Wykład 22
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
Wykład 22
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
ZBIORY OTWARTE
TWIERDZENIE 323
Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór F
a
jest zbiorem domkniętym to
T
a∈A
F
a
= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ F
a
} jest zbiorem domkniętym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
F
k
jest domknięty to
n
S
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∃k ∈ Z
n
, x ∈ F
k
} jest domknięty.
TWIERDZENIE 324
Domkni
,
eciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni
,
ety B
zawieraj
,
acy B.
ZBIORY OTWARTE
TWIERDZENIE 323
Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór F
a
jest zbiorem domkniętym to
T
a∈A
F
a
= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ F
a
} jest zbiorem domkniętym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
F
k
jest domknięty to
n
S
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∃k ∈ Z
n
, x ∈ F
k
} jest domknięty.
TWIERDZENIE 324
Domkni
,
eciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni
,
ety B
zawieraj
,
acy B.
ZBIORY OTWARTE
TWIERDZENIE 323
Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór F
a
jest zbiorem domkniętym to
T
a∈A
F
a
= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ F
a
} jest zbiorem domkniętym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
F
k
jest domknięty to
n
S
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∃k ∈ Z
n
, x ∈ F
k
} jest domknięty.
TWIERDZENIE 324
Domkni
,
eciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni
,
ety B
zawieraj
,
acy B.
ZBIORY OTWARTE
TWIERDZENIE 323
Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór F
a
jest zbiorem domkniętym to
T
a∈A
F
a
= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ F
a
} jest zbiorem domkniętym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
F
k
jest domknięty to
n
S
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∃k ∈ Z
n
, x ∈ F
k
} jest domknięty.
TWIERDZENIE 324
Domkni
,
eciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni
,
ety B
zawieraj
,
acy B.
OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO
TWIERDZENIE 325
W przestrzeni metrycznej (X, %) K(a, r) jest zbiorem otwartym.
DEFINICJA 326
Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem
punktu a,
zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.
DEFINICJA 326
Mówimy, że dwie normy k · k
1
oraz k · k
2
są równoważne wtedy i tylko
wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K, k takie, że kk · k
1
≤ k · k
2
≤ Kk · k
1
.
OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO
TWIERDZENIE 325
W przestrzeni metrycznej (X, %) K(a, r) jest zbiorem otwartym.
DEFINICJA 326
Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem
punktu a,
zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.
DEFINICJA 326
Mówimy, że dwie normy k · k
1
oraz k · k
2
są równoważne wtedy i tylko
wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K, k takie, że kk · k
1
≤ k · k
2
≤ Kk · k
1
.
OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO
TWIERDZENIE 325
W przestrzeni metrycznej (X, %) K(a, r) jest zbiorem otwartym.
DEFINICJA 326
Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem
punktu a,
zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.
DEFINICJA 326
Mówimy, że dwie normy k · k
1
oraz k · k
2
są równoważne wtedy i tylko
wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K, k takie, że kk · k
1
≤ k · k
2
≤ Kk · k
1
.
OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO
TWIERDZENIE 325
W przestrzeni metrycznej (X, %) K(a, r) jest zbiorem otwartym.
DEFINICJA 326
Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem
punktu a,
zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.
DEFINICJA 326
Mówimy, że dwie normy k · k
1
oraz k · k
2
są równoważne wtedy i tylko
wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K, k takie, że kk · k
1
≤ k · k
2
≤ Kk · k
1
.
Dowód 1. !
RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM
TWIERDZENIE 327
Każde dwie normy na R
n
są równoważne.
TWIERDZENIE 328
Warunki
lim
k→∞
k a − x
k
k
max
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
P
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
√
·
= 0,
s
,
a równoważne.
RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM
TWIERDZENIE 327
Każde dwie normy na R
n
są równoważne.
TWIERDZENIE 328
Warunki
lim
k→∞
k a − x
k
k
max
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
P
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
√
·
= 0,
s
,
a równoważne.
RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM
TWIERDZENIE 327
Każde dwie normy na R
n
są równoważne.
