Wykład 22

Witold Obłoza

3 kwietnia 2011

ZBIORY OTWARTE

TWIERDZENIE 323

Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór F

a

jest zbiorem domkniętym to

T

a∈A

F

a

= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ F

a

} jest zbiorem domkniętym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

F

k

jest domknięty to

n

S

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∃k ∈ Z

n

, x ∈ F

k

} jest domknięty.

TWIERDZENIE 324

Domkni

,

eciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni

,

ety B

zawieraj

,

acy B.

ZBIORY OTWARTE

TWIERDZENIE 323

Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór F

a

jest zbiorem domkniętym to

T

a∈A

F

a

= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ F

a

} jest zbiorem domkniętym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

F

k

jest domknięty to

n

S

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∃k ∈ Z

n

, x ∈ F

k

} jest domknięty.

TWIERDZENIE 324

Domkni

,

eciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni

,

ety B

zawieraj

,

acy B.

ZBIORY OTWARTE

TWIERDZENIE 323

Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór F

a

jest zbiorem domkniętym to

T

a∈A

F

a

= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ F

a

} jest zbiorem domkniętym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

F

k

jest domknięty to

n

S

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∃k ∈ Z

n

, x ∈ F

k

} jest domknięty.

TWIERDZENIE 324

Domkni

,

eciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni

,

ety B

zawieraj

,

acy B.

ZBIORY OTWARTE

TWIERDZENIE 323

Własności zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej (X, %).

1) X oraz ∅ są zbiorami domkniętymi.

2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór F

a

jest zbiorem domkniętym to

T

a∈A

F

a

= {x ∈ X : ∀a ∈ A, x ∈ F

a

} jest zbiorem domkniętym.

3) Jeżeli dla k ∈ Z

n

F

k

jest domknięty to

n

S

k=1

U

k

= {x ∈ X : ∃k ∈ Z

n

, x ∈ F

k

} jest domknięty.

TWIERDZENIE 324

Domkni

,

eciem zbioru B nazywamy najmniejszy zbiór domkni

,

ety B

zawieraj

,

acy B.

OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO

TWIERDZENIE 325

W przestrzeni metrycznej (X, %) K(a, r) jest zbiorem otwartym.

DEFINICJA 326

Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem
punktu a,

zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.

DEFINICJA 326

Mówimy, że dwie normy k · k

1

oraz k · k

2

są równoważne wtedy i tylko

wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K, k takie, że kk · k

1

≤ k · k

2

≤ Kk · k

1

.

OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO

TWIERDZENIE 325

W przestrzeni metrycznej (X, %) K(a, r) jest zbiorem otwartym.

DEFINICJA 326

Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem
punktu a,

zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.

DEFINICJA 326

Mówimy, że dwie normy k · k

1

oraz k · k

2

są równoważne wtedy i tylko

wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K, k takie, że kk · k

1

≤ k · k

2

≤ Kk · k

1

.

OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO

TWIERDZENIE 325

W przestrzeni metrycznej (X, %) K(a, r) jest zbiorem otwartym.

DEFINICJA 326

Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem
punktu a,

zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.

DEFINICJA 326

Mówimy, że dwie normy k · k

1

oraz k · k

2

są równoważne wtedy i tylko

wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K, k takie, że kk · k

1

≤ k · k

2

≤ Kk · k

1

.

OTOCZENIE I SĄSIEDZTWO

TWIERDZENIE 325

W przestrzeni metrycznej (X, %) K(a, r) jest zbiorem otwartym.

DEFINICJA 326

Jeżeli a jest punktem wewnętrznym zbioru U to U nazywamy otoczeniem
punktu a,

zaś U \ {a} naywamy sąsiedztwem punktu a.

DEFINICJA 326

Mówimy, że dwie normy k · k

1

oraz k · k

2

są równoważne wtedy i tylko

wtedy gdy istnieją stałe dodatnie K, k takie, że kk · k

1

≤ k · k

2

≤ Kk · k

1

.

Dowód 1. !

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

TWIERDZENIE 327

Każde dwie normy na R

n

są równoważne.

TWIERDZENIE 328

Warunki

lim

k→∞

k a − x

k

k

max

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

P

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

√

·

= 0,

s

,

a równoważne.

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

TWIERDZENIE 327

Każde dwie normy na R

n

są równoważne.

