Politechnika Białostocka
Wydział Elektryczny
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii

Instrukcja do zajęć laboratoryjnych

ELEMENTY RLC W OBWODACH

PRĄDU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO

Numer ćwiczenia

E03

Opracowanie:

dr inż. Anna Maria Białostocka

Białystok 2009

- 2 -

Spis treści

1. Wprowadzenie...........................................................................................3

1.1. Połączenie szeregowe elementów R, L, C ............................................4
1.2. Połączenie równoległe elementów R, L, C............................................5
1.3. Połączenie szeregowo-równoległe elementów R, L, C..........................6

2. Pomiary .....................................................................................................7

3. Wymagania bhp ........................................................................................8

4. Opracowanie wyników..............................................................................9

5. Pytania sprawdzające .............................................................................10

6. Wykaz literatury .....................................................................................10

7. Dodatek – przykład obliczeń...................................................................10

_____________

Materiały dydaktyczne przeznaczone dla studentów Wydziału Elektrycznego PB.

© Wydział Elektryczny, Politechnika Białostocka, 2009

Wszelkie prawa zastrzeżone. Żadna część tej publikacji nie może być kopiowana i odtwarzana
w jakiejkolwiek formie i przy użyciu jakichkolwiek środków bez zgody posiadacza praw
autorskich.

- 3 -

Cel ćwiczenia: doświadczalne potwierdzenie słuszności praw Kirchhoffa dla
złożonego obwodu elektrycznego zasilanego napięciem sinusoidalnie
zmiennym oraz wykonanie wykresu wektorowego dla układu z powyższego
doświadczenia.

1. Wprowadzenie

W obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego zasadniczą rolę w rozpływie

prądów i rozkładzie napięć odgrywają poza elementami rezystancyjnymi również
elementy reaktancyjne. W elementach rezystancyjnych zachodzi przemiana
energii elektrycznej w energię cieplną, natomiast elementy reaktancyjne zwane
inaczej zachowawczymi posiadają właściwość gromadzenia energii. Rozróżnia
się elementy reaktancyjne indukcyjne (wszelkiego rodzaju cewki, dławiki itp.)
oraz elementy reaktancyjne pojemnościowe (kondensatory).

W rzeczywistości nie ma elementów tylko rezystancyjnych lub tylko

reaktancyjnych, można jednak w większości przypadków przypisać elementom
obwodu elektrycznego cechą dominującą, a więc rezystancję R, pojemność C lub
indukcyjność L.

W każdym obwodzie elektrycznym spełnione są prawa Kirchhoffa; w

obwodach prądu sinusoidalnego dotyczą one wartości chwilowych oraz wartości
skutecznych zespolonych i mają postać:
- dla wartości chwilowych

i

k

k

n







0

1

,

u

k

k

m







0

1

(1)

- dla wartości skutecznych zespolonych

I

k

k

n







0

1

,

U

k

k

m







0

1

(2)

Bardzo często korzystne jest przedstawienie praw Kirchhoffa w postaci wykresu
wektorowego, co zostanie zilustrowane na przykładzie obwodów elektrycznych o
mieszanym połączeniu elementów R, L, C.

- 4 -

1.1. Połączenie szeregowe elementów R, L, C

Schemat szeregowego połączenia elementów R,L,C przedstawia rys. 1,

odpowiadający mu wykres wektorowy - rys. 1a.

R

L C

U

I

U

I

U

R

U

L

U

C

U

C



Rys. 1. Rys. 1a

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa

U = U

R

+ U

L

+ U

C

(3)

Przy zasilaniu dwójnika z rys. 1 napięciem sinusoidalnym, prąd płynący przez
ten dwójnik jest określony prawem Ohma i w postaci zespolonej wyraża się
wzorem

I =

Z

U

(4)

przy czym

Z = R + j (X

L

- X

C

), X

L

=



L, X

C

=

1

C

(5)

Oznaczenia:

U - wartość skuteczna zespolona napięcia przyłożonego do dwójnika,
I - wartość skuteczna zespolona prądu w dwójniku,
Z - impedancja zespolona dwójnika szeregowego R, L, C,
X

L

, X

C

- reaktancja indukcyjna i reaktancja pojemnościowa,



- pulsacja napięcia sinusoidalnie zmiennego.

