FUNKCJA KWADRATOWA - zadania

1.Wyznacz współczynniki trójmianu kwadratowego ax
+ bx + c wiedząc , że suma jego
pierwiastków jest równa 5 , a suma odwrotności jego pierwiastków jest równa
i dla x = 0
przyjmuje on wartość 18 . Dla wyznaczonych wartości a , b i c narysuj wykres funkcji
y =
.

2. Funkcja f ( x ) = x
- bx + c ma dwa miejsca zerowe , których suma kwadratów równa się
15 . Dla x = -5 funkcja przyjmuje wartość 5 . Jaka jest najmniejsza wartość funkcji f ?

3. Do wykresu funkcji y = ax
+ bx + c należą punkty A = ( 0 ,1 ) i B = (2 , 9) oraz wiadomo ,
że funkcja ma jedno miejsce zerowe. Oblicz a , b i c oraz narysuj wykres funkcji f .

4. Funkcja dana jest wzorem f ( x ) = ax
+ bx + c . Wiedząc , że f (0) = 3 , f (1) = 4 i f (-1) =0
wyznacz współczynniki a , b i c i rozwiąż układ równań :

oraz podaj interpretację geometryczną rozwiązania .

5. Podaj wzór i określ dziedzinę funkcji przyporządkowującej każdej wartości parametru m ,
dla której istnieją dwa różne pierwiastki równania (m+1)x
+ 2mx + m + 2 = 0,

a ) iloczyn tych pierwiastków;

b ) sumę odwrotności tych pierwiastków;

c ) sumę kwadratów tych pierwiastków;

d ) sumę odwrotności kwadratów tych pierwiastków;

e ) sumę trzecich potęg tych pierwiastków;

f ) wartość bezwzględną różnicy tych pierwiastków .

6. Dla jakich wartości parametru k funkcja f (x) = (k-2)x
+ (k+1 )x + k + 1 osiąga ;

a ) maksimum , które jest liczbą ujemną

b ) minimum , które jest liczbą ujemną ?

7. Naszkicuj wykres funkcji f (x) =
- 2x . Określ liczbę rozwiązań równania f (x) = m
w zależności od wartości parametru m .

8. Dla jakich wartości parametru k dziedziną funkcji f (x) =
jest
zbiór liczb rzeczywistych ?

9. Narysuj wykres funkcji f (m) = x
, gdzie x
i x
są różnymi pierwiastkami równania

x
- (m-5)x + m
- 6m + 5 = 0 .

10. Wyznacz te wartości parametru m , dla których najmniejsza wartość iloczynu wyrażeń
(x - 2m) i (x - m - 3):

a ) jest ujemna ,

b ) wynosi -1 .

11. Niech k oznacza ilość pierwiastków równania x - x
= m , gdzie m jest parametrem
należącym do przedziału

. Naszkicuj wykres funkcji k = f (m) .

12. Określ liczbę pierwiastków równania (m
-1)x
- (m+1)x -
= 0 w zależności od
parametru m
.

13. Dla jakich wartości parametru m
równanie x
- 2(m+1)x + 2m
+ 3m + 1 = 0 ma
dwa pierwiastki rzeczywiste dodatnie ?

14. Dla jakich wartości parametru m
równanie (2m-1)x
- (5m-2)x +2m = 0 ma dwa
pierwiastki rzeczywiste różnych znaków ?

15. Dla jakich wartości parametru m
(2m
+m - 1)x
+ (5m-2)x - 6 = 0 ma dwa
pierwiastki rzeczywiste jednakowych znaków ?

16. Dla jakich wartości parametru m
równanie x
+ (2-3m)x + 2m
- 5m -3 = 0 ma dwa
pierwiastki ujemne ?

17. Dla jakich wartości parametru m
iloczyn różnych pierwiastków równania
x
- (m-4)x + m
- 7m + 12 = 0 równa się połowie sumy tych pierwiastków ?

18. Dla jakich wartości parametru m
suma kwadratów pierwiastków równania
x
- (m-5)x + m
- 6m + 5 = 0 jest większa od 7 ?

19. Dla jakich wartości parametru k
suma kwadratów pierwiastków równania
x
+ (k-3)x + k - 5 = 0 jest najmniejsza ?

20. A jest zbiorem wszystkich całkowitych wartości parametru k
, dla których suma
kwadratów pierwiastków równania x
+ (k-3)x + k = 0 nie jest większa od 29 . B jest
zbiorem pierwiastków równania
- 2x + 2 = 0 . Wyznacz zbiór A \ B .