TWIERDZENIE 328

Warunki

lim

k→∞

k a − x

k

k

max

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

P

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

√

·

= 0,

s

,

a równoważne.

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

TWIERDZENIE 327

Każde dwie normy na R

n

są równoważne.

TWIERDZENIE 328

Warunki

lim

k→∞

k a − x

k

k

max

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

P

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

√

·

= 0,

s

,

a równoważne.

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

TWIERDZENIE 327

Każde dwie normy na R

n

są równoważne.

TWIERDZENIE 328

Warunki

lim

k→∞

k a − x

k

k

max

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

P

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

√

·

= 0,

s

,

a równoważne.

0 <= ||a xk||max <= K||a+xk||Ʃ
0

> 0 i K||a+xk||Ʃ

>0

z tego wynika: ||a xk||max

>0

RÓWNOWAŻNOŚĆ NORM

TWIERDZENIE 327

Każde dwie normy na R

n

są równoważne.

TWIERDZENIE 328

Warunki

lim

k→∞

k a − x

k

k

max

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

P

= 0,

lim

k→∞

k a − x

k

k

√

·

= 0,

s

,

a równoważne.

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 329

Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących
granicą pewnego ciągu elementów należacych do tego zbioru.

TWIERDZENIE 330

Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty
skupienia.

DEFINICJA 331

Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego
zbioru.

TWIERDZENIE 332

W przestrzeni R

n

zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest

domknięty i ograniczony.

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 329

Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących
granicą pewnego ciągu elementów należacych do tego zbioru.

TWIERDZENIE 330

Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty
skupienia.

DEFINICJA 331

Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego
zbioru.

TWIERDZENIE 332

W przestrzeni R

n

zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest

domknięty i ograniczony.

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 329

Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących
granicą pewnego ciągu elementów należacych do tego zbioru.

TWIERDZENIE 330

Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty
skupienia.

DEFINICJA 331

Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego
zbioru.

TWIERDZENIE 332

W przestrzeni R

n

zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest

domknięty i ograniczony.

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 329

Punktem skupienia zbioru F nazywamy każdy z punktów będących
granicą pewnego ciągu elementów należacych do tego zbioru.

TWIERDZENIE 330

Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie punkty
skupienia.

DEFINICJA 331

Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego
zbioru.

TWIERDZENIE 332

W przestrzeni R

n

zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest

domknięty i ograniczony.

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 333

Niech b

,

edzie dana funkcja f : D −→ R

m

, określona w sąsiedztwie

punktu a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

).

Mówimy, że funkcja f ma granic

,

e g = (g

1

, g

2

, . . . , g

m

) przy

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) zmierzaj

,

acym do a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) jeżeli dla

każdego ci

,

agu {x

(k)

}

k∈N

zawartego w D takiego, że lim

k→∞

x

(k)

= a

lim

k−→∞

f (x

(k)

) = g.

Zapisujemy lim

x→a)

f (x) = g.

DEFINICJA 334

Mówimy, że funkcja f : D −→ R

m

, gdzie D ⊂ R

n

jest ci

,

agła w punkcie

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) ∈ D jeżeli

f (a) = lim

x→a

f (x).

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 333

Niech b

,

edzie dana funkcja f : D −→ R

m

, określona w sąsiedztwie

punktu a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

).

Mówimy, że funkcja f ma granic

,

e g = (g

1

, g

2

, . . . , g

m

) przy

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) zmierzaj

,

acym do a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) jeżeli dla

każdego ci

,

agu {x

(k)

}

k∈N

zawartego w D takiego, że lim

k→∞

x

(k)

= a

lim

k−→∞

f (x

(k)

) = g.

Zapisujemy lim

x→a)

f (x) = g.

DEFINICJA 334

Mówimy, że funkcja f : D −→ R

m

, gdzie D ⊂ R

n

jest ci

,

agła w punkcie

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) ∈ D jeżeli

f (a) = lim

x→a

f (x).

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 333

Niech b

,

edzie dana funkcja f : D −→ R

m

, określona w sąsiedztwie

punktu a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

).

Mówimy, że funkcja f ma granic

,

e g = (g

1

, g

2

, . . . , g

m

) przy

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) zmierzaj

,

acym do a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) jeżeli dla

każdego ci

,

agu {x

(k)

}

k∈N

zawartego w D takiego, że lim

k→∞

x

(k)

= a

lim

k−→∞

f (x

(k)

) = g.