TWIERDZENIE 328
Warunki
lim
k→∞
k a − x
k
k
max
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
P
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
√
·
= 0,
s
,
a równoważne.
RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM
TWIERDZENIE 327
Każde dwie normy na R
n
są równoważne.
TWIERDZENIE 328
Warunki
lim
k→∞
k a − x
k
k
max
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
P
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
√
·
= 0,
s
,
a równoważne.
0 <= ||a xk||max <= K||a+xk||Ʃ
0
> 0 i K||a+xk||Ʃ
>0
z tego wynika: ||a xk||max
>0
RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM
TWIERDZENIE 327
Każde dwie normy na R
n
są równoważne.
TWIERDZENIE 328
Warunki
lim
k→∞
k a − x
k
k
max
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
P
= 0,
lim
k→∞
k a − x
k
k
√
·
= 0,
s
,
a równoważne.
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 329
Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących
granicą pewnego ciągu elementów należacych do tego zbioru.
TWIERDZENIE 330
Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty
skupienia.
DEFINICJA 331
Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego
zbioru.
TWIERDZENIE 332
W przestrzeni R
n
zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest
domknięty i ograniczony.
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 329
Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących
granicą pewnego ciągu elementów należacych do tego zbioru.
TWIERDZENIE 330
Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty
skupienia.
DEFINICJA 331
Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego
zbioru.
TWIERDZENIE 332
W przestrzeni R
n
zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest
domknięty i ograniczony.
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 329
Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących
granicą pewnego ciągu elementów należacych do tego zbioru.
TWIERDZENIE 330
Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty
skupienia.
DEFINICJA 331
Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego
zbioru.
TWIERDZENIE 332
W przestrzeni R
n
zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest
domknięty i ograniczony.
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 329
Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących
granicą pewnego ciągu elementów należacych do tego zbioru.
TWIERDZENIE 330
Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty
skupienia.
DEFINICJA 331
Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego
zbioru.
TWIERDZENIE 332
W przestrzeni R
n
zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest
domknięty i ograniczony.
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 333
Niech b
,
edzie dana funkcja f : D −→ R
m
, określona w sąsiedztwie
punktu a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
).
Mówimy, że funkcja f ma granic
,
e g = (g
1
, g
2
, . . . , g
m
) przy
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) zmierzaj
,
acym do a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) jeżeli dla
każdego ci
,
agu {x
(k)
}
k∈N
zawartego w D takiego, że lim
k→∞
x
(k)
= a
lim
k−→∞
f (x
(k)
) = g.
Zapisujemy lim
x→a)
f (x) = g.
DEFINICJA 334
Mówimy, że funkcja f : D −→ R
m
, gdzie D ⊂ R
n
jest ci
,
agła w punkcie
a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ D jeżeli
f (a) = lim
x→a
f (x).
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 333
Niech b
,
edzie dana funkcja f : D −→ R
m
, określona w sąsiedztwie
punktu a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
).
Mówimy, że funkcja f ma granic
,
e g = (g
1
, g
2
, . . . , g
m
) przy
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) zmierzaj
,
acym do a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) jeżeli dla
każdego ci
,
agu {x
(k)
}
k∈N
zawartego w D takiego, że lim
k→∞
x
(k)
= a
lim
k−→∞
f (x
(k)
) = g.
Zapisujemy lim
x→a)
f (x) = g.
DEFINICJA 334
Mówimy, że funkcja f : D −→ R
m
, gdzie D ⊂ R
n
jest ci
,
agła w punkcie
a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ D jeżeli
f (a) = lim
x→a
f (x).
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 333
Niech b
,
edzie dana funkcja f : D −→ R
m
, określona w sąsiedztwie
punktu a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
).
Mówimy, że funkcja f ma granic
,
e g = (g
1
, g
2
, . . . , g
m
) przy
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) zmierzaj
,
acym do a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) jeżeli dla
każdego ci
,
agu {x
(k)
}
k∈N
zawartego w D takiego, że lim
k→∞
x
(k)
= a
lim
k−→∞
f (x
(k)
) = g.
