Fizyka - Zadania - Ruch harmoniczny (drgający)

Poniżej znajdują się treści zadań związanych z wybranym tematem. Kliknij na odnośnik "więcej..." aby zobaczyć rozwiązanie zadania.
Uwaga! kolorem czerwonym zaznaczono zadania, których rozwiązania są dostępne dopiero po wykupieniu abonamentu. Jeśli nie masz w pełni aktywnego konta, kliknij tutaj.

01.	Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T=3s i amplitudzie A=10cm. W chwili początkowej znajduje się w położeniu równowagi. Jaka będzie odległość ciała od położenia równowagi po upływie 1/4 sekundy? więcej...
02.	Ile wynosi okres drgań punktu materialnego drgającego ruchem harmonicznym prostym, dla którego po czasie 1s wychylenie z położenia równowagi wynosi sqrt(2)^.A/2, gdzie A to amplituda? sqrt(2) oznacza pierwiastek z dwóch. więcej...
03.	Ile wynosi faza początkowa w ruchu harmonicznym, opisanym równaniem x=Asin(ωt+φ), przy założeniu, że w chwili t=0 wychylenie jest równe amplitudzie? więcej...
04.	Punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne o okresie T jest w chwili czasu t=0 w maksymalnej odległości od położenia równowagi. Po jakim czasie odległość ta zmaleje do połowy? więcej...
05.	Ciało wykonujące drgania harmoniczne o amplitudzie 5cm osiąga maksymalną prędkość 20cm/s. Jaką wartość ma maksymalne przyspieszenie? więcej...
06.	Ciało wykonuje drgania o okresie T=4s i amplitudzie A=0.2m. Oblicz wartości prędkości oraz przyspieszenia w położeniu maksymalnego wychylenia. więcej...
07.	Odważnik zawieszony na idealnej sprężynie wychylony o 4cm z położenia równowagi ma przyspieszenie 3m/s^2. Jakie przesunięcie względem położenia równowagi musi mieć ten odważnik, aby miał on przyspieszenie 6m/s^2? więcej...
08.	Maksymalna wartość energii kinetycznej ciała wykonującego drgania harmoniczne o amplitudzie A wynosi EKmax. Ile razy mniejsza będzie energia kinetyczna tego ciała w punkcie położonym w odległości x=A/2 od położenia równowagi? więcej...
09.	Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A i okresie T. Jak zmieni się maksymalna energia kinetyczna, jeżeli zwiększymy dwukrotnie okres drgań, a amplituda nie zmieni się? więcej...
10.	Jeżeli A jest amplitudą ruchu harmonicznego, to przy jakim wychyleniu energia potencjalna jest równa energii kinetycznej? więcej...
11.	Pod działaniem siły F=10N sprężyna wydłuża się o 0.1m. Na takiej sprężynie zawieszamy ciało o masie m=4kg. Ile będzie wynosić częstość kołowa, jeżeli ciało wprawimy w ruch drgający? więcej...
12.	Napisz równane opisujące ruch: a) wahadła matematycznego o długości l=0.5m, o amplitudzie A=0.1m, b) ciężarka o masie m=0.01kg umocowanego na sprężynce, wykonującego drgania w płaszczyźnie poziomej z amplitudą A=0.02m; współczynnik sprężystości sprężynki k=1N/m, c) małej kuleczki zawieszonej na długiej nitce przyczepionej do statywu wykonującej drgania harmoniczne o okresie T=0.2s i amplitudzie A=0.005m. więcej...
13.	Jakim wzorem będzie wyrażał się okres drgań wahadła matematycznego o długości l a) w windzie poruszającej się ze stałą prędkością, b) w windzie poruszającej się w górę ze stałym przyspieszeniem a, c) w windzie poruszającej się w dół ze stałym przyspieszeniem a, d) w windzie spadającej swobodnie? więcej...

Zadanie 1

Treść: Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T=3s i amplitudzie A=10cm. W chwili początkowej znajduje się w położeniu równowagi. Jaka będzie odległość ciała od położenia równowagi po upływie 1/4 sekundy?

Dane: T = 3 s A = 10 cm = 0.1 m t = 1/4 s

Szukane: x = ?

Wzory: 1. Ruch harmoniczny prosty:

Rysunek:

Rozwiązanie:
W chwili początkowej (t = 0) ciało znajdowało się w położeniu równowagi (czyli wychylenie x = 0). Przyjmujemy, że faza początkowa φ wynosi zero.
Spójrzmy na rysunek - odzwierciedla on dokładnie naszą sytuację. Ciało porusza się ruchem harmonicznym o amplitudzie A = 10 cm i okresie T = 3 s. Mamy znaleźć wychylenie x po upływie ćwierci sekundy. Na rysunku zaznaczyliśmy je czerwoną kropką. Widzimy, że wartość tego wychylenia wynosi 5. Ale my to spróbujemy wyliczyć (rysowanie dokładnego wykresu nie jest łatwą rzeczą, dlatego wyliczenia są dla nas jedyną odpowiedzią).

W ruchu harmonicznym prostym wychylenie definiujemy jako funkcję zależną od czasu:

Zauważ, że wszystkie wartości mamy już zdefiniowane, oprócz stałej ω. Stała ta zależy od okresu T i jest definiowana jako

Tak więc widzimy, że zadanie nie jest trudne, trzeba tylko podstawić wartości do wzoru:

Odległość ciała od położenia równowagi po upływie 1/4 sekundy wynosi 5 centymetrów.

Zadanie 2

Treść: Ile wynosi okres drgań punktu materialnego drgającego ruchem harmonicznym prostym, dla którego po czasie 1s wychylenie z położenia równowagi wynosi sqrt(2)^.A/2, gdzie A to amplituda? sqrt(2) oznacza pierwiastek z dwóch.

Dane: x = sqrt(2) ^. A / 2 t = 1 s

Szukane: T = ?

Wzory: 1. Wychylenie w ruchu harmonicznym prostym

Rozwiązanie:
W większości zadań będziemy przyjmować, że faza początkowa φ jest równa zeru, chyba że będzie napisane inaczej. Mamy znaleźć okres T drgań jakiegoś punktu materialnego. Korzystamy oczywiście ze wzoru na wychylenie w ruchu harmonicznym (drgającym) oraz uwzględniamy, że φ = 0:

A gdzie tu jest okres T? Oczywiście ukryty. ;)
Trzeba bowiem wiedzieć, że stałą ω wyrażamy jako:

Czyli reasumując, wychylenie jest równe:

Skorzystajmy, z tego, że

Przyrównujemy dwa powyższe wzory

Teraz przydadzą się nam wiadomości z trygonometrii. Otóż już od gimnazjum wiadomo, że:

Wykorzystujemy to do powyższego:

Zatem okres drgań punktu materialnego wynosi 8 sekund.

Zadanie 3

Treść: Ile wynosi faza początkowa w ruchu harmonicznym, opisanym równaniem x=Asin(ωt+φ), przy założeniu, że w chwili t=0 wychylenie jest równe amplitudzie?

Dane: x = A sin(ωt + φ) gdy t = 0, to x = A

Szukane: φ = ?

Wzory: 1. Wychylenie w ruchu harmonicznym:

Rozwiązanie:
Tym razem mamy znaleźć wartość fazy początkowej φ.
Będziemy oczywiście korzystać z równania na wychylenie w ruchu harmonicznym (drgającym):

Napiszmy ten wzór dla chwili początkowej (t = 0):

W chwili początkowej wychylenie x jest równe amplitudzie A. A co to jest amplituda? Oczywiście, że maksymalne wychylenie. Oznacza to, że sinφ musi przyjąć wartość 1. Wtedy będziemy mieli:

czyli to, co mamy w zadaniu.
Zatem:

Z drugiej strony - z trygonometrii wiemy, że:

Stąd wnioskujemy, że:

Faza początkowa w tym ruchu wynosi 90 stopni.

Zadanie 4

Treść: Punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne o okresie T jest w chwili czasu t=0 w maksymalnej odległości od położenia równowagi. Po jakim czasie odległość ta zmaleje do połowy?