Zapisujemy lim

x→a)

f (x) = g.

DEFINICJA 334

Mówimy, że funkcja f : D −→ R

m

, gdzie D ⊂ R

n

jest ci

,

agła w punkcie

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) ∈ D jeżeli

f (a) = lim

x→a

f (x).

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 333

Niech b

,

edzie dana funkcja f : D −→ R

m

, określona w sąsiedztwie

punktu a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

).

Mówimy, że funkcja f ma granic

,

e g = (g

1

, g

2

, . . . , g

m

) przy

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) zmierzaj

,

acym do a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) jeżeli dla

każdego ci

,

agu {x

(k)

}

k∈N

zawartego w D takiego, że lim

k→∞

x

(k)

= a

lim

k−→∞

f (x

(k)

) = g.

Zapisujemy lim

x→a)

f (x) = g.

DEFINICJA 334

Mówimy, że funkcja f : D −→ R

m

, gdzie D ⊂ R

n

jest ci

,

agła w punkcie

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) ∈ D jeżeli

f (a) = lim

x→a

f (x).

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 333

Niech b

,

edzie dana funkcja f : D −→ R

m

, określona w sąsiedztwie

punktu a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

).

Mówimy, że funkcja f ma granic

,

e g = (g

1

, g

2

, . . . , g

m

) przy

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) zmierzaj

,

acym do a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) jeżeli dla

każdego ci

,

agu {x

(k)

}

k∈N

zawartego w D takiego, że lim

k→∞

x

(k)

= a

lim

k−→∞

f (x

(k)

) = g.

Zapisujemy lim

x→a)

f (x) = g.

DEFINICJA 334

Mówimy, że funkcja f : D −→ R

m

, gdzie D ⊂ R

n

jest ci

,

agła w punkcie

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) ∈ D jeżeli

f (a) = lim

x→a

f (x).

GRANICE FUNKCJI

DEFINICJA 333

Niech b

,

edzie dana funkcja f : D −→ R

m

, określona w sąsiedztwie

punktu a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

).

Mówimy, że funkcja f ma granic

,

e g = (g

1

, g

2

, . . . , g

m

) przy

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) zmierzaj

,

acym do a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) jeżeli dla

każdego ci

,

agu {x

(k)

}

k∈N

zawartego w D takiego, że lim

k→∞

x

(k)

= a

lim

k−→∞

f (x

(k)

) = g.

Zapisujemy lim

x→a)

f (x) = g.

DEFINICJA 334

Mówimy, że funkcja f : D −→ R

m

, gdzie D ⊂ R

n

jest ci

,

agła w punkcie

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) ∈ D jeżeli

f (a) = lim

x→a

f (x).

GRANICE FUNKCJI

TWIERDZENIE 335

Jeżeli istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) to istniej

,

a granice

lim

x→a

(f (x) + g(x)), lim

x→a

(f (x) − g(x)) jeżeli

f : D −→ R to także istnieje lim

x→a

(f (x) · g(x)).

Ponadto zachodz

,

a wzory

lim

x→a

(f (x) + g(x)) = lim

x→a

f (x) + lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) − g(x)) = lim

x→a

f (x) − lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) · g(x)) = lim

x→a

f (x) · lim

x→a

g(x)

Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) 6= 0 to

istnieje granica lim

x→a

f (x)

g(x)

oraz lim

x→a

f (x)

g(x)

=

lim

x→a

f (x)

lim

x→a

g(x)

.

GRANICE FUNKCJI

TWIERDZENIE 335

Jeżeli istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) to istniej

,

a granice

lim

x→a

(f (x) + g(x)), lim

x→a

(f (x) − g(x)) jeżeli

f : D −→ R to także istnieje lim

x→a

(f (x) · g(x)).

Ponadto zachodz

,

a wzory

lim

x→a

(f (x) + g(x)) = lim

x→a

f (x) + lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) − g(x)) = lim

x→a

f (x) − lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) · g(x)) = lim

x→a

f (x) · lim

x→a

g(x)

Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) 6= 0 to

istnieje granica lim

x→a

f (x)

g(x)

oraz lim

x→a

f (x)

g(x)

=

lim

x→a

f (x)

lim

x→a

g(x)

.

