Wzory do teorii z wymiany ciepła
Wprowadzenie
Strumień ciepła (natężenie przepływu ciepła lub moc ciepła):
[J/s] (1)
Strumień ciepła dla przypadku ustalonego (stosunek ciepła Q do czasu τ trwania wymiany tej ilości ciepła):
[J/s] (2)
Gęstość strumienia ciepła:
[W/m2] (3)
Gęstość strumienia ciepła dla przypadku ustalonego (stosunek strumienia ciepła
do pola A powierzchni izotermicznej, przez którą przepływa ten strumień):
a) powierzchniowa
[W/m2] (4)
b) objętościowa
[W/m3] (5)
c) liniowa
[W/m] (6)
Przewodzenie
Prawo Bio-Fouriera:
„Wektor gęstości strumienia ciepła w przewodnictwie danego punktu
ciała równomiernie nagrzanego, w danym momencie czasu - jest wprost
proporcjonalny do wektora gradientu temperatury”
W postaci matematycznej prawo to można zapisać w następującej postaci:
[W/m2] (7)
gdzie:
Współczynnik proporcjonalności λ w W/mK zwany współczynnikiem przewodnictwa zależy od temperatury i jest podawany w literaturze dla określonego zakresu temperatur względnie ściśle określonej temperatury.
Wartość współczynnika przewodnictwa λ waha się w granicach:
- dla gazów od 5•10-3 do 0,5 W/mK i wzrasta z temperaturą (od ciśnienia
praktycznie nie zależy w zakresie 0,3 do 2000 bar),
- dla cieczy od 8•10-3 do 0,6 W/mK i z reguły zmniejsza się ze wzrostem
temperatury (nie zależy od ciśnienia),
- dla metali od 7 do 360 W/mK i powoli zmniejsza się ze wzrostem temperatury
Zwykle przyjmuje się liniową zależność współczynnika przewodnictwa
cieplnego od temperatury w postaci: λ = a + b T, gdzie a i b - stałe
właściwe dla danego materiału. W niskich temperaturach należy w tej
zależności uwzględnić człon nieliniowy, dodając wyrażenie c T2.
Ustalone przewodzenie i przenikanie ciepła przez ściankę płaską
Założenia:
1. Ściana płaska posiada grubość δ znacznie mniejszą od wymiarów pola
jej powierzchni A.
2. Ściana jest wykonana z materiału o współczynniku przewodzenia ciepła λ.
3. Temperatura powierzchni ścianki z lewej strony (rys.) równa Ts1 jest wyższa
od temperatury powierzchni ścianki z prawej strony Ts2, czyli Ts1>Ts2 .
4. Temperatura ośrodka z lewej strony ścianki równa jest T1, zaś z prawej
strony ścianki T2.
5. Powierzchnie izotermiczne są równoległe do powierzchni ścianki.
δ δ1 δ2
T1 α1 λ1 λ2
T1 α1
Ts1 Ts1
Ts2 Ts3
T2
α2
T2
α2
x x
Rys.1. Ścianka pojedyncza o grubości δ Rys.2. Ścianka podwójna o grubościach
i współczynniku przewodzenia λ δ1 i δ2 i współczynnikach przewodzenia
λ2<λ1.
Gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę płaską jednowarstwową
przy λ=const (szczególna postać równania Bio-Fouriera):
[W/m2] (8)
gdzie: α1 i α2 - współczynnik przejmowania i oddawania ciepła
[W/m2K]
(9)
gdzie:
- współczynnik przenikania ciepła w J/m2hK
Opór przewodzenia ciepła ścianki płaskiej wielowarstwowej (rys.2) składającej
się z n warstw różnych materiałów prostopadłych do strumienia ciepła o grubościach δi oraz współczynnikach przewodzenia λi jest sumą oporów przewodzenia ciepła poszczególnych warstw.
W takim przypadku do wzoru (9) należy wstawić następujące wyrażenie na λz:
(10)
gdzie: r - opór przewodzenia ciepła
Ustalone przewodzenie i przenikanie ciepła przez ściankę walcową
Założenia:
1. Ścianka walcowa posiada długość l, która jest znacznie większa od średnicy.
