1

Wydział

Nr zespołu

Imię i nazwisko

Punkty z przygotowania i
wykonania ćwiczenia

Kierunek

Ćw. nr 1

Tytuł ćwiczenia

Wyznaczanie wartości przyśpieszenia ziemskie-
go metodą wahadła matematycznego.

Punkty ze sprawozdania i
końcowego testu

Grupa

Data wykonania

Punktacja końcowa

1.

Wiadomości wstępne

W poniższej tabeli należy udzielić zwięzłej odpowiedzi na trzy pytania wskazane przez Prowadzącego
ćwiczenie. Treści pytań, odpowiadające podanym numerom, znajdują się na odwrocie arkusza.

Pytanie nr

Odpowiedź

……………..

……………..

……………..

2

Ćwiczenie 1. Wyznaczanie wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą wahadła ma-
tematycznego

1.

Co to jest przyśpieszenie? Jak definiujemy spadek swobodny?. Jak definiujemy przyśpieszenie
ziemskie?

2.

Jak wartość przyśpieszenie ziemskiego zależy od położenia na powierzchni Ziemi? Dlaczego tak
jest?

3.

Uzasadnij dlaczego przyśpieszenie ziemskie nie zależy od masy i kształtu spadającego ciała oraz
materiału, z jakiego zbudowane jest to ciało.

4.

Podaj definicję wahadła matematycznego. Jakie warunki muszą być spełnione, aby wahadło
złożone z kulki na nici było dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego?

5.

Narysuj siły działające na kulkę i nitkę w wahadle prostym po wychyleniu wahadła z położenia
równowagi. Opisz krótko ten rozkład sił.

Która z sił jest odpowiedzialna za ruch okresowy kuleczki?

6.

Kiedy powstaje ruch harmoniczny? Wymień cechy tego ruchu.

7.

W jakich warunkach ruch wahadła matematycznego można z dobrym przybliżeniem uważać za
ruch harmoniczny?

8.

Podaj wzór na okres małych drgań wahadła matematycznego i wylicz z niego przyśpieszenie
ziemskie. Na podstawie tego wzoru opisz krótko zastosowaną w ćwiczeniu metodę pomiaru.

3

2.

Dane pomiarowe (wyniki pomiarów bezpośrednich)

Okres drgań wahadła

Długość nici

Średnica kulki

L.p.

Czas t=10T [s]

L.p.

długość nici

h [cm]

L.p.

średnica kulki

d [mm]

1.

1.

1.

2.

2.

2.

3.

3.

3.

4.

4.

4.

5.

5.

5.

6.

6.

6.

7.

7.

7.

8.

8.

8.

9.

9.

9.

10.

10.

10.

Δt [s]

Δh [cm]

Δd [mm]

Poniższe uwagi i wskazówki dotyczą typowych sytuacji. Jeśli w naszym przypadku jest inaczej niż opisano, to
należy skonsultować się z osobą prowadzącą ćwiczenie.

Niepewność pomiaru okresu drgań wahadła

Zaleca się wykonać

= 10 pomiarów czasu 10 pełnych drgań wahadła. Na ogół wyniki pomiarów będą wy-

kazywały wyraźny rozrzut statystyczny. Uwzględnimy go licząc wkład do niepewności metodą A

=

∑

−

∙ − 1 .

Poza tym musimy uwzględnić wkład do niepewności pomiaru związany z dokładnością przyrządu pomiaro-

wego. Jako

Δ można przyjąć połowę najmniejszej działki stopera (zwykle ∙ 0,2s = 0,1s . Ten wkład do

niepewności wyznaczymy metodą B przy następujących założeniach:

a)

Δ jest połową szerokości przedziału granicznego.

b)

Rozkład gęstości prawdopodobieństwa na przedziale granicznym jest rozkładem prostokątnym.

Przy tych założeniach

=

√

.

4

Niepewność pomiaru długości nici

W przypadku liczby pomiarów mniejszej niż 5 lub jeśli liczba pomiarów wynosi co najmniej 5, ale pomiary
wykazują bardzo mały rozrzut statystyczny niepewność pomiaru wyznaczymy metodą B. Jako

Δℎ (połowa

szerokości przedziału granicznego) możemy przyjąć różnicę między skrajnymi zmierzonymi wartościami, ale
nie mniej niż 2 mm. Podczas liczenia niepewności metodą B zrobimy następujące założenia:

a)

Δℎ jest połową szerokości przedziału granicznego.

b)

Rozkład gęstości prawdopodobieństwa na przedziale granicznym jest rozkładem trójkątnym.

Przy tych założeniach

ℎ =

!

√"

.