GRANICE FUNKCJI

TWIERDZENIE 335

Jeżeli istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) to istniej

,

a granice

lim

x→a

(f (x) + g(x)), lim

x→a

(f (x) − g(x)) jeżeli

f : D −→ R to także istnieje lim

x→a

(f (x) · g(x)).

Ponadto zachodz

,

a wzory

lim

x→a

(f (x) + g(x)) = lim

x→a

f (x) + lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) − g(x)) = lim

x→a

f (x) − lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) · g(x)) = lim

x→a

f (x) · lim

x→a

g(x)

Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) 6= 0 to

istnieje granica lim

x→a

f (x)

g(x)

oraz lim

x→a

f (x)

g(x)

=

lim

x→a

f (x)

lim

x→a

g(x)

.

GRANICE FUNKCJI

TWIERDZENIE 335

Jeżeli istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) to istniej

,

a granice

lim

x→a

(f (x) + g(x)), lim

x→a

(f (x) − g(x)) jeżeli

f : D −→ R to także istnieje lim

x→a

(f (x) · g(x)).

Ponadto zachodz

,

a wzory

lim

x→a

(f (x) + g(x)) = lim

x→a

f (x) + lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) − g(x)) = lim

x→a

f (x) − lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) · g(x)) = lim

x→a

f (x) · lim

x→a

g(x)

Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) 6= 0 to

istnieje granica lim

x→a

f (x)

g(x)

oraz lim

x→a

f (x)

g(x)

=

lim

x→a

f (x)

lim

x→a

g(x)

.

GRANICE FUNKCJI

TWIERDZENIE 335

Jeżeli istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) to istniej

,

a granice

lim

x→a

(f (x) + g(x)), lim

x→a

(f (x) − g(x)) jeżeli

f : D −→ R to także istnieje lim

x→a

(f (x) · g(x)).

Ponadto zachodz

,

a wzory

lim

x→a

(f (x) + g(x)) = lim

x→a

f (x) + lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) − g(x)) = lim

x→a

f (x) − lim

x→a

g(x)

lim

x→a

(f (x) · g(x)) = lim

x→a

f (x) · lim

x→a

g(x)

Jeżeli f, g : D −→ R, i istniej

,

a granice lim

x→a

f (x) oraz lim

x→a

g(x) 6= 0 to

istnieje granica lim

x→a

f (x)

g(x)

oraz lim

x→a

f (x)

g(x)

=

lim

x→a

f (x)

lim

x→a

g(x)

.

Tw. Funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiaga
swoje kresy

POCHODNA KIERUNKOWA

DEFINICJA 336

Niech dana b

,

edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym

w R

n

i niech (a

1

, a

2

, . . . a

n

) ∈ D b

,

edzie ustalonym punktem zaś

¯

v = [v

1

, v

2

, . . . , v

n

] wektorem w R

n

.

Jeżeli istnieje granica lim

h−→0

1

h

(f (a + h¯

v) − f (a)) to nazywamy j

,

a

pochodn

,

a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯

v.

Oznaczamy ją (D

¯

v

f )(a).

Pochodn

,

a funkcji wzgl

,

edem osi l

~

nazywamy pochodn

,

a w kierunku

wersora tej osi.

DEFINICJA 337

Niech e

k

będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R

n

.

Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R

n

nazywamy (D

e

k

f )(a).

POCHODNA KIERUNKOWA

DEFINICJA 336

Niech dana b

,

edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym

w R

n

i niech (a

1

, a

2

, . . . a

n

) ∈ D b

,

edzie ustalonym punktem zaś

¯

v = [v

1

, v

2

, . . . , v

n

] wektorem w R

n

.

Jeżeli istnieje granica lim

h−→0

1

h

(f (a + h¯

v) − f (a)) to nazywamy j

,

a

pochodn

,

a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯

v.

Oznaczamy ją (D

¯

v

f )(a).

Pochodn

,

a funkcji wzgl

,

edem osi l

~

nazywamy pochodn

,

a w kierunku

wersora tej osi.

DEFINICJA 337

Niech e

k

będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R

n

.

Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R

n

nazywamy (D

e

k

f )(a).

POCHODNA KIERUNKOWA

DEFINICJA 336

Niech dana b

,

edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym

w R

n

i niech (a

1

, a

2

, . . . a

n

) ∈ D b

,

edzie ustalonym punktem zaś

¯

v = [v

1

, v

2

, . . . , v

n

] wektorem w R

n

.

Jeżeli istnieje granica lim

h−→0

1

h

(f (a + h¯

v) − f (a)) to nazywamy j

,

a

pochodn

,

a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯

v.

Oznaczamy ją (D

¯

v

f )(a).

Pochodn

,

a funkcji wzgl

,

edem osi l

~

nazywamy pochodn

,

a w kierunku

wersora tej osi.

DEFINICJA 337

Niech e

k

będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R

n

.

Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R

n

nazywamy (D

e

k

f )(a).

POCHODNA KIERUNKOWA

DEFINICJA 336

Niech dana b

,

edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym

w R

n

i niech (a

1

, a

2

, . . . a

n

) ∈ D b

,

edzie ustalonym punktem zaś

¯

v = [v

1

, v

2

, . . . , v

n

] wektorem w R

n

.

Jeżeli istnieje granica lim

h−→0

1

h

(f (a + h¯

v) − f (a)) to nazywamy j

,

a

pochodn

,

a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯

v.

Oznaczamy ją (D

¯

v

f )(a).

Pochodn

,

a funkcji wzgl

,

edem osi l

~

nazywamy pochodn

,

a w kierunku

wersora tej osi.

DEFINICJA 337

Niech e

k

będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R

n

.

Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R

n

nazywamy (D

e

k

f )(a).

POCHODNA KIERUNKOWA

DEFINICJA 336

Niech dana b

,

edzie funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem otwartym

w R

n

i niech (a

1

, a

2

, . . . a

n

) ∈ D b

,

edzie ustalonym punktem zaś

¯

v = [v

1

, v

2

, . . . , v

n

] wektorem w R

n

.

Jeżeli istnieje granica lim

h−→0

1

h

(f (a + h¯

v) − f (a)) to nazywamy j

,

a

pochodn

,

a kierunkową funkcji f w punkcie a w kierunku wektora ¯

v.

Oznaczamy ją (D

¯

v

f )(a).

Pochodn

,

a funkcji wzgl

,

edem osi l

~

nazywamy pochodn

,

a w kierunku

wersora tej osi.

DEFINICJA 337

Niech e

k

będzie k-tym wektorem bazy kanonicznej w R

n

.

Pochodną cząstkową po k-tej zmiennej funkcji f : D −→ R w punkcie
a ∈ D, gdzie D jest zbiorem otwartym w R

n

nazywamy (D

e

k

f )(a).

POCHODNA

Oznaczamy ją

∂f

∂x

k

(a).

DEFINICJA 338

Niech dana b

,

edzie funkcja

f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

gdzie D ⊂ R

n

i niech (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) ∈ D b

,

edzie ustalony.

Jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe
d

a

f : R

n

−→ R

m

takie, że

lim

khk→0

k f (a + h) − f (a) − (d

a

f )(h) k

k h k

= 0

to nazywamy go różniczk

,

a odwzorowania f w punkcie a.

POCHODNA

Oznaczamy ją

∂f

∂x

k

(a).

DEFINICJA 338

Niech dana b

,

edzie funkcja

f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ (f

1

(x), f

2

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

,

gdzie D ⊂ R

n

i niech (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) ∈ D b

,

edzie ustalony.

Jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe
d

a

f : R

n

−→ R

m

takie, że

lim

khk→0

k f (a + h) − f (a) − (d

a

f )(h) k

k h k

= 0

to nazywamy go różniczk

,

a odwzorowania f w punkcie a.

Uzupełnienie 1.

pochodną

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 339

Jeżeli funkcja ma różniczk

,

e w punkcie a to jest w tym punkcie ci

,

agła i

istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe w punkcie a.

TWIERDZENIE 340

Jeżeli funkcja ma pochodne cz

,

astkowe w otoczeniu punktu a i s

,

a one

ci

,

agłe w tym punkcie to w tym punkcie istnieje różniczka funkcji f i

d

a

f ((h

1

, h

2

, . . . h

n

) =

n

P

l=1

∂f

∂x

l

(a) · h

l

.

DEFINICJA 341

Funkcj

,

e, która ma różniczk

,

e w każdym punkcie obszaru D nazywamy

różniczkowaln

,

a w obszarze D.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 339

Jeżeli funkcja ma różniczk

,

e w punkcie a to jest w tym punkcie ci

,

agła i

istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe w punkcie a.