Dane: T gdy t = 0, to x = A

Szukane: t = ?

Wzory: 1. Wychylenie w ruchu harmonicznym prostym: 2. Wzory redukcyjne

Rozwiązanie:
Najpierw zajmiemy się chwilą początkową t = 0. Wtedy równanie na wychylenie przyjmuje postać

Wiemy jeszcze, że w chwili t = 0 punkt znajdował się w maksymalnej odległości od położenia równowagi, czyli punkt osiągnął amplitudę A. Zatem:

Oznacza to, że

Jeżeli coś jest niejasne, proponuję zajrzeć do Zadania 3 z tego działu.

Teraz poszukamy wartość chwili t, w którym odległość x zmaleje do połowy wartości z chwili t = 0, czyli będzie wynosić pół amplitudy.

Stąd otrzymamy, że

Podstawiamy wyliczoną wcześniej wartość fazy początkowej φ

I znów potrzebna nam jest trygonometria. Dodając kąt φ do wartości ωt wychodzimy poza pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Dlatego warto skorzystać z tzw. wzorów redukcyjnych, które umożliwiają nam powrót do pierwszej ćwiartki. Jeden ze wzorów mówi, że:

Oczywiście 90^o to to samo co π/2, mam nadzieję, że wiesz to z matematyki. Stosujemy więc powyższe i otrzymujemy:

Jesteśmy w pierwszej ćwiartce, a więc:

Teraz stałą ω wyrazimy poprzez wartość z okresem T, który mamy dany

I znajdujemy szukany czas t:

Odległość zmaleje do połowy wartości amplitudy po czasie równym T/6.

Zadanie 5

Treść: Ciało wykonujące drgania harmoniczne o amplitudzie 5cm osiąga maksymalną prędkość 20cm/s. Jaką wartość ma maksymalne przyspieszenie?

Dane: A = 5 cm vMAX = 20 cm/s

Szukane: aMAX = ?

Wzory: 1. Prędkość maksymalna: 2. Przyspieszenie maksymalne:

Rozwiązanie:
Spójrzmy na wzór potrzebny do wyliczenie przyspieszenia maksymalnego w ruchu harmonicznym:

Znak minus oczywiście nie oznacza, że wartość przyspieszenia jest ujemna, tylko znak ów mówi, że przyspieszenie ma przeciwny zwrot niż zwrot przemieszczenia x. Jeżeli chcemy wyliczyć wartość przyspieszenia, to wystarczy nam wzór:

No cóż, nie mamy jednak wartości stałej ω. Ale możemy ją znaleźć, korzystając z danej wartości prędkości maksymalnej, wyrażanej wzorem:

Stąd zauważamy, że

Tak więc przyspieszenie maksymalne wynosi:

Sprawdzimy jednostkę (dla wygody nie zamieniliśmy centymetrów na metry - ale w takich wypadkach zawsze trzeba uważać)

Maksymalne przyspieszenie ma wartość 80 cm/s².

Zadanie 6

Treść: Ciało wykonuje drgania o okresie T=4s i amplitudzie A=0.2m. Oblicz wartości prędkości oraz przyspieszenia w położeniu maksymalnego wychylenia.

Dane: T = 4 s A = 0.2 m

Szukane: v = ? a = ?

Wzory: 1. Prędkość 2. Przyspieszenie

Rozwiązanie:
Przyjmujemy, że faza początkowa jest równa zeru (jej wartość i tak nie zmieni nam obliczeń, więc ułatwimy sobie zapis).
Na początku trzeba przypomnieć sobie teorię. Otóż w punkcie maksymalnego wychylenia (x = A) prędkość jest zawsze równa zeru, gdyż zmienia ona kierunek. Przyspieszenie natomiast jest wtedy przyspieszeniem maksymalnym i oblicza się je ze wzoru:

Znak minus przy przyspieszeniu nie oznacza, że przyspieszenie jest ujemne, tylko to, że przyspieszenie jest zwrócone przeciwnie do przesunięcia. Jeżeli liczymy wartość przyspieszenia, znak minus pomijamy

Pamiętajmy, że

Stąd:

W punkcie maksymalnego wychylenia prędkość jest zawsze równa zeru, natomiast przyspieszenie jest maksymalne i w naszym przypadku wynosi ono około 0.49 m/s².

