Odpowiedź do zadania 1:

1 m - a zł.

2 m - a + b zł.

3 m - (a + b) + b zł.

a₁ = a; r = b

a_n = a₁ + (n - 1)⋅r = a + 39b

S_n =
.

Koszt budowy studni o głębokości 40 metrów wyniesie 40a + 780b.

Powrót

Odpowiedź do zadania 2:

Szukany ciąg to: 28, 36, 44, 52.

Powrót

Dowód prawdziwości wzoru na sumę ciągu geometrycznego:
(gdy q ≠ 1)

Dowód:

Krok 1: n = 1

L = a₁; P =
; L = P ok.

Krok 2: Założenie indukcyjne:

Teza indukcyjna:
(w miejsce n podstawiamy n + 1)

Dowód indukcyjny:

=

z założenia

ok.

Powrót

Odpowiedź do zadania 3:

Ponieważ podków jest 4, a hufnali w podkowie po 6, wystarczy policzyć sumę 24-wyrazowego ciągu geometrycznego o q = 2:

1 + 2 + 2² + 2³ + … +2²³ =
połuszek =

41943 ruble i 3,75 kopiejki

Jak widać, już w roku 1703 trzeba było uważać na niezwykle korzystne oferty. No a przede wszystkim należy pamiętać, że ciąg geometryczny o q > 1 rośnie bardzo szybko.

Powrót

Odpowiedź do zadania 4:

Nasze trzy liczby to:

Ich iloczyn jest równy 13824, czyli

Ich suma jest równa 126, czyli

Szukane ciągi to: 6, 24, 96 lub 96, 24, 6.

Powrót

Odpowiedź do zadania 5:

1. 
   ,

ponieważ

Metoda polega na wyciągnięciu przed nawias w liczniku i w mianowniku n w najwyższej potędze mianownika.

2. 
   

ponieważ

Uwaga: Ciąg, którego granica wynosi nieskończoność nazywamy ciągiem rozbieżnym.

3. 
   

ponieważ

4. 
   

ponieważ

5. 
   

, bo mianownik dąży do nieskