Zadanie 1.

Niech A ⊂ R, x

0

, α ∈ R. Zdeniujmy A + x

0

:= {x + x

0

: x ∈ A}

oraz αA := {αx : x ∈ A}.

(a) Wykaza¢, »e λ

∗

(A + x

0

) = λ

∗

(A)

oraz λ

∗

(αA) = α

∗

(A)

;

(b) Wykaza¢, »e je±li A jest mierzalny, to A + x

0

i αA te» s¡ mierzalne.

Zadanie 2.
Skonstruowa¢ zbiór niemierzalny na R.
Wskazówka:
Krok 1. W zbiorze [0, 1] wprowadzamy relacj¦ nastepuj¡co: xRy wtw x − y ∈ Q. Wykazujemy, »e
jest to relacja rónowa»no±ci.
Krok 2. Deniujemy V jako taki zbiór, który powstaje przez wybranie po jednym elemencie z ka»dej
klasy abstrakcji relacji R. Mo»na tak wybra¢ zbiór V gwarantuje nam to Aksjomat Wyboru.
Krok 3. Ustawiamy zbiór liczb wymiernych w ci¡g: Q = {q

k

: k ∈ N}. Dla dowolnego k ∈ N,

deniujemy V

k

:= V + q

k

.

Krok 4. Pokazujemy, »e zbiory V

k

s¡ parami rozª¡czne.

Krok 5. Pokazujemy, »e [0, 1] ⊂ S

k∈N

V

k

⊂ [−1, 2]

.

Krok 6. Wnioskujemy, »e V jest niemierzalny.
UWAGA! Zbiór V nazywamy zbiorem Vitaliego.

1