Zadanie 7

Treść: Odważnik zawieszony na idealnej sprężynie wychylony o 4cm z położenia równowagi ma przyspieszenie 3m/s^2. Jakie przesunięcie względem położenia równowagi musi mieć ten odważnik, aby miał on przyspieszenie 6m/s^2?

Dane: x1 = 4 cm = 0.04 m a1 = 3 m/s^2 a2 = 6 m/s^2

Szukane: x2 = ?

Wzory: 1. Wychylenie: 2. Przyspieszenie:

Rozwiązanie:
Przyjmujemy, że faza początkowa jest równa zeru (jej wartość i tak nie zmieni nam obliczeń, więc ułatwimy sobie zapis).
Spójrzmy na nasze dwa wzory: na przesunięcie oraz na przyspieszenie w ruchu harmonicznym (drgającym). Można zauważyć bowiem, że

Do obliczania wartości przyspieszenia znak minus pomijamy. Dlaczego? Ponieważ ma on tylko charakter reprezentacyjny i oznacza że przyspieszenie ma przeciwny zwrot do przesunięcia.

Chcemy znaleźć wychylenie przy przyspieszeniu a₂

Zauważ, że stała ω jest identyczna dla jednego układu sprężyny i odważnika, a do jej wyliczenia posłużymy się pozostałymi danymi wartościami

Czyli szukana wartość wychylenia wynosi:

Wychylony z położenia równowagi o 8 cm odważnik posiada przyspieszenia 6 m/s².

Zadanie 8

Treść: Maksymalna wartość energii kinetycznej ciała wykonującego drgania harmoniczne o amplitudzie A wynosi EKmax. Ile razy mniejsza będzie energia kinetyczna tego ciała w punkcie położonym w odległości x=A/2 od położenia równowagi?

Dane: EKmax A x = A/2

Szukane: EK' = ?

Wzory: 1. Energia mechaniczna: 2. Maksymalna energia kinetyczna: 3. Energia potencjalna:

Rozwiązanie:
Znajdujemy się najpierw w położeniu równowagi x = 0. W tym położeniu energia kinetyczna ma zawsze wartość maksymalną, a energia potencjalna jest równa zeru, zatem całkowita energia mechaniczna wynosi:

gdzie k jest stałą sprężystości, która nie będzie nam wcale potrzebna.

Przenosimy się teraz do rozpatrywanego punktu x = A/2. Z zasady zachowania energii wiemy, że energia mechaniczna

Przez prim (') oznaczamy wartości energii potencjalnej i kinetycznej w punkcie x = A/2.
Stąd szukaną energię kinetyczną możemy wyrazić jako:

gdzie energię potencjalną zapiszemy:

Kontynuujemy nasze rachunki:

A ponieważ mamy (.1.), to:

W punkcie oddalonym o połowę amplitudy od położenia równowagi wartość energii kinetycznej jest 3/4 mniejsza od wartości maksymalnej energii kinetycznej ciała.

Zadanie 9

Treść: Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A i okresie T. Jak zmieni się maksymalna energia kinetyczna, jeżeli zwiększymy dwukrotnie okres drgań, a amplituda nie zmieni się?

Dane: A = A' 2T = T'

Szukane: EKmax / EKmax' = ?

Wzory: 1. Energia kinetyczna maksymalna: 2. Wzory na stałą ω (częstość kołową):

Rozwiązanie:
Na początku mieliśmy drgania o amplitudzie A i okresie T. Wskutek tego uzyskaliśmy pewną wartość maksymalnej energii kinetycznej, którą wyrażamy wzorem:

za chwilę pomajstrujemy w tym wzorze, bo zmieni się nam okres T. Ale zaraz, gdzie tu jest ten okres? No właśnie - trzeba go wyprowadzić. :]
Spójrzmy na dwa wzory na częstość kołową ω. Nic nie stoi na przeszkodzie, by je porównać:

Podnieśmy obie strony do kwadratu i wyprowadźmy wzór na stałą k...

