1
Wydział
Nr zespołu
Imię i nazwisko
Punkty z przygotowania i
wykonania ćwiczenia
Kierunek
Ćw. nr 1
Tytuł ćwiczenia
Wyznaczanie wartości przyśpieszenia ziemskie-
go metodą wahadła matematycznego.
Punkty ze sprawozdania i
końcowego testu
Grupa
Data wykonania
Punktacja końcowa
1.
Wiadomości wstępne
W poniższej tabeli należy udzielić zwięzłej odpowiedzi na trzy pytania wskazane przez Prowadzącego
ćwiczenie. Treści pytań, odpowiadające podanym numerom, znajdują się na odwrocie arkusza.
Pytanie nr
Odpowiedź
……………..
……………..
……………..
2
Ćwiczenie 1. Wyznaczanie wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą wahadła ma-
tematycznego
1.
Co to jest przyśpieszenie? Jak definiujemy spadek swobodny?. Jak definiujemy przyśpieszenie
ziemskie?
2.
Jak wartość przyśpieszenie ziemskiego zależy od położenia na powierzchni Ziemi? Dlaczego tak
jest?
3.
Uzasadnij dlaczego przyśpieszenie ziemskie nie zależy od masy i kształtu spadającego ciała oraz
materiału, z jakiego zbudowane jest to ciało.
4.
Podaj definicję wahadła matematycznego. Jakie warunki muszą być spełnione, aby wahadło
złożone z kulki na nici było dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego?
5.
Narysuj siły działające na kulkę i nitkę w wahadle prostym po wychyleniu wahadła z położenia
równowagi. Opisz krótko ten rozkład sił.
Która z sił jest odpowiedzialna za ruch okresowy kuleczki?
6.
Kiedy powstaje ruch harmoniczny? Wymień cechy tego ruchu.
7.
W jakich warunkach ruch wahadła matematycznego można z dobrym przybliżeniem uważać za
ruch harmoniczny?
8.
Podaj wzór na okres małych drgań wahadła matematycznego i wylicz z niego przyśpieszenie
ziemskie. Na podstawie tego wzoru opisz krótko zastosowaną w ćwiczeniu metodę pomiaru.
3
2.
Dane pomiarowe (wyniki pomiarów bezpośrednich)
Okres drgań wahadła
Długość nici
Średnica kulki
L.p.
Czas t=10T [s]
L.p.
długość nici
h [cm]
L.p.
średnica kulki
d [mm]
1.
1.
1.
2.
2.
2.
3.
3.
3.
4.
4.
4.
5.
5.
5.
6.
6.
6.
7.
7.
7.
8.
8.
8.
9.
9.
9.
10.
10.
10.
Δt [s]
Δh [cm]
Δd [mm]
Poniższe uwagi i wskazówki dotyczą typowych sytuacji. Jeśli w naszym przypadku jest inaczej niż opisano, to
należy skonsultować się z osobą prowadzącą ćwiczenie.
Niepewność pomiaru okresu drgań wahadła
Zaleca się wykonać
= 10 pomiarów czasu 10 pełnych drgań wahadła. Na ogół wyniki pomiarów będą wy-
kazywały wyraźny rozrzut statystyczny. Uwzględnimy go licząc wkład do niepewności metodą A
=
∑
−
∙ − 1 .
Poza tym musimy uwzględnić wkład do niepewności pomiaru związany z dokładnością przyrządu pomiaro-
wego. Jako
Δ można przyjąć połowę najmniejszej działki stopera (zwykle ∙ 0,2s = 0,1s . Ten wkład do
niepewności wyznaczymy metodą B przy następujących założeniach:
a)
Δ jest połową szerokości przedziału granicznego.
b)
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa na przedziale granicznym jest rozkładem prostokątnym.
Przy tych założeniach
=
√
.
4
Niepewność pomiaru długości nici
W przypadku liczby pomiarów mniejszej niż 5 lub jeśli liczba pomiarów wynosi co najmniej 5, ale pomiary
wykazują bardzo mały rozrzut statystyczny niepewność pomiaru wyznaczymy metodą B. Jako
Δℎ (połowa
szerokości przedziału granicznego) możemy przyjąć różnicę między skrajnymi zmierzonymi wartościami, ale
nie mniej niż 2 mm. Podczas liczenia niepewności metodą B zrobimy następujące założenia:
a)
Δℎ jest połową szerokości przedziału granicznego.
b)
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa na przedziale granicznym jest rozkładem trójkątnym.
Przy tych założeniach
ℎ =
!
√"
.
