Wzory do teorii z wymiany ciepła

Wprowadzenie

Strumień ciepła (natężenie przepływu ciepła lub moc ciepła):

[J/s] (1)

Strumień ciepła dla przypadku ustalonego (stosunek ciepła Q do czasu τ trwania wymiany tej ilości ciepła):

[J/s] (2)

Gęstość strumienia ciepła:

[W/m²] (3)

Gęstość strumienia ciepła dla przypadku ustalonego (stosunek strumienia ciepła

do pola A powierzchni izotermicznej, przez którą przepływa ten strumień):

a) powierzchniowa
[W/m²] (4)

b) objętościowa
[W/m³] (5)

c) liniowa
[W/m] (6)

Przewodzenie

Prawo Bio-Fouriera:

„Wektor gęstości strumienia ciepła w przewodnictwie danego punktu

ciała równomiernie nagrzanego, w danym momencie czasu - jest wprost

proporcjonalny do wektora gradientu temperatury”

W postaci matematycznej prawo to można zapisać w następującej postaci:

[W/m²] (7)

gdzie:

Współczynnik proporcjonalności λ w W/mK zwany współczynnikiem przewodnictwa zależy od temperatury i jest podawany w literaturze dla określonego zakresu temperatur względnie ściśle określonej temperatury.

Wartość współczynnika przewodnictwa λ waha się w granicach:

- dla gazów od 5•10^-3 do 0,5 W/mK i wzrasta z temperaturą (od ciśnienia

praktycznie nie zależy w zakresie 0,3 do 2000 bar),

- dla cieczy od 8•10^-3 do 0,6 W/mK i z reguły zmniejsza się ze wzrostem

temperatury (nie zależy od ciśnienia),

- dla metali od 7 do 360 W/mK i powoli zmniejsza się ze wzrostem temperatury

Zwykle przyjmuje się liniową zależność współczynnika przewodnictwa

cieplnego od temperatury w postaci: λ = a + b T, gdzie a i b - stałe

właściwe dla danego materiału. W niskich temperaturach należy w tej

zależności uwzględnić człon nieliniowy, dodając wyrażenie c T².

Ustalone przewodzenie i przenikanie ciepła przez ściankę płaską

Założenia:

1. Ściana płaska posiada grubość δ znacznie mniejszą od wymiarów pola

jej powierzchni A.

2. Ściana jest wykonana z materiału o współczynniku przewodzenia ciepła λ.

3. Temperatura powierzchni ścianki z lewej strony (rys.) równa T_s1 jest wyższa

od temperatury powierzchni ścianki z prawej strony T_s2, czyli T_s1>T_s2 .

4. Temperatura ośrodka z lewej strony ścianki równa jest T₁, zaś z prawej

strony ścianki T₂.

5. Powierzchnie izotermiczne są równoległe do powierzchni ścianki.

δ δ₁ δ₂

T₁ α₁ λ₁ λ₂

T₁ α₁

T_s1 T_s1

T_s2 T_s3

T₂

α₂

T₂

α₂

x x

Rys.1. Ścianka pojedyncza o grubości δ Rys.2. Ścianka podwójna o grubościach

i współczynniku przewodzenia λ δ₁ i δ₂ i współczynnikach przewodzenia

λ₂<λ₁.

Gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę płaską jednowarstwową

przy λ=const (szczególna postać równania Bio-Fouriera):

[W/m²] (8)

gdzie: α₁ i α₂ - współczynnik przejmowania i oddawania ciepła

[W/m²K]

(9)

gdzie:
- współczynnik przenikania ciepła w J/m²hK

Opór przewodzenia ciepła ścianki płaskiej wielowarstwowej (rys.2) składającej

się z n warstw różnych materiałów prostopadłych do strumienia ciepła o grubościach δ_i oraz współczynnikach przewodzenia λ_i jest sumą oporów przewodzenia ciepła poszczególnych warstw.

W takim przypadku do wzoru (9) należy wstawić następujące wyrażenie na λ_z:

(10)

gdzie: r - opór przewodzenia ciepła

Ustalone przewodzenie i przenikanie ciepła przez ściankę walcową

Założenia:

1. Ścianka walcowa posiada długość l, która jest znacznie większa od średnicy.