Wartość skuteczna prądu płynącego przez dwójnik wynosi





I

U

Z

U

R

X

X

L

C









2

2

(6)

przy czym

U - wartość skuteczna napięcia przyłożonego do dwójnika

Z - moduł impedancji dwójnika

- 5 -

Kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem określa równanie

 



arctg

X

X

R

L

C

(7)

1.2. Połączenie równoległe elementów R, L, C

Schemat równoległego połączenia elementów R,L,C przedstawia rys. 2a,

odpowiadający mu wykres wektorowy - rys. 2b.

U

I

I

R

I

L

I

C



I

L

R

L

C

U

I

Rys. 2a

Rys. 2b

Zgodnie z I prawem Kirchhoffa, wartości zespolone prądów związane są
następującą zależnością:

I = I

R

+ I

L

+ I

C

(8)

Uwzględniając prawo Ohma dla obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego
otrzymamy

I = Y U

(9)

przy czym

Y = G + j (B

C

- B

L

), B

C

= C, B

L

=

1

L

(10)

Oznaczenia:

Y - admitancja zespolona dwójnika równoległego R, L, C,

G - konduktancja,
B

C

, B

L

- susceptancja pojemnościowa i susceptancja indukcyjna.

Kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem określa równanie

















G

B

B

arctg

L

C



.

(11)

- 6 -

1.3. Połączenie szeregowo-równoległe elementów R, L, C

Układ o takim połączeniu elementów R, L, C badany będzie podczas

wykonywania ćwiczenia. Jego schemat przedstawia rys. 3a, zaś przykładowy
wykres wektorowy dla tego połączenia - rys. 3b.

Oznaczenia występujące na wykresie wektorowym:
I

Lc

- składowa czynna prądu I

L

I

Lb

- składowa bierna prądu I

L

U

2c

- składowa czynna napięcia U

2

U

2b

- składowa bierna napięcia U

2

U

U

2

I

R

1

C

1

R

2

R

3

L

C

I

L

I

R2

I

C

I

C

I

Lb

I

Lc

I

L

I

R2

I

U

2

U

2b

U

2c

U

R1

U

C1

U

I

R2

I

L

Rys. 3a

Rys. 3b

Wykres wektorowy sporządza się na podstawie znajomości wartości prądów
płynących przez poszczególne gałęzie układu oraz wartości spadków napięć na
elementach znajdujących się w tych gałęziach. Wykres rozpoczyna się od
ustawienia w przestrzeni wektora napięcia U

2

występującego na gałęziach

połączonych równolegle (patrz rys.3.). Następnie wrysowuje się wektory
prądów: wektor prądu I

R2

w fazie z napięciem U

2

, wektor prądu I

c

wyprzedzający wektor napięcia U

2

o kąt

2



oraz wektor prądu I

L

opóźniony

względem napięcia U

2

o kąt



. Przy obliczaniu kąta



należy pamiętać, że w

- 7 -

gałęzi o charakterze indukcyjnym występuje rezystancja R

3

oraz rezystancja

uzwojeń cewki indukcyjnej określona jako R

L

. Sumując geometrycznie prądy I

R2

,

I

C

, I

L

wyznacza się prąd wypadkowy I. W następnej kolejności umieszcza się na

wykresie wektor napięcia U

R1

będący w fazie z wektorem prądu wypadkowego I

oraz wektor napięcia U

C1

opóźniający o

2



względem tego prądu. Sumując

wektory napięć U

2

, U

R1

i U

C1

otrzymujemy wektor napięcia wypadkowego U.

2. Pomiary

1. Połączyć obwód elektryczny jak na rys.4. zwracając baczną uwagę, aby do

jednego zacisku nie były przyłączone więcej niż dwie końcówki przewodów.

2. Zgłosić gotowość do wykonania ćwiczenia prowadzącemu zajęcia, który

sprawdza poprawność połączenia i zasila napięciem odpowiednie stanowisko
laboratoryjne.

3. Przy pomocy autotransformatora laboratoryjnego AT nastawić pięć różnych

wartości napięcia zasilającego (w granicach 100-200 V) i dla każdej wartości
tego napięcia odczytać wskazania wszystkich przyrządów pomiarowych.
Wyniki odnotować w podanej poniżej tabeli.

R

1

C

1

R

2

R

3

L

C

AT

220 V
50 Hz

V

V

1

V

2

A

1

A

2

A

3

A

4

Rys. 4.