21. Dla jakich wartości parametru p
suma odwrotności dwóch różnych i rzeczywistych
pierwiastków równania x
+ (3p-2)x + p + 2 = 0 jest liczbą dodatnią ?

22. Dla jakiej wartości parametru m
funkcja f (x) = x
- 2(m+1)x + 2m
+ 3m - 1
przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej x ?

23. Dana jest funkcja f (x) = -2x
+ bx + 4 , gdzie x
. Wyznacz współczynnik b wiedząc ,
że do wykresu funkcji f należy punkt o współrzędnych
. Wykres funkcji f
przekształcono symetrycznie względem osi OX i otrzymano w ten sposób wykres funkcji g

a ) narysuj wykres funkcji g , podaj wzór funkcji g w postaci kanonicznej oraz
rozwiąż równanie f (x) - 2g(x) = 12

b ) oblicz wartość wyrażenia (x
, gdzie x
, x
są miejscami
zerowymi funkcji f .

24. Dane jest równanie x
- (m+2)x + m + 5 = 0 .

a ) zbadaj liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m . Wyznacz
wszystkie wartości parametru m , dla których dane równanie ma dwa różne
pierwiastki ujemne .

* b ) Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania spełniają warunek

+

3 ?

25. Dana jest funkcja f (x) = -2x
+ bx + 1 , gdzie x
. Wyznacz współczynnik b wiedząc,
że prosta o równaniu x = -2 jest osią symetrii wykresu danej funkcji f . Wykres funkcji f
przekształcono symetrycznie względem osi OY , otrzymano w ten sposób wykres pewnej
funkcji g .

a ) Oblicz wartość wyrażenia
, gdzie x
, x
są miejscami
zerowymi funkcji f .

b ) Narysuj wykres funkcji g , podaj wzór funkcji g w postaci kanonicznej oraz
rozwiąż nierówność g (-2x) - g (0) > 0 .

26. Dane są funkcje : f (x) = 2x
+ 6x + c , g (x) = -x
+ bx - 25 , gdzie x
. Wyznacz
współczynnik c wiedząc , że funkcja ma jedno miejsce zerowe oraz wyznacz współczynnik
b wiedząc , że dla argumentu x = 5 funkcja g przyjmuje największą wartość .

a ) Dla jakich x
: f (-x) + 4g(x)
0 ?

b ) Wyznacz współrzędne takiego punktu P leżącego na prostej y = x , aby suma
kwadratów odległości tego punktu od wierzchołków parabol będących
wykresami funkcji f i g była najmniejsza .

27. Dana jest funkcja f (x) = -2x
+ bx + 1 , gdzie x
. Wyznacz współczynnik b wiedząc ,
że do wykresu funkcji f należy punkt o współrzędnych
.

a ) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

b ) Oblicz wartość wyrażenia
, gdzie x
, x
są miejscami
zerowymi funkcji f .

c ) Wykres funkcji f przekształcono symetrycznie względem osi OY i otrzymano
w ten sposób wykres funkcji g . Napisz równanie prostej będącej osią symetrii
wykresu funkcji g oraz podaj zbiór wartości funkcji g .

28. Dana jest funkcja f (x) = x
+ bx + c , gdzie x
. Wyznacz współczynniki b i c wiedząc,
że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -
dla argumentu równego
.
Wykres funkcji f przesunięto o wektor
= [1,-2] . Otrzymano w ten sposób wykres
pewnej funkcji g .

a ) Narysuj wykresy funkcji f i g oraz podaj wzór funkcji g w postaci
kanonicznej

b ) Podaj zbiór wartości funkcji g oraz wyznacz najmniejszą wartość funkcji g w
przedziale
.

29. Dana jest funkcja f (x) = -6x
+ bx + c , gdzie x
. Wyznacz współczynniki b i c
wiedząc , że funkcja przyjmuje największą wartość równą
dla argumentu równego
.

a ) Oblicz wartość wyrażenia x
, gdzie x
, x
są miejscami
zerowymi funkcji f .

b ) Wykres funkcji f przekształcono przez symetrię względem osi OY .
Otrzymano w ten sposób wykres pewnej funkcji g . Podaj wzór funkcji g w
postaci kanonicznej oraz wyznacz najmniejszą wartość funkcji g w przedziale

.