2. Wewnętrzna powierzchnia o promieniu rw posiada temperaturę Tsw.
3. Zewnętrzna powierzchnia o promieniu rz posiada temperaturę Tsz.
4. Temperatura ośrodka na zewnątrz ścianki walcowej wynosi Tz.
5. Temperatura ośrodka wewnątrz ścianki walcowej wynosi Tw.
6. Rozważamy gęstość strumienia ciepła przewodzonego i przenikającego przez
ściankę walcową na jednostkę długości ścianki (gęstość liniowa).
Liniowa gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę walcową jednowarstwową można wyrazić wzorem:
(11)
Liniowa gęstość strumienia ciepła przenikającego przez ściankę walcową
wielowarstwową między ośrodkami o temperaturach Tw i Tz może być wyznaczona z następującej zależności:
(12)
gdzie:
Unoszenie (przejmowanie) ciepła
Ilość ciepła wymienianego na drodze unoszenia (przejmowania)
można określić przy pomocy empirycznego związku podanego przez Newtona:
lub
(13)
gdzie: Ts - temperatura powierzchni ścianki,
Tp - temperatura płynu
α - współczynnik przejmowania lub oddawania ciepła
Współczynnik α nie jest stały dla danego materiału, ale zależy m.in. od
charakterystyki systemu, geometrii ciała stałego, własności cieczy i parametrów
tej cieczy a także od różnicy temperatur.
Liczby podobieństwa mechanicznego:
a) liczba Froude'a
,
b) liczba Hoodsona (równoczesności)
,
c) liczba Eulera
,
d) liczba Reynoldsa
lub
.
Jako wtórną od liczby Froude'a używa się liczby Galileusza:
Ga = Fr Re2 =
jako wtórną od liczby Galileusza używa się liczby Grashoffa:
Gr = Ga β ΔT =
gdzie: β - współczynnik rozszerzalności objętościowej,
ΔT - różnica temperatur.
Liczby podobieństwa cieplnego:
a) liczba Fouriera -
,
b) liczba Pecleta -
,
c) liczba Nusselta -
,
d) liczba Prandtla -
Zasada podobieństwa:
Rozpatrywane zjawisko będzie pod względem geometrycznym, kinematycznym, dynamicznym i cieplnym podobne do zjawiska modelowego, jeżeli liczby Eu, Fr, Re, Pe, Nu i Fo będą miały dla obu
rozpatrywanych zjawisk te same wartości.
Promieniowanie cieplne
Emisyjność:
e = Q/Fτ [kJ/m2h] (14)
Prawo Kirchhoffa:
e/A = f(T) (15)
gdzie: A - absorpcyjność
A = ε = σ/σ0 = e/e0 (16)
gdzie: σ - współczynnik promieniowania ciała szarego,
σ0 - współczynnik promieniowania ciała doskonale czarnego.
Prawo Stefana-Boltzmanna:
e0 = σ0 T4 [kJ/m2h] (17)
gdzie: σ0 = 5,73 ⋅10-12 W/cm2K4 = 5,73 ⋅10-8 W/m2K4 = 2,062⋅10-4 J/m2hK4 .
Rzeczywiste ciała nie są ciałami doskonale czarnymi i dla nich prawo
Stefana - Boltzmana tj. natężenie promieniowania źródła ma postać :
e = ε e0 = ε σ0 T4 [ kJ/m2h] (18)
gdzie: ε > 0 oraz ε < ε0=1 - stopień czarności ciała doskonale szarego
Stosunek emisyjności (zdolności wypromieniowania energii cieplne) do jego zdolności pochłaniania (stopnia czarności) nie zależy od fizycznych własności danego ciała i dla wszystkich ciał jest równy gęstości strumienia energii cieplnej wypromieniowanej przez ciało doskonale czarne przy tej samej temperaturze”.
Matematycznie można to zapisać w następującej postaci:
(19)
Gęstość strumienia energii cieplnej przekazywanej na drodze promieniowania od powierzchni 1 do powierzchni 2 (nieskończone powierzchnie równoległe)
(20)
gdzie:
- zredukowany współczynnik stopnia czarności
układu.
q1-2 = εz σ0 ( T14 - T24 ) ψ1-2 (21)
gdzie: ψ1-2 - współczynnik kątowy opromieniowania między powierzchnią promieniującą a opromieniowywaną .W tym współczynniku jest ukryta odległość między oboma ciałami.
Gęstość strumienia energii cieplnej przy istnieniu ekranu pomiędzy powierzchniami:
. (22)
gdzie:
Temperatura ekranu:
(23)