Oznaczenia:

~230 V

50 Hz

- 8 -

R

1

- opornik suwakowy 40 ,

R

2

, R

3

- oporniki suwakowe 195 ,

C, C

1

- kondensatory 10 F,

L

- dławik oświetleniowy. W zależności od typu dławika, jego rezystancja
wynosi R

L

= 24  lub R

L

= 33 . Właściwą wartość rezystancji poda

prowadzący lub na podstawie polecenia prowadzącego należy ją
zmierzyć. Reaktancję dławika x

L

i jego indukcyjność L należy obliczyć z

trójkąta impedancji, na podstawie wykonanych pomiarów.

A

1

, A

2

, A

3

, A

4

, V, V

1

,

V

2

- mierniki uniwersalne.

Tabela wyników

U

U

1

U

2

U

2c

U

2b

I

1

I

2

I

3

I

3c

I

3b

I

4

Lp

V

V

V

V

V

A

A

A

A

A

A

1

100

2

125

3

150

4

175

5

200

3. Wymagania BHP

Warunkiem przystąpienia do praktycznej realizacji ćwiczenia jest

zapoznanie się z instrukcją BHP i instrukcją przeciw pożarową oraz
przestrzeganie zasad w nich zawartych. Wybrane urządzenia dostępne na
stanowisku laboratoryjnym mogą posiadać instrukcje stanowiskowe. Przed
rozpoczęciem pracy należy zapoznać się z instrukcjami stanowiskowymi
wskazanymi przez prowadzącego.
W trakcie zajęć laboratoryjnych należy przestrzegać następujących zasad.



Sprawdzić, czy urządzenia dostępne na stanowisku laboratoryjnym są w
stanie kompletnym, nie wskazującym na fizyczne uszkodzenie.



Sprawdzić prawidłowość połączeń urządzeń.



Załączenie napięcia do układu pomiarowego może się odbywać po
wyrażeniu zgody przez prowadzącego.



Przyrządy pomiarowe należy ustawić w sposób zapewniający stałą
obserwację, bez konieczności nachylania się nad innymi elementami
układu znajdującymi się pod napięciem.



Zabronione jest dokonywanie jakichkolwiek przełączeń oraz wymiana
elementów składowych stanowiska pod napięciem.

- 9 -



Zmiana konfiguracji stanowiska i połączeń w badanym układzie może się
odbywać wyłącznie w porozumieniu z prowadzącym zajęcia.



W przypadku zaniku napięcia zasilającego należy niezwłocznie wyłączyć
wszystkie urządzenia.



Stwierdzone

wszelkie

braki

w

wyposażeniu

stanowiska

oraz

nieprawidłowości w funkcjonowaniu sprzętu należy przekazywać
prowadzącemu zajęcia.



Zabrania się samodzielnego włączania, manipulowania i korzystania z
urządzeń nie należących do danego ćwiczenia.



W przypadku wystąpienia porażenia prądem elektrycznym należy
niezwłocznie wyłączyć zasilanie stanowisk laboratoryjnych za pomocą
wyłącznika bezpieczeństwa, dostępnego na każdej tablicy rozdzielczej w
laboratorium. Przed odłączeniem napięcia nie dotykać porażonego.

4. Opracowanie wyników

1. Na podstawie wyników pomiarów sprawdzić obydwa prawa Kirchhoffa dla

wszystkich pięciu punktów pomiarowych. Podać obliczenia dla jednego
punktu pomiarowego wskazanego przez prowadzącego.

2. Na podstawie obliczeń sporządzić wykres wektorowy prądów i napięć dla

jednej, wskazanej przez prowadzącego, wartości napięcia zasilającego.
Omówić sposób wykonania wykresu wektorowego.
UWAGA: Wykres wskazowy wykonać na papierze milimetrowym
formatu A4 w odpowiedniej skali (skalę podać pod wykresem
wskazowym) !

3. We wnioskach rozstrzygnąć następujące kwestie.

 Czy prawa Kirchhoffa stosuje się względem wartości skutecznych czy

skutecznych zespolonych (i dlaczego)?

 Od czego zależy zawartość składowych czynnych i biernych?
 W jaki sposób składowe decydują o mocy czynnej układu?
 Nieliniowość którego elementu decyduje o błędzie wnoszonym przez

metodę zespoloną?

 Co jest przyczyną innych błędów?

- 10 -

5. Pytania sprawdzające

1.

Na podstawie szeregowego połączenia R, L, C wyprowadzić wzory na
postać algebraiczną oraz wykładniczą impedancji wynikającej z
powyższego połączenia elementów.