30. Dane są funkcje f i g określone wzorami : f (x) = 2x
+ bx + c ; g (x) = 2x + m , gdzie
x
. Wyznacz wartości współczynników b i c wiedząc , że miejscami zerowymi funkcji
f są liczby -2 oraz 3 .

a ) Zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej oraz oblicz
.

b ) Wyznacz wartość m wiedząc , że wykresy funkcji f i g mają tylko jeden
punkt wspólny . Oblicz współrzędne tego punktu .

31. Dana jest funkcja f (x) = 2x
- 8x + c , gdzie x
. Wyznacz wartość współczynnika c
wiedząc , że zbiorem wartości funkcji f jest przedział

) . Wykres funkcji f
przesunięto o wektor
= [-1,2] , otrzymano w ten sposób wykres pewnej funkcji g .

a ) Podaj wzór funkcji g w postaci kanonicznej , wyznacz jej największą wartość
w przedziale
oraz rozwiąż nierówność f (x)
2g(x) .

b ) Oblicz wartość wyrażenia
, gdzie x
, x
są miejscami
zerowymi funkcji f .

32. Dana jest funkcja f (x) = 2x
+ bx + c , gdzie x
. Wyznacz wartości współczynników
b i c wiedząc , że wykres funkcji f jest symetryczny względem prostej o równaniu x = 1
i punkt A = (-1,7) należy do wykresu funkcji f .

a ) Oblicz wartość wyrażenia (3x
, gdzie x
,x
są
pierwiastkami równania f (x) = 0 .

b ) Wykres funkcji f przekształcono symetrycznie względem początku układu
współrzędnych otrzymując wykres funkcji g . Rozwiąż nierówność
g (x)
1 .

33. Dla jakich wartości parametru m
nierówność
a ) x
+ (2m-3)x + 2m + 5 > 0
b ) (a
+ 4a - 5)x
- 2(a-1)x + 2 > 0
jest spełniona dla każdej liczby x
?

34 . Dla jakich wartości parametru k pierwiastki równania x
+
x + k
= 0 są odpowiednio
równe sinusowi i cosinusowi tego samego kąta ostrego ?

Początek formularza

35. Przez punkty przecięcia krzywych o równaniach y = 2x
- 4x + 4 i y = x
+ 4
poprowadzono prostą . Napisz jej równanie .

Dół formularza

36. Prosta równoległa do prostej y = x - 5 i przechodząca przez punkt P = (-1,0) przecina
parabolę y = x
- 2x - 3 w punktach A i B . Oblicz obwód trójkąta ABC , gdzie C jest
punktem przecięcia się tej paraboli z osią OY .

37.Dla jakich wartości parametru m
układ równań

posiada dokładnie jedno rozwiązanie ?

38. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań :

a )
b )

c)
d )

39. Suma dwóch liczb różniących się o 2 jest o 26 mniejsza od sumy kwadratów tych liczb .

Jakie to liczby ?

40. Jeżeli długość jednego boku kwadratu zwiększymy o 4 , a długość drugiego boku
zmniejszymy o 2 , to powstanie prostokąt , którego pole jest o 12% większe od pola
danego kwadratu . Oblicz długość boku kwadratu .

41. Siatką drucianą długości 60m chcemy ogrodzić z trzech stron prostokątny plac graniczący
z murem w ten sposób , żeby jego pole powierzchni było największe . Jak dobrać długości
boków tego prostokąta , jeżeli plac graniczy z murem wzdłuż dłuższego boku ?

42. Bok prostokąta wynosi 60cm . O ile musi być dłuższy od niego drugi bok , aby po
wycięciu z tego prostokąta otworu kołowego o średnicy równej różnicy długości boków
tego prostokąta pozostała część miała największe pole powierzchni ?

43. W turnieju szachowym o mistrzostwo szkoły systemem każdy z każdym rozegrano 66
gier. .Ilu zawodników uczestniczyło w tym turnieju ?

44. Okrąg o środku S = (4,3) przechodzi przez punkt P = (5,6) . Prosta y = -x + 3 przecina ten
okrąg w punktach A i B . Wykaż , że trójkąt ABP jest prostokątny i oblicz jego pole .

45. Do okręgu o równaniu x
- 2x - 6y + 5 = 0 poprowadzono styczne równoległe do
prostej 2x - y + 99 = 0 . Oblicz współrzędne punktów styczności i podaj równania
stycznych.

46. W jakim wielokącie można poprowadzić 65 różnych przekątnych ?

21

---