Niepewność pomiaru średnicy kulki

Niepewność pomiaru średnicy kulki za pomocą śruby mikrometrycznej lub suwmiarki ma zaniedbywalny
wpływ na wynik końcowy pomiaru przyśpieszenia ziemskiego. Ponadto, na ogół pomiary nie wykazują roz-
rzutu statystycznego. Dlatego wystarczy wykonać 2 lub 3 pomiary. Jeśli wyniki są powtarzalne, to niepew-
ność pomiaru będzie związana jedynie z dokładnością przyrządu. Jako

Δ# (połowa szerokości przedziału gra-

nicznego) możemy wówczas przyjąć połowę najmniejszej działki przyrządu, np. w przypadku suwmiarki o

dokładności 0,05 mm,

Δ# = ∙ 0,05mm = 0,025mm. Niepewność pomiaru zostanie wyznaczona metodą B

przy następujących założeniach:

a)

Δ# jest połową szerokości przedziału granicznego

b)

rozkład gęstości prawdopodobieństwa na przedziale granicznym jest rozkładem trójkątnym.

Przy tych założeniach

# =

&

√"

.

5

3.

Opracowanie danych pomiarowych dla pomiarów T, h, d, i l

Okres drgań waha-

dła

Długość nici

Średnica kulki

Długość wahadła

Średnia wartość

okresu

Średnia długość nici

Średnia średnica kulki

l [cm]

[s]

ℎ [cm]

#̅ [mm]

niepewność złożona

niepewność liczona

metodą A

niepewność liczona

metodą A

niepewność liczona

metodą A

u(l) [cm]

[s]

ℎ [cm]

# [mm]

niepewność względna

niepewność liczona

metodą B

niepewność liczona

metodą B

niepewność liczona me-

todą B

100·u(l)/l

[s]

ℎ [cm]

# [mm]

niepewność złożona

niepewność złożona

niepewność złożona

[s]

ℎ [cm]

# [mm]

niepewność procentowa

niepewność procentowa

niepewność procentowa

100·u(T)/T

100·u(l)/l

100·u(d)/d

Wyniki pomiarów T, h, d i l

T =

h =

d =

l =

W typowych sytuacjach opisanych w poprzednim punkcie

a)

ℎ = 0, czyli ℎ =

ℎ

b)

# = 0, czyli # =

#

Ponadto

a)

= (

+

b)

* = ℎ + #

c)

* =

ℎ + +

# , ≅ ℎ

6

4.

Opracowanie danych pomiarowych dla g

Przyspieszenie ziemskie

. = 40

*

1m s

⁄ 3

niepewność złożona

. = . ∙ 4

*

* 5 + 42

5

6

m s

2

⁄ 7

standardowa niepewność procentowa

100 ·

.

.

Wynik pomiaru g

Wartość tablicowa przyśpieszenia ziemskiego

dla Krakowa

g=

9,8105 m/s

2

Uwaga: w obliczeniach nie wystarczy przyjąć

0 ≈ 3,14. W przypadku obliczeń wykonywanych w Excelu sko-

rzystaj z funkcji PI(). W innym przypadku przyjmij przybliżenie

0 ≈ 3.1416.

Wnioski

1.

Porównaj otrzymaną wartość przyśpieszenia ziemskiego z wartością tablicową. Czy wyznaczony przez
ciebie przedział zawiera tę wartość?

2.

Oszacuj wkład do niepewności pomiaru przyśpieszenia ziemskiego pochodzący od

a.

niepewności pomiaru okresu drgań wahadła

<.

∙=

>

b.

niepewności pomiaru długości wahadła

<.

= ?

?

>.

3.

Jakie wnioski odnośnie ewentualnej poprawy dokładności pomiaru przyśpieszenia ziemskiego tą me-
todą nasuwają się po analizie przeprowadzonej w punkcie 2?

4.

Oblicz różnicę pomiędzy okresem drgań harmonicznych wahadła w postaci kulki na nitce, a okresem
drgań harmonicznych wahadła matematycznego (do obliczeń użyj zmierzonych wartości

*, # i tabli-

cowej wartości

.)

Δ = 20

*

. 41 +

1

10 +

#

* , 5 − 20

*

. = 20

*

. ∙ @ 1 +

1

10 +

#

* , − 1A.

7

5.

Oblicz różnicę pomiędzy okresem drgań wahadła matematycznego dla amplitudy

θ

C

= 0,15rad ≈

8,5°, a okresem drgań harmonicznych wahadła matematycznego (do obliczeń użyj zmierzonej warto-
ści

* i tablicowej wartości .)

Δ ≅ 20

*

. +1 +

1

4 sin

θ

C

2 , − 20

*

. =

0

2

*

. ∙ sin

θ

C

2 .

6.

Jakie wnioski można wyciągnąć na podstawie analizy przeprowadzonej w punktach 4 i 5?

a.

czy zaniedbanie obu efektów, czyli użycie wzoru przybliżonego na okres drgań wahadła, po-
prawnego tylko w przypadku drgań harmonicznych wahadła matematycznego jest w naszym
przypadku dozwolone?

b.

który z obu efektów ma w naszym przypadku większy wpływ na wynik pomiaru wartości
przyśpieszenia ziemskiego?