2.

Podaj prawo Ohma i prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu sinusoidalnego
na podstawie szeregowego bądź równoległego układu elementów R, L, C.

3.

Wyznacz impedancję zastępczą obwodu analizowanego w ćwiczeniu.

4.

Narysuj wykres wektorowy napięć i prądów dla mieszanego połączenia
elementów R, L, C.

5.

Podaj schematy zastępcze cewki i kondensatora rzeczywistego.

6.

Jak obliczamy moc czynną, bierną i pozorną w obwodach zawierających
elementy R, L, C.

6. Wykaz literatury

[1] Bolkowski S.: Teoria obwodów elektrycznych. WNT 2008
[2] Bolkowski S.: Elektrotechnika. WNT 2005
[3] Frąckowiak J.: Elektrotechnika teoretyczna: laboratorium. Wydawnictwa

Politechniki Poznańskiej 2006

[4] Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna. PWN 1999.

7. Dodatek – przykład obliczeń

Przykład sporządzania obliczeń wartości prądów i napięć z układu
przedstawionego na rysunku 4:
-

kąt fazowy jednej wielkości można przyjąć dowolnie jako odniesienie.

Proponuje się przyjąć napięcie U

2

jako

o

j

e

U

U

0

2

2



, gdzie wielkość U

2

jest

wskazaniem woltomierza V

2

.

-

prąd w gałęzi z amperomierzem A

2

jest w fazie z napięciem U

2

i jego wartość

oblicza się ze wzoru

o

j

e

I

I

0

2

2



, gdzie wielkość I

2

jest wskazaniem

amperomierza A

2

.

-

prąd w gałęzi z amperomierzem A

4

wyprzedza napięcie U

2

o 90

o

i jego

wartość oblicza się ze wzoru

o

j

e

I

I

90

4

4



, gdzie wielkość I

4

jest

wskazaniem amperomierza A

4

.

- 11 -

-

obliczenia dotyczące gałęzi z amperomierzem A

3

rozpocząć od wyliczenia

modułu impedancji z następującego wzoru





2

2

3

3

2

3

L

L

X

R

R

I

U

Z









,

gdzie U

2

jest wskazaniem woltomierza V

2

oraz I

3

jest wskazaniem

amperomierza A

3

.

-

na podstawie znajomości wartości Z

3

wyliczyć wartość reaktancji cewki

zgodnie ze wzorem





2

3

2

3

L

L

R

R

Z

X







.

-

następnie obliczyć kąt przesunięcia pomiędzy prądem I

3

oraz napięciem U

2

(



3

) na podstawie wzoru

L

L

R

R

X

arctg





3

3



oraz określić składowe prądu I

3

:

czynną (I

3c

) i bierną (I

3b

)





b

c

j

I

j

I

j

I

e

I

I

3

3

3

3

3

3

3

sin

cos

3



















.

Rys.5.

-

obliczyć wartość prądu I

1

na podstawie wzoru

4

3

2

1

1

1

I

I

I

e

I

I

j











(I prawo Kirchhoffa), po czym porównać jej moduł ze wskazaniem
amperomierza A

1

(wartość I

1

powinna być zbliżona do wskazania

amperomierza).

-

rozłożyć napięcie U

2

na składowe czynną (U

2c

) i bierną (U

2b

), względem

całkowitego prądu trójgałęziowego dwójnika, tzn. względem prądu I

1

.

1

2

2

cos



U

U

c



1

2

2

sin



U

U

b





 gdzie:

1



- kąt przesunięcia prądu I

1

Rys.6.

I

3

I

3b

I

3c

U

2

Φ

3

I

1

U

2b

U

2c

U

2

Φ

1

- 12 -

-

obliczyć wartość napięcia U

1

(z prawa Ohma) na podstawie znajomości

wartości impedancji znajdującej się w gałęzi z amperomierzem A

1

.

1

1

1

1

C

j

R

Z







, więc





j

e

U

I

C

j

R

I

Z

U

1

1

1

1

1

1

1

1





















Porównać wartość U

1

otrzymaną z obliczeń ze wskazaniem woltomierza V

1

(wartości powinny być zbliżone).

-

obliczyć wartość napięcia U korzystając ze wzoru

U

j

e

U

U

U

U









2

1

(II prawo Kirchhoffa). Porównać wartość U ze wskazaniem woltomierza V.