...który będziemy mogli podstawić do wzoru na maksymalną energię kinetyczną:

Tak więc mamy potrzebny nam wzór na energię kinetyczną maksymalną, uwzględniający okres i amplitudę.

Teraz dokonujemy zmian:

Ponieważ amplituda się nie zmienia, a T' = 2T, to:

A teraz wykorzystując fakt (.1.), otrzymamy szukany stosunek.

Po zwiększeniu dwukrotnie okresu, maksymalna energia kinetyczna zmaleje czterokrotnie.

Zadanie 10

Treść: Jeżeli A jest amplitudą ruchu harmonicznego, to przy jakim wychyleniu energia potencjalna jest równa energii kinetycznej?

Dane: EP = EK A

Szukane: x = ?

Wzory: 1. Energia kinetyczna: 2. Energia potencjalna: 3. Energia mechaniczna:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Na rysunku przedstawiłem wykres zależności energii od wychylenia względem położenia równowagi. Szukamy wartości x, w której czerwony i zielony wykres przecinają się.
Niebieskim kolorem zaznaczono energię mechaniczną, która zawsze jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej i jest równa:

Ponieważ

to możemy zapisać, że

A skoro...

...to:

Stąd znajdujemy wartość wychylenia x:

Punkt, w którym energia kinetyczna równa jest energii potencjalnej, jest oddalony od położenia równowagi o A/sqrt(2), gdzie sqrt(2) oznacza pierwiastek z 2.

Zadanie 11

Treść: Pod działaniem siły F=10N sprężyna wydłuża się o 0.1m. Na takiej sprężynie zawieszamy ciało o masie m=4kg. Ile będzie wynosić częstość kołowa, jeżeli ciało wprawimy w ruch drgający?

Dane: F = 10 N x = 0.1 m m = 4 kg

Szukane: ω = ?

Wzory: 1. Siła przywracająca równowagę układowi: 2. Częstość kołowa:

Rozwiązanie:
Szukamy częstości kołowej ω drgań ciała zawieszonego na sprężynie. wyrażamy ją między innymi wzorem

Aby wyliczyć konkretną wartość ω, potrzebna nam będzie wartość stałej sprężystości k. Wiemy, że pod działaniem siły F sprężyna wydłuża się o x. To zjawisko opisuje nam wzór:

Znak minus ma charakter czysto teoretyczny. Oznacza on, że zwrot siły F jest przeciwny zwrotowi przesunięcia x. My potrzebujemy tylko wartość siły, więc możemy zapisać, że:

A stąd współczynnik sprężystości ma wartość

Teraz już mamy wszystko, by wyliczyć szukaną częstość kołową:

Sprawdzimy jednostkę (jednostką częstości kołowej jest odwrotność sekundy):

Częstość kołowa drgań sprężyny wynosi 5 s^-1.

Zadanie 12

Treść: Napisz równane opisujące ruch: a) wahadła matematycznego o długości l=0.5m, o amplitudzie A=0.1m, b) ciężarka o masie m=0.01kg umocowanego na sprężynce, wykonującego drgania w płaszczyźnie poziomej z amplitudą A=0.02m; współczynnik sprężystości sprężynki k=1N/m, c) małej kuleczki zawieszonej na długiej nitce przyczepionej do statywu wykonującej drgania harmoniczne o okresie T=0.2s i amplitudzie A=0.005m.

Dane: dla a) A = 0.1 m l = 0.5 m dla b) A = 0.02 m k = 1 N/m m = 0.01 kg dla c) T = 0.2 s A = 0.005 m

Szukane: x(t) = ?

Wzory: 1. Wahadło matematyczne 2. Częstość kołowa: 3. Wychylenie: 4. Częstość kołowa (prędkość kątowa):

Rozwiązanie:
Potrzebujemy w obu przypadkach znaleźć wzór opisujący ruch ciała drgającego. Ruch ten wyraża wychylenie x, które jest zależne od upływającego czasu t.

