= 81 , 4
3
= 64 , 81
2
= 6561 , 5
7
= 78125 , 3
2
= 9 ,
3
3
= 27 , 3
4
= 81 , 3
5
= 243 , 3
6
= 729 , 2
6
= 64 , 2
7
= 128 , 2
8
= 256 , 2
16
= 65536 , 2
17
= 131072 ,
19
3
= 6859 , 19
4
= 130321 , 19
5
= 2476099 ,
sin(2α) = 2 sin α cos α , cos(2α) = 2 cos
2
α − 1 , tg(2α) =
2 tg α
1−tg
2
α
.