Zapisujemy lim
x→a)
f (x) = g.
DEFINICJA 334
Mówimy, że funkcja f : D −→ R
m
, gdzie D ⊂ R
n
jest ci
,
agła w punkcie
a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ D jeżeli
f (a) = lim
x→a
f (x).
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 333
Niech b
,
edzie dana funkcja f : D −→ R
m
, określona w sąsiedztwie
punktu a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
).
Mówimy, że funkcja f ma granic
,
e g = (g
1
, g
2
, . . . , g
m
) przy
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) zmierzaj
,
acym do a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) jeżeli dla
każdego ci
,
agu {x
(k)
}
k∈N
zawartego w D takiego, że lim
k→∞
x
(k)
= a
lim
k−→∞
f (x
(k)
) = g.
Zapisujemy lim
x→a)
f (x) = g.
DEFINICJA 334
Mówimy, że funkcja f : D −→ R
m
, gdzie D ⊂ R
n
jest ci
,
agła w punkcie
a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ D jeżeli
f (a) = lim
x→a
f (x).
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 333
Niech b
,
edzie dana funkcja f : D −→ R
m
, określona w sąsiedztwie
punktu a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
).
Mówimy, że funkcja f ma granic
,
e g = (g
1
, g
2
, . . . , g
m
) przy
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) zmierzaj
,
acym do a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) jeżeli dla
każdego ci
,
agu {x
(k)
}
k∈N
zawartego w D takiego, że lim
k→∞
x
(k)
= a
lim
k−→∞
f (x
(k)
) = g.
Zapisujemy lim
x→a)
f (x) = g.
DEFINICJA 334
Mówimy, że funkcja f : D −→ R
m
, gdzie D ⊂ R
n
jest ci
,
agła w punkcie
a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ D jeżeli
f (a) = lim
x→a
f (x).
GRANICE FUNKCJI
DEFINICJA 333
Niech b
,
edzie dana funkcja f : D −→ R
m
, określona w sąsiedztwie
punktu a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
).
Mówimy, że funkcja f ma granic
,
e g = (g
1
, g
2
, . . . , g
m
) przy
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) zmierzaj
,
acym do a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) jeżeli dla
każdego ci
,
agu {x
(k)
}
k∈N
zawartego w D takiego, że lim
k→∞
x
(k)
= a
lim
k−→∞
f (x
(k)
) = g.
Zapisujemy lim
x→a)
f (x) = g.
DEFINICJA 334
Mówimy, że funkcja f : D −→ R
m
, gdzie D ⊂ R
n
jest ci
,
agła w punkcie
a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ D jeżeli
f (a) = lim
x→a
f (x).
GRANICE FUNKCJI
TWIERDZENIE 335
Jeżeli istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) to istniej
,
a granice
lim
x→a
(f (x) + g(x)), lim
x→a
(f (x) − g(x)) jeżeli
f : D −→ R to także istnieje lim
x→a
(f (x) · g(x)).
Ponadto zachodz
,
a wzory
lim
x→a
(f (x) + g(x)) = lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) − g(x)) = lim
x→a
f (x) − lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) · g(x)) = lim
x→a
f (x) · lim
x→a
g(x)
Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) 6= 0 to
istnieje granica lim
x→a
f (x)
g(x)
oraz lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
.
GRANICE FUNKCJI
TWIERDZENIE 335
Jeżeli istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) to istniej
,
a granice
lim
x→a
(f (x) + g(x)), lim
x→a
(f (x) − g(x)) jeżeli
f : D −→ R to także istnieje lim
x→a
(f (x) · g(x)).
Ponadto zachodz
,
a wzory
lim
x→a
(f (x) + g(x)) = lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) − g(x)) = lim
x→a
f (x) − lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) · g(x)) = lim
x→a
f (x) · lim
x→a
g(x)
Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) 6= 0 to
istnieje granica lim
x→a
f (x)
g(x)
oraz lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
.
