termodynamika Wzory do teorii z wymiany ciepla dla USM, Wzory do teorii z podstaw termodynamiki


Wzory do teorii z wymiany ciepła

Wprowadzenie

Strumień ciepła (natężenie przepływu ciepła lub moc ciepła):

0x01 graphic
[J/s] (1)

Strumień ciepła dla przypadku ustalonego (stosunek ciepła Q do czasu τ trwania wymiany tej ilości ciepła):

0x01 graphic
[J/s] (2)

Gęstość strumienia ciepła:

0x01 graphic
[W/m2] (3)

Gęstość strumienia ciepła dla przypadku ustalonego (stosunek strumienia ciepła

0x01 graphic
do pola A powierzchni izotermicznej, przez którą przepływa ten strumień):

a) powierzchniowa 0x01 graphic
[W/m2] (4)

b) objętościowa 0x01 graphic
[W/m3] (5)

c) liniowa 0x01 graphic
[W/m] (6)

Przewodzenie

Prawo Bio-Fouriera:

„Wektor gęstości strumienia ciepła w przewodnictwie danego punktu

ciała równomiernie nagrzanego, w danym momencie czasu - jest wprost

proporcjonalny do wektora gradientu temperatury”

W postaci matematycznej prawo to można zapisać w następującej postaci:

0x01 graphic
[W/m2] (7)

gdzie: 0x01 graphic

Współczynnik proporcjonalności λ w W/mK zwany współczynnikiem przewodnictwa zależy od temperatury i jest podawany w literaturze dla określonego zakresu temperatur względnie ściśle określonej temperatury.

Wartość współczynnika przewodnictwa λ waha się w granicach:

- dla gazów od 510-3 do 0,5 W/mK i wzrasta z temperaturą (od ciśnienia

praktycznie nie zależy w zakresie 0,3 do 2000 bar),

- dla cieczy od 810-3 do 0,6 W/mK i z reguły zmniejsza się ze wzrostem

temperatury (nie zależy od ciśnienia),

- dla metali od 7 do 360 W/mK i powoli zmniejsza się ze wzrostem temperatury

Zwykle przyjmuje się liniową zależność współczynnika przewodnictwa

cieplnego od temperatury w postaci: λ = a + b T, gdzie a i b - stałe

właściwe dla danego materiału. W niskich temperaturach należy w tej

zależności uwzględnić człon nieliniowy, dodając wyrażenie c T2.

Ustalone przewodzenie i przenikanie ciepła przez ściankę płaską

Założenia:

1. Ściana płaska posiada grubość δ znacznie mniejszą od wymiarów pola

jej powierzchni A.

2. Ściana jest wykonana z materiału o współczynniku przewodzenia ciepła λ.

3. Temperatura powierzchni ścianki z lewej strony (rys.) równa Ts1 jest wyższa

od temperatury powierzchni ścianki z prawej strony Ts2, czyli Ts1>Ts2 .

4. Temperatura ośrodka z lewej strony ścianki równa jest T1, zaś z prawej

strony ścianki T2.

5. Powierzchnie izotermiczne są równoległe do powierzchni ścianki.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
δ δ1 δ2

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
T1 α1 λ1 λ2

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
T1 α1

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Ts1 Ts1

0x08 graphic
0x08 graphic
Ts2 Ts3

0x08 graphic
T2

α2

0x08 graphic
T2

α2

0x08 graphic
0x08 graphic
x x

Rys.1. Ścianka pojedyncza o grubości δ Rys.2. Ścianka podwójna o grubościach

i współczynniku przewodzenia λ δ1 i δ2 i współczynnikach przewodzenia

λ2<λ1.

Gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę płaską jednowarstwową

przy λ=const (szczególna postać równania Bio-Fouriera):

0x01 graphic
[W/m2] (8)

gdzie: α1 i α2 - współczynnik przejmowania i oddawania ciepła

[W/m2K]

0x01 graphic
(9)

gdzie: 0x01 graphic
- współczynnik przenikania ciepła w J/m2hK

Opór przewodzenia ciepła ścianki płaskiej wielowarstwowej (rys.2) składającej

się z n warstw różnych materiałów prostopadłych do strumienia ciepła o grubościach δi oraz współczynnikach przewodzenia λi jest sumą oporów przewodzenia ciepła poszczególnych warstw.

W takim przypadku do wzoru (9) należy wstawić następujące wyrażenie na λz:

0x01 graphic
(10)

gdzie: r - opór przewodzenia ciepła

Ustalone przewodzenie i przenikanie ciepła przez ściankę walcową

Założenia:

1. Ścianka walcowa posiada długość l, która jest znacznie większa od średnicy.

