Egzamin z matematyki (I termin) WPiE 4.02.2009

ZADANIA - ZESTAW 1

Zad.1. Funkcja
dana jest wzorem

a. Naszkicuj wykresy funkcji składowych f oraz g

b. Oblicz
oraz

c. Wyznacz
dziedzinę funkcji h

Zad.2. Niech
,

a. Wyznacz granice na końcach dziedzin funkcji f oraz g i wyjaśnij związek tych granic z ewentualnymi asymptotami funkcji f oraz g.

b. Oblicz granicę ciągu
opisując sposób postępowania (punkty kontrolne).

Zad.3. Dana jest funkcja

a. Opisz sposób badania monotoniczności funkcji różniczkowalnej i wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f,

b. Opisz sposoby wyznaczania punktów, w których mogą istnieć ekstrema lokalne funkcji oraz sposoby weryfikowania czy istnieją faktycznie i zastosuj do wyznaczenia ewentualnych ekstremów funkcji f.

Zad.4. Niech

a. Oblicz, korzystając z definicji
, a następnie sprawdź ze wzoru dla funkcji f

b. Oblicz pochodną

Zad.5. Dana jest funkcja
,

a. Wyznacz
(dziedzinę funkcji). Oblicz
.

b. Napisz równanie stycznej do funkcji f w punkcie
.

c. Jaki kąt tworzy ta styczna z osią OX ?

ZADANIA - ZESTAW 2

Zad.1. Funkcja
dana jest wzorem

a. Naszkicuj wykresy funkcji składowych f oraz g

b. Oblicz
oraz

c. Wyznacz
dziedzinę funkcji h

Zad.2. Niech
,

a. Wyznacz granice na końcach dziedzin funkcji f oraz g i wyjaśnij związek tych granic z ewentualnymi asymptotami funkcji f oraz g.

b. Oblicz granicę ciągu
opisując sposób postępowania (punkty kontrolne).

Zad.3. Dana jest funkcja

a. Opisz sposób badania monotoniczności funkcji różniczkowalnej i wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f,

b. Opisz sposoby wyznaczania punktów, w których mogą istnieć ekstrema lokalne funkcji oraz sposoby weryfikowania czy istnieją faktycznie i zastosuj do wyznaczenia ewentualnych ekstremów funkcji f.

Zad.4. Niech

a. Oblicz, korzystając z definicji
, a następnie sprawdź ze wzoru dla funkcji f

b. Oblicz pochodną

Zad.5. Dana jest funkcja

a. Wyznacz
(dziedzinę funkcji).

b. Znajdź o ile istnieją wszystkie możliwe asymptoty funkcji f

c. Korzystając tylko z wyników podpunktów a i b naszkicuj hipotetyczne wykresy funkcji f.

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Zad.1. Co to jest funkcja odwrotna do danej, sposoby wyznaczania
(przynajmniej trzy), kiedy
nie istnieje. Znajdź dowolną metodą
gdy

Zad 2a. f cg w

b. f niecg w

c.
znajdź wartość a taką, aby funkcja h była ciągła w zerze

Zad.3. Twierdzenie o trzech ciągach

a. pełna wypowiedź

b. zapis skrótowy

c. dowolny przykład zastosowania

Zad.4a. Wymień poznane twierdzenia o wartości średniej (przynajmniej trzy).

b. Omów szerzej jedno z nich (wypowiedź, interpretacja, zastosowanie).

Zad. 5a. Podaj ogólną postać równania elipsy i przynajmniej trzy postacie równania hiperboli.

b. Zilustruj bardzo prostymi przykładami

c. Okrąg jest szczególnym przypadkiem …..….. , gdyż