GRANICE FUNKCJI
TWIERDZENIE 335
Jeżeli istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) to istniej
,
a granice
lim
x→a
(f (x) + g(x)), lim
x→a
(f (x) − g(x)) jeżeli
f : D −→ R to także istnieje lim
x→a
(f (x) · g(x)).
Ponadto zachodz
,
a wzory
lim
x→a
(f (x) + g(x)) = lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) − g(x)) = lim
x→a
f (x) − lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) · g(x)) = lim
x→a
f (x) · lim
x→a
g(x)
Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) 6= 0 to
istnieje granica lim
x→a
f (x)
g(x)
oraz lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
.
GRANICE FUNKCJI
TWIERDZENIE 335
Jeżeli istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) to istniej
,
a granice
lim
x→a
(f (x) + g(x)), lim
x→a
(f (x) − g(x)) jeżeli
f : D −→ R to także istnieje lim
x→a
(f (x) · g(x)).
Ponadto zachodz
,
a wzory
lim
x→a
(f (x) + g(x)) = lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) − g(x)) = lim
x→a
f (x) − lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) · g(x)) = lim
x→a
f (x) · lim
x→a
g(x)
Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) 6= 0 to
istnieje granica lim
x→a
f (x)
g(x)
oraz lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
.
GRANICE FUNKCJI
TWIERDZENIE 335
Jeżeli istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) to istniej
,
a granice
lim
x→a
(f (x) + g(x)), lim
x→a
(f (x) − g(x)) jeżeli
f : D −→ R to także istnieje lim
x→a
(f (x) · g(x)).
Ponadto zachodz
,
a wzory
lim
x→a
(f (x) + g(x)) = lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) − g(x)) = lim
x→a
f (x) − lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(f (x) · g(x)) = lim
x→a
f (x) · lim
x→a
g(x)
Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej
,
a granice lim
x→a
f (x) oraz lim
x→a
g(x) 6= 0 to
istnieje granica lim
x→a
f (x)
g(x)
oraz lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
.
Tw. Funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiaga
swoje kresy
POCHODNA KIERUNKOWA
DEFINICJA 336
Niech dana b
,
edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym
w R
n
i niech (a
1
, a
2
, . . . a
n
) ∈ D b
,
edzie ustalonym punktem zaś
¯
v = [v
1
, v
2
, . . . , v
n
] wektorem w R
n
.
Jeżeli istnieje granica lim
h−→0
1
h
(f (a + h¯
v) − f (a)) to nazywamy j
,
a
pochodn
,
a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯
v.
Oznaczamy ją (D
¯
v
f )(a).
Pochodn
,
a funkcji wzgl
,
edem osi l
~
nazywamy pochodn
,
a w kierunku
wersora tej osi.
DEFINICJA 337
Niech e
k
będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R
n
.
Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R
n
nazywamy (D
e
f )(a).
POCHODNA KIERUNKOWA
DEFINICJA 336
Niech dana b
,
edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym
w R
n
i niech (a
1
, a
2
, . . . a
n
) ∈ D b
,
edzie ustalonym punktem zaś
¯
v = [v
1
, v
2
, . . . , v
n
] wektorem w R
n
.
Jeżeli istnieje granica lim
h−→0
1
h
(f (a + h¯
v) − f (a)) to nazywamy j
,
a
pochodn
,
a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯
v.
Oznaczamy ją (D
¯
v
f )(a).
Pochodn
,
a funkcji wzgl
,
edem osi l
~
nazywamy pochodn
,
a w kierunku
wersora tej osi.
DEFINICJA 337
Niech e
k
będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R
n
.
Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R
n
nazywamy (D
e
f )(a).
POCHODNA KIERUNKOWA
DEFINICJA 336
Niech dana b
,
edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym
w R
n
i niech (a
1
, a
2
, . . . a
n
) ∈ D b
,
edzie ustalonym punktem zaś
¯
v = [v
1
, v
2
, . . . , v
n
] wektorem w R
n
.
Jeżeli istnieje granica lim
h−→0
1
h
(f (a + h¯
v) − f (a)) to nazywamy j
,
a
pochodn
,
a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯
v.