2. Wewnętrzna powierzchnia o promieniu rw posiada temperaturę Tsw.

3. Zewnętrzna powierzchnia o promieniu rz posiada temperaturę Tsz.

4. Temperatura ośrodka na zewnątrz ścianki walcowej wynosi Tz.

5. Temperatura ośrodka wewnątrz ścianki walcowej wynosi Tw.

6. Rozważamy gęstość strumienia ciepła przewodzonego i przenikającego przez

ściankę walcową na jednostkę długości ścianki (gęstość liniowa).

Liniowa gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę walcową jednowarstwową można wyrazić wzorem:

0x01 graphic
(11)

Liniowa gęstość strumienia ciepła przenikającego przez ściankę walcową

wielowarstwową między ośrodkami o temperaturach Tw i Tz może być wyznaczona z następującej zależności:

0x01 graphic
(12)

gdzie: 0x01 graphic

Unoszenie (przejmowanie) ciepła

Ilość ciepła wymienianego na drodze unoszenia (przejmowania)

można określić przy pomocy empirycznego związku podanego przez Newtona:

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
(13)

gdzie: Ts - temperatura powierzchni ścianki,

Tp - temperatura płynu

α - współczynnik przejmowania lub oddawania ciepła

Współczynnik α nie jest stały dla danego materiału, ale zależy m.in. od

charakterystyki systemu, geometrii ciała stałego, własności cieczy i parametrów

tej cieczy a także od różnicy temperatur.

Liczby podobieństwa mechanicznego:

a) liczba Froude'a 0x01 graphic
,

b) liczba Hoodsona (równoczesności) 0x01 graphic
,

c) liczba Eulera 0x01 graphic
,

d) liczba Reynoldsa 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
.

Jako wtórną od liczby Froude'a używa się liczby Galileusza:

Ga = Fr Re2 = 0x01 graphic

jako wtórną od liczby Galileusza używa się liczby Grashoffa:

Gr = Ga β ΔT = 0x01 graphic

gdzie: β - współczynnik rozszerzalności objętościowej,

ΔT - różnica temperatur.

Liczby podobieństwa cieplnego:

a) liczba Fouriera - 0x01 graphic
,

b) liczba Pecleta - 0x01 graphic
,

c) liczba Nusselta - 0x01 graphic
,

d) liczba Prandtla - 0x01 graphic

Zasada podobieństwa:

Rozpatrywane zjawisko będzie pod względem geometrycznym, kinematycznym, dynamicznym i cieplnym podobne do zjawiska modelowego, jeżeli liczby Eu, Fr, Re, Pe, Nu i Fo będą miały dla obu

rozpatrywanych zjawisk te same wartości.

Promieniowanie cieplne

Emisyjność:

e = Q/Fτ [kJ/m2h] (14)

Prawo Kirchhoffa:

e/A = f(T) (15)

gdzie: A - absorpcyjność

A = ε = σ/σ0 = e/e0 (16)

gdzie: σ - współczynnik promieniowania ciała szarego,

σ0 - współczynnik promieniowania ciała doskonale czarnego.

Prawo Stefana-Boltzmanna:

e0 = σ0 T4 [kJ/m2h] (17)

gdzie: σ0 = 5,73 ⋅10-12 W/cm2K4 = 5,73 ⋅10-8 W/m2K4 = 2,062⋅10-4 J/m2hK4 .

Rzeczywiste ciała nie są ciałami doskonale czarnymi i dla nich prawo

Stefana - Boltzmana tj. natężenie promieniowania źródła ma postać :

e = ε e0 = ε σ0 T4 [ kJ/m2h] (18)

gdzie: ε > 0 oraz ε < ε0=1 - stopień czarności ciała doskonale szarego

Stosunek emisyjności (zdolności wypromieniowania energii cieplne) do jego zdolności pochłaniania (stopnia czarności) nie zależy od fizycznych własności danego ciała i dla wszystkich ciał jest równy gęstości strumienia energii cieplnej wypromieniowanej przez ciało doskonale czarne przy tej samej temperaturze”.

Matematycznie można to zapisać w następującej postaci:

0x01 graphic
(19)

Gęstość strumienia energii cieplnej przekazywanej na drodze promieniowania od powierzchni 1 do powierzchni 2 (nieskończone powierzchnie równoległe)

0x01 graphic
(20)

gdzie: 0x01 graphic
- zredukowany współczynnik stopnia czarności

układu.

q1-2 = εz σ0 ( T14 - T24 ) ψ1-2 (21)

gdzie: ψ1-2 - współczynnik kątowy opromieniowania między powierzchnią promieniującą a opromieniowywaną .W tym współczynniku jest ukryta odległość między oboma ciałami.

Gęstość strumienia energii cieplnej przy istnieniu ekranu pomiędzy powierzchniami:

0x01 graphic
. (22)

0x08 graphic
gdzie: 0x01 graphic

Temperatura ekranu:

0x01 graphic
(23)

0x01 graphic



Wyszukiwarka