Badanie przebiegu zmienności funkcji obejmuje trzy etapy:

 I. Analiza ogólnych właściwości funkcji

     1. Wyznaczenie dziedziny funkcji

     2. Wyznaczenie granicy funkcji na końcach przedziałów określoności

     3. Wyznaczenie asymptot wykresu funkcji (należy pamiętać, że nie zawsze asymptoty istnieją)

     4. Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych

     5. Określenie szczególnych własności funkcji takich jak: parzystość, nieparzystość, okresowość.

 

II. Analiza pierwszej pochodnej

     1. Obliczenie pierwszej pochodnej funkcji

     2. Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej pochodnej i przedziałów monotoniczności (przedziały, gdzie funkcja jest dodatnia i ujemna)

     3. Wyznaczenie ekstremum funkcji

 III. Analiza drugiej pochodnej

     1.Obliczenie drugiej pochodnej

     2. Wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej i przedziałów wypukłości i wklęsłości (przedziały, gdzie funkcja jest dodatnia i ujemna)

     3.Wyznaczenie punktów przegięcia

     4.Sporządzenie wykresu funkcji

Ekstremum funkcji

 
 Funkcja f(x) ma w punkcie
 maksimum, jeżeli istnieje sąsiedztwo
 punktu
 takie, że dla każdego
 spełniona jest nierówność:

 Funkcja f(x) ma w punkcie
 minimum, jeżeli istnieje sąsiedztwo
 punktu
 takie, że dla każdego
 spełniona jest nierówność:

 

Maksimum i minimum funkcji określamy wspólną nazwą: ekstremum funkcji.

 Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.

 Jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie
 ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to:

 Warunki wystarczające istnienia ekstremum funkcji.

Pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

 Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu
 punktu
  i jej pochodna f' spełnia następujące warunki:

to funkcja f(x) osiąga w punkcie
maksimum

 

 

 Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu
 punktu
  i jej pochodna f' spełnia następujące warunki:

to funkcja f(x) osiąga w punkcie
minimum

 

 

Drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

 

Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym  otoczeniu
 punktu
 i jej druga pochodna f''' jest ciągła w tym otoczeniu oraz
, to w punkcie
 funkcja f(x) ma maksimum.

 Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym  otoczeniu
 punktu
 i jej druga pochodna f''' jest ciągła w tym otoczeniu oraz
, to w punkcie
 funkcja f(x) ma minimum.

Wklęsłość i wypukłość funkcji. Punkt przegięcia wykresu funkcji.

 Funkcję y = f(x) nazywamy wklęsłą w przedziale (a ; b), gdy jej wykres leży pod styczną do niej w punkcie
,

dla każdego
.

Jeżeli
 (funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a ; b)) to krzywa y = f(x) jest wklęsła w przedziale (a ; b).

 Funkcję y = f(x) nazywamy wypukłą w przedziale (a ; b), gdy jej wykres leży nad styczną

niej w punkcie
,

dla każdego
.

Jeżeli
 (funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a ; b)) to krzywa y = f(x) jest wypukła w przedziale (a ; b).

 Punkt
 nazywamy punktem przegięcia krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje takie
, że krzywa jest wklęsła w przedziale
 i wypukła w przedziale

 

lub odwrotnie, to znaczy, że krzywa jest wklęsła w przedziale
  i wypukła w przedziale

 

 

Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

Jeżeli punkt
 jest punktem przegięcia krzywej  y = f (x) oraz istnieje
 to

 Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja y = f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu
 i
 oraz:

Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą lewostronną krzywej o równaniu y = f (x), wtedy i tylko wtedy gdy:

 

 Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą prawostronną krzywej o równaniu y = f (x), wtedy i tylko wtedy gdy:

 

Twierdzenie

Jeśli dana funkcja
jest

• ciągła w przedziale [a,b],

• różniczkowalna w przedziale (a,b),

to istnieje taki punkt
, że:

.

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

Interpretacja geometryczna

Geometrycznie twierdzenie Lagrange'a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu
do punktu
, istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami
i
.

Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie
wynosi f'(c). Na mocy twierdzenia Lagrange'a jest on równy:

.

Wartość średnia

Twierdzenie Lagrange'a zapisane w postaci

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów b i a wyraża się przez przyrost wartości zmiennej i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między a i b - stąd właśnie nazwa twierdzenie.

Funkcje parzyste

• wartość bezwzględna
  ,

• funkcja potęgowa o parzystym wykładniku,
  ,

• funkcja trygonometryczna
  ,

• funkcja hiperboliczna
  ,

• wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np.
  ).

Funkcje nieparzyste

• funkcja liniowa
  (proporcjonalność prosta),

• funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku:
  ,

• funkcje trygonometryczne
  i
  ,

• funkcja hiperboliczna
  

• wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np.
  )

3

---