Oznaczamy ją (D
¯
v
f )(a).
Pochodn
,
a funkcji wzgl
,
edem osi l
~
nazywamy pochodn
,
a w kierunku
wersora tej osi.
DEFINICJA 337
Niech e
k
będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R
n
.
Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R
n
nazywamy (D
e
f )(a).
POCHODNA KIERUNKOWA
DEFINICJA 336
Niech dana b
,
edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym
w R
n
i niech (a
1
, a
2
, . . . a
n
) ∈ D b
,
edzie ustalonym punktem zaś
¯
v = [v
1
, v
2
, . . . , v
n
] wektorem w R
n
.
Jeżeli istnieje granica lim
h−→0
1
h
(f (a + h¯
v) − f (a)) to nazywamy j
,
a
pochodn
,
a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯
v.
Oznaczamy ją (D
¯
v
f )(a).
Pochodn
,
a funkcji wzgl
,
edem osi l
~
nazywamy pochodn
,
a w kierunku
wersora tej osi.
DEFINICJA 337
Niech e
k
będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R
n
.
Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R
n
nazywamy (D
e
f )(a).
POCHODNA KIERUNKOWA
DEFINICJA 336
Niech dana b
,
edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym
w R
n
i niech (a
1
, a
2
, . . . a
n
) ∈ D b
,
edzie ustalonym punktem zaś
¯
v = [v
1
, v
2
, . . . , v
n
] wektorem w R
n
.
Jeżeli istnieje granica lim
h−→0
1
h
(f (a + h¯
v) − f (a)) to nazywamy j
,
a
pochodn
,
a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯
v.
Oznaczamy ją (D
¯
v
f )(a).
Pochodn
,
a funkcji wzgl
,
edem osi l
~
nazywamy pochodn
,
a w kierunku
wersora tej osi.
DEFINICJA 337
Niech e
k
będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R
n
.
Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R
n
nazywamy (D
e
f )(a).
POCHODNA
Oznaczamy ją
∂f
∂x
k
(a).
DEFINICJA 338
Niech dana b
,
edzie funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
gdzie D ⊂ R
n
i niech (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ D b
,
edzie ustalony.
Jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe
d
a
f : R
n
−→ R
m
takie, że
lim
khk→0
k f (a + h) − f (a) − (d
a
f )(h) k
k h k
= 0
to nazywamy go różniczk
,
a odwzorowania f w punkcie a.
POCHODNA
Oznaczamy ją
∂f
∂x
k
(a).
DEFINICJA 338
Niech dana b
,
edzie funkcja
f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
m
(x)) ∈ R
m
,
gdzie D ⊂ R
n
i niech (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ D b
,
edzie ustalony.
Jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe
d
a
f : R
n
−→ R
m
takie, że
lim
khk→0
k f (a + h) − f (a) − (d
a
f )(h) k
k h k
= 0
to nazywamy go różniczk
,
a odwzorowania f w punkcie a.
Uzupełnienie 1.
pochodną
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 339
Jeżeli funkcja ma różniczk
,
e w punkcie a to jest w tym punkcie ci
,
agła i
istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe w punkcie a.
TWIERDZENIE 340
Jeżeli funkcja ma pochodne cz
,
astkowe w otoczeniu punktu a i s
,
a one
ci
,
agłe w tym punkcie to w tym punkcie istnieje różniczka funkcji f i
d
a
f ((h
1
, h
2
, . . . h
n
) =
n
P
l=1
∂f
∂x
l
(a) · h
l
.
DEFINICJA 341
Funkcj
,
e, która ma różniczk
,
e w każdym punkcie obszaru D nazywamy
różniczkowaln
,
a w obszarze D.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 339
Jeżeli funkcja ma różniczk
,
e w punkcie a to jest w tym punkcie ci
,
agła i
istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe w punkcie a.