Pozostałe wartości:
A - amplituda,
ω - częstość kołowa,
φ - faza początkowa,
są stałe i to właśnie je znajdziemy, by wyrazić nasze równanie.
W obu przypadkach faza początkowa nie odgrywa żadnej roli, więc uznamy że jest równa zeru. Wobec tego:

Przypadek a)
Mamy wahadło matematyczne, czyli nić o długości l na której zawieszony jest ciężarek wykonujący drgania o amplitudzie A. Aby uzupełnić nasze równania potrzebujemy znaleźć ω. Wiemy, że:

Z drugiej strony stałą k w wahadle matematycznym wyrażamy jako:

Stąd łącząc oba wzory:

gdzie g to przyspieszenie ziemskie (9.8 m/s²).
Zatem nasze równanie przyjmie ostatecznie postać:

Przypadek b)
A teraz sprężyna. Tutaj korzystamy z wzoru

Wtedy równanie ruchu:

Przypadek c)
Znów mamy wahadło matematyczne. Tym razem mamy podany okres, ale przecież:

Zapisanie równania ruchu nie powinno sprawić trudności:

Zauważ, że w wahadle matematycznym równanie ruchu nie zależy od masy ciężarka.

Zadanie 13

Treść: Jakim wzorem będzie wyrażał się okres drgań wahadła matematycznego o długości l a) w windzie poruszającej się ze stałą prędkością, b) w windzie poruszającej się w górę ze stałym przyspieszeniem a, c) w windzie poruszającej się w dół ze stałym przyspieszeniem a, d) w windzie spadającej swobodnie?

Dane: l

Szukane: T = ?

Wzory: 1. Okres drgań wahadła matematycznego: 2. Siła bezwładności: 3. II zasada dynamiki Newtona:

Rysunek:

Rozwiązanie:
a)
Winda porusza się ze stałą prędkością. Oznacza to, że nie posiada ona przyspieszenia, czyli a = 0. Wzór na okres zależy tylko od przyspieszenia (długość nici jest dana i wynosi zawsze l), a ponieważ ono się nie zmienia, to okres w tym przypadku wynosi

b)
Winda porusza się ze stałym przyspieszeniem a. Zakładamy, że przyspieszenie to jest mniejsze od przyspieszenia ziemskiego g. Jak to bywa w układach nieinercjalnych (nieinercjalny - ponieważ kulka znajduje się w poruszającej się windzie) pojawia się siła bezwładności, skierowana przeciwnie do zwrotu przyspieszenia (patrz rysunek). Wtedy wypadkowa siła wynosi

Wzór na okres drgań wahadła zapiszemy jako

gdzie a_W oznacza przyspieszenie wypadkowe.
Zawsze pisaliśmy w tym wzorze wartość g bo uznawaliśmy, że na wahadło nie działa żadna inna siła poza siłą ciężkości. Teraz jednak jak widzimy dzieje się inaczej.
Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że przyspieszenie wypadkowe to iloraz siły wypadkowej przez masę

Stąd nasz okres wynosi:

c)
Rozumowanie jest podobne jak w przypadku b).
Teraz przyspieszenie skierowane jest w drugą stronę, stąd siła wypadkowa będzie równa

Stąd okres wynosi:

d)
A to jest przypadek czysto teoretyczny. Winda się urwała i spada swobodnie, czyli z przyspieszeniem ziemskim g. Czyli uwaga - siła ciężkości równoważy siłę wypadkową!

Stąd teraz okres wynosi

Hmmm... matematycy teraz na mnie nakrzyczą. Jak to?! Przecież nie można dzielić przez zero! I to jest oczywiście prawda. To zero to wartość umowna. Wartość infinityzalna, czyli nieskończenie mała. Jak długość sznurka podzielimy przez wartość nieskończenie małą, otrzymamy wartość nieskończenie dużą. A pierwiastek z nieskończoności to oczywiście nieskończoność, nawet jak ją pomnożymy przez 2π. Stąd trzeba napisać, że

---