Niepewność pomiaru średnicy kulki
Niepewność pomiaru średnicy kulki za pomocą śruby mikrometrycznej lub suwmiarki ma zaniedbywalny
wpływ na wynik końcowy pomiaru przyśpieszenia ziemskiego. Ponadto, na ogół pomiary nie wykazują roz-
rzutu statystycznego. Dlatego wystarczy wykonać 2 lub 3 pomiary. Jeśli wyniki są powtarzalne, to niepew-
ność pomiaru będzie związana jedynie z dokładnością przyrządu. Jako
Δ# (połowa szerokości przedziału gra-
nicznego) możemy wówczas przyjąć połowę najmniejszej działki przyrządu, np. w przypadku suwmiarki o
dokładności 0,05 mm,
Δ# = ∙ 0,05mm = 0,025mm. Niepewność pomiaru zostanie wyznaczona metodą B
przy następujących założeniach:
a)
Δ# jest połową szerokości przedziału granicznego
b)
rozkład gęstości prawdopodobieństwa na przedziale granicznym jest rozkładem trójkątnym.
Przy tych założeniach
# =
&
√"
.
5
3.
Opracowanie danych pomiarowych dla pomiarów T, h, d, i l
Okres drgań waha-
dła
Długość nici
Średnica kulki
Długość wahadła
Średnia wartość
okresu
Średnia długość nici
Średnia średnica kulki
l [cm]
[s]
ℎ [cm]
#̅ [mm]
niepewność złożona
niepewność liczona
metodą A
niepewność liczona
metodą A
niepewność liczona
metodą A
u(l) [cm]
[s]
ℎ [cm]
# [mm]
niepewność względna
niepewność liczona
metodą B
niepewność liczona
metodą B
niepewność liczona me-
todą B
100·u(l)/l
[s]
ℎ [cm]
# [mm]
niepewność złożona
niepewność złożona
niepewność złożona
[s]
ℎ [cm]
# [mm]
niepewność procentowa
niepewność procentowa
niepewność procentowa
100·u(T)/T
100·u(l)/l
100·u(d)/d
Wyniki pomiarów T, h, d i l
T =
h =
d =
l =
W typowych sytuacjach opisanych w poprzednim punkcie
a)
ℎ = 0, czyli ℎ =
ℎ
b)
# = 0, czyli # =
#
Ponadto
a)
= (
+
b)
* = ℎ + #
c)
* =
ℎ + +
# , ≅ ℎ
6
4.
Opracowanie danych pomiarowych dla g
Przyspieszenie ziemskie
. = 40
*
1m s
⁄ 3
niepewność złożona
. = . ∙ 4
*
* 5 + 42
5
6
m s
2
⁄ 7
standardowa niepewność procentowa
100 ·
.
.
Wynik pomiaru g
Wartość tablicowa przyśpieszenia ziemskiego
dla Krakowa
g=
9,8105 m/s
2
Uwaga: w obliczeniach nie wystarczy przyjąć
0 ≈ 3,14. W przypadku obliczeń wykonywanych w Excelu sko-
rzystaj z funkcji PI(). W innym przypadku przyjmij przybliżenie
0 ≈ 3.1416.
Wnioski
1.
Porównaj otrzymaną wartość przyśpieszenia ziemskiego z wartością tablicową. Czy wyznaczony przez
ciebie przedział zawiera tę wartość?
2.
Oszacuj wkład do niepewności pomiaru przyśpieszenia ziemskiego pochodzący od
a.
niepewności pomiaru okresu drgań wahadła
<.
∙=
>
b.
niepewności pomiaru długości wahadła
<.
= ?
?
>.
3.
Jakie wnioski odnośnie ewentualnej poprawy dokładności pomiaru przyśpieszenia ziemskiego tą me-
todą nasuwają się po analizie przeprowadzonej w punkcie 2?
4.
Oblicz różnicę pomiędzy okresem drgań harmonicznych wahadła w postaci kulki na nitce, a okresem
drgań harmonicznych wahadła matematycznego (do obliczeń użyj zmierzonych wartości
*, # i tabli-
cowej wartości
.)
Δ = 20
*
. 41 +
1
10 +
#
* , 5 − 20
*
. = 20
*
. ∙ @ 1 +
1
10 +
#
* , − 1A.
7
5.
Oblicz różnicę pomiędzy okresem drgań wahadła matematycznego dla amplitudy
θ
C
= 0,15rad ≈
8,5°, a okresem drgań harmonicznych wahadła matematycznego (do obliczeń użyj zmierzonej warto-
ści
* i tablicowej wartości .)
Δ ≅ 20
*
. +1 +
1
4 sin
θ
C
2 , − 20
*
. =
0
2
*
. ∙ sin
θ
C
2 .
6.
Jakie wnioski można wyciągnąć na podstawie analizy przeprowadzonej w punktach 4 i 5?
a.
czy zaniedbanie obu efektów, czyli użycie wzoru przybliżonego na okres drgań wahadła, po-
prawnego tylko w przypadku drgań harmonicznych wahadła matematycznego jest w naszym
przypadku dozwolone?
b.
który z obu efektów ma w naszym przypadku większy wpływ na wynik pomiaru wartości
przyśpieszenia ziemskiego?