TWIERDZENIE 340
Jeżeli funkcja ma pochodne cz
,
astkowe w otoczeniu punktu a i s
,
a one
ci
,
agłe w tym punkcie to w tym punkcie istnieje różniczka funkcji f i
d
a
f ((h
1
, h
2
, . . . h
n
) =
n
P
l=1
∂f
∂x
l
(a) · h
l
.
DEFINICJA 341
Funkcj
,
e, która ma różniczk
,
e w każdym punkcie obszaru D nazywamy
różniczkowaln
,
a w obszarze D.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 339
Jeżeli funkcja ma różniczk
,
e w punkcie a to jest w tym punkcie ci
,
agła i
istniej
,
a pochodne cz
,
astkowe w punkcie a.
TWIERDZENIE 340
Jeżeli funkcja ma pochodne cz
,
astkowe w otoczeniu punktu a i s
,
a one
ci
,
agłe w tym punkcie to w tym punkcie istnieje różniczka funkcji f i
d
a
f ((h
1
, h
2
, . . . h
n
) =
n
P
l=1
∂f
∂x
l
(a) · h
l
.
DEFINICJA 341
Funkcj
,
e, która ma różniczk
,
e w każdym punkcie obszaru D nazywamy
różniczkowaln
,
a w obszarze D.
pochodną
pochodna
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 342
Jeżeli f : D
f
−→ R
m
, i g : D
g
−→ R
p
, gdzie f (D
f
) ⊂ D
g
⊂ R
m
s
,
a
różniczkowalne to istnieje d(g ◦ f ) oraz zachodzi wzór
d
a
(g ◦ f ) = d
f (a)
g ◦ d
a
f.
TWIERDZENIE 343
Jeżeli f : D
f
−→ R
m
, jest różniczkowalna to
D
¯
v
f (a) = (d
a
f )¯
v =
n
P
k=1
∂f
∂x
k
(a)v
k
.
TWIERDZENIE 344
Załóżmy, że funkcja f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ f (x) ∈ R, gdzie
D ⊂ R
n
ma pochodn
,
a cz
,
astkow
,
a f
0
x
l
(x) =
∂f
∂x
l
(x). Definiujemy
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
=
∂f
0
x
l
∂x
p
.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 342
Jeżeli f : D
f
−→ R
m
, i g : D
g
−→ R
p
, gdzie f (D
f
) ⊂ D
g
⊂ R
m
s
,
a
różniczkowalne to istnieje d(g ◦ f ) oraz zachodzi wzór
d
a
(g ◦ f ) = d
f (a)
g ◦ d
a
f.
TWIERDZENIE 343
Jeżeli f : D
f
−→ R
m
, jest różniczkowalna to
D
¯
v
f (a) = (d
a
f )¯
v =
n
P
k=1
∂f
∂x
k
(a)v
k
.
TWIERDZENIE 344
Załóżmy, że funkcja f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ f (x) ∈ R, gdzie
D ⊂ R
n
ma pochodn
,
a cz
,
astkow
,
a f
0
x
l
(x) =
∂f
∂x
l
(x). Definiujemy
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
=
∂f
0
x
l
∂x
p
.
POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE
TWIERDZENIE 342
Jeżeli f : D
f
−→ R
m
, i g : D
g
−→ R
p
, gdzie f (D
f
) ⊂ D
g
⊂ R
m
s
,
a
różniczkowalne to istnieje d(g ◦ f ) oraz zachodzi wzór
d
a
(g ◦ f ) = d
f (a)
g ◦ d
a
f.
TWIERDZENIE 343
Jeżeli f : D
f
−→ R
m
, jest różniczkowalna to
D
¯
v
f (a) = (d
a
f )¯
v =
n
P
k=1
∂f
∂x
k
(a)v
k
.
TWIERDZENIE 344
Załóżmy, że funkcja f : D 3 (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) −→ f (x) ∈ R, gdzie
D ⊂ R
n
ma pochodn
,
a cz
,
astkow
,
a f
0
x
l
(x) =
∂f
∂x
l
(x). Definiujemy
∂
2
f
∂x
p
∂x
l
=
∂f
0
x
l
∂x
p
.