2. Wewnętrzna powierzchnia o promieniu r_w posiada temperaturę T_sw.

3. Zewnętrzna powierzchnia o promieniu r_z posiada temperaturę T_sz.

4. Temperatura ośrodka na zewnątrz ścianki walcowej wynosi T_z.

5. Temperatura ośrodka wewnątrz ścianki walcowej wynosi T_w.

6. Rozważamy gęstość strumienia ciepła przewodzonego i przenikającego przez

ściankę walcową na jednostkę długości ścianki (gęstość liniowa).

Liniowa gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę walcową jednowarstwową można wyrazić wzorem:

(11)

Liniowa gęstość strumienia ciepła przenikającego przez ściankę walcową

wielowarstwową między ośrodkami o temperaturach T_w i T_z może być wyznaczona z następującej zależności:

(12)

gdzie:

Unoszenie (przejmowanie) ciepła

Ilość ciepła wymienianego na drodze unoszenia (przejmowania)

można określić przy pomocy empirycznego związku podanego przez Newtona:

lub
(13)

gdzie: T_s - temperatura powierzchni ścianki,

T_p - temperatura płynu

α - współczynnik przejmowania lub oddawania ciepła

Współczynnik α nie jest stały dla danego materiału, ale zależy m.in. od

charakterystyki systemu, geometrii ciała stałego, własności cieczy i parametrów

tej cieczy a także od różnicy temperatur.

Liczby podobieństwa mechanicznego:

a) liczba Froude'a
,

b) liczba Hoodsona (równoczesności)
,

c) liczba Eulera
,

d) liczba Reynoldsa
lub
.

Jako wtórną od liczby Froude'a używa się liczby Galileusza:

Ga = Fr Re² =

jako wtórną od liczby Galileusza używa się liczby Grashoffa:

Gr = Ga β ΔT =

gdzie: β - współczynnik rozszerzalności objętościowej,

ΔT - różnica temperatur.

Liczby podobieństwa cieplnego:

a) liczba Fouriera -
,

b) liczba Pecleta -
,

c) liczba Nusselta -
,

d) liczba Prandtla -

Zasada podobieństwa:

Rozpatrywane zjawisko będzie pod względem geometrycznym, kinematycznym, dynamicznym i cieplnym podobne do zjawiska modelowego, jeżeli liczby Eu, Fr, Re, Pe, Nu i Fo będą miały dla obu

rozpatrywanych zjawisk te same wartości.

Promieniowanie cieplne

Emisyjność:

e = Q/Fτ [kJ/m²h] (14)

Prawo Kirchhoffa:

e/A = f(T) (15)

gdzie: A - absorpcyjność

A = ε = σ/σ₀ = e/e₀ (16)

gdzie: σ - współczynnik promieniowania ciała szarego,

σ₀ - współczynnik promieniowania ciała doskonale czarnego.

Prawo Stefana-Boltzmanna:

e₀ = σ₀ T⁴ [kJ/m²h] (17)

gdzie: σ₀ = 5,73 ⋅10^-12 W/cm²K⁴ = 5,73 ⋅10^-8 W/m²K⁴ = 2,062⋅10^-4 J/m²hK⁴ .

Rzeczywiste ciała nie są ciałami doskonale czarnymi i dla nich prawo

Stefana - Boltzmana tj. natężenie promieniowania źródła ma postać :

e = ε e₀ = ε σ₀ T⁴ [ kJ/m²h] (18)

gdzie: ε > 0 oraz ε < ε₀=1 - stopień czarności ciała doskonale szarego

Stosunek emisyjności (zdolności wypromieniowania energii cieplne) do jego zdolności pochłaniania (stopnia czarności) nie zależy od fizycznych własności danego ciała i dla wszystkich ciał jest równy gęstości strumienia energii cieplnej wypromieniowanej przez ciało doskonale czarne przy tej samej temperaturze”.

Matematycznie można to zapisać w następującej postaci:

(19)

Gęstość strumienia energii cieplnej przekazywanej na drodze promieniowania od powierzchni 1 do powierzchni 2 (nieskończone powierzchnie równoległe)

(20)

gdzie:
- zredukowany współczynnik stopnia czarności

układu.

q_1-2 = ε_z σ₀ ( T₁⁴ - T₂⁴ ) ψ_1-2 (21)

gdzie: ψ_1-2 - współczynnik kątowy opromieniowania między powierzchnią promieniującą a opromieniowywaną .W tym współczynniku jest ukryta odległość między oboma ciałami.

Gęstość strumienia energii cieplnej przy istnieniu ekranu pomiędzy powierzchniami:

. (22)

gdzie:

Temperatura ekranu:

(23)