TWIERDZENIE 340

Jeżeli funkcja ma pochodne cz

,

astkowe w otoczeniu punktu a i s

,

a one

ci

,

agłe w tym punkcie to w tym punkcie istnieje różniczka funkcji f i

d

a

f ((h

1

, h

2

, . . . h

n

) =

n

P

l=1

∂f

∂x

l

(a) · h

l

.

DEFINICJA 341

Funkcj

,

e, która ma różniczk

,

e w każdym punkcie obszaru D nazywamy

różniczkowaln

,

a w obszarze D.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 339

Jeżeli funkcja ma różniczk

,

e w punkcie a to jest w tym punkcie ci

,

agła i

istniej

,

a pochodne cz

,

astkowe w punkcie a.

TWIERDZENIE 340

Jeżeli funkcja ma pochodne cz

,

astkowe w otoczeniu punktu a i s

,

a one

ci

,

agłe w tym punkcie to w tym punkcie istnieje różniczka funkcji f i

d

a

f ((h

1

, h

2

, . . . h

n

) =

n

P

l=1

∂f

∂x

l

(a) · h

l

.

DEFINICJA 341

Funkcj

,

e, która ma różniczk

,

e w każdym punkcie obszaru D nazywamy

różniczkowaln

,

a w obszarze D.

pochodną

pochodna

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 342

Jeżeli f : D

f

−→ R

m

, i g : D

g

−→ R

p

, gdzie f (D

f

) ⊂ D

g

⊂ R

m

s

,

a

różniczkowalne to istnieje d(g ◦ f ) oraz zachodzi wzór
d

a

(g ◦ f ) = d

f (a)

g ◦ d

a

f.

TWIERDZENIE 343

Jeżeli f : D

f

−→ R

m

, jest różniczkowalna to

D

¯

v

f (a) = (d

a

f )¯

v =

n

P

k=1

∂f

∂x

k

(a)v

k

.

TWIERDZENIE 344

Załóżmy, że funkcja f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ f (x) ∈ R, gdzie

D ⊂ R

n

ma pochodn

,

a cz

,

astkow

,

a f

0

x

l

(x) =

∂f

∂x

l

(x). Definiujemy

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

=

∂f

0

x

l

∂x

p

.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 342

Jeżeli f : D

f

−→ R

m

, i g : D

g

−→ R

p

, gdzie f (D

f

) ⊂ D

g

⊂ R

m

s

,

a

różniczkowalne to istnieje d(g ◦ f ) oraz zachodzi wzór
d

a

(g ◦ f ) = d

f (a)

g ◦ d

a

f.

TWIERDZENIE 343

Jeżeli f : D

f

−→ R

m

, jest różniczkowalna to

D

¯

v

f (a) = (d

a

f )¯

v =

n

P

k=1

∂f

∂x

k

(a)v

k

.

TWIERDZENIE 344

Załóżmy, że funkcja f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ f (x) ∈ R, gdzie

D ⊂ R

n

ma pochodn

,

a cz

,

astkow

,

a f

0

x

l

(x) =

∂f

∂x

l

(x). Definiujemy

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

=

∂f

0

x

l

∂x

p

.

POCHODNA I POCHODNE CZĄSTKOWE

TWIERDZENIE 342

Jeżeli f : D

f

−→ R

m

, i g : D

g

−→ R

p

, gdzie f (D

f

) ⊂ D

g

⊂ R

m

s

,

a

różniczkowalne to istnieje d(g ◦ f ) oraz zachodzi wzór
d

a

(g ◦ f ) = d

f (a)

g ◦ d

a

f.

TWIERDZENIE 343

Jeżeli f : D

f

−→ R

m

, jest różniczkowalna to

D

¯

v

f (a) = (d

a

f )¯

v =

n

P

k=1

∂f

∂x

k

(a)v

k

.

TWIERDZENIE 344

Załóżmy, że funkcja f : D 3 (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) −→ f (x) ∈ R, gdzie

D ⊂ R

n

ma pochodn

,

a cz

,

astkow

,

a f

0

x

l

(x) =

∂f

∂x

l

(x). Definiujemy

∂

2

f

∂x

p

∂x

l

=

∂f

0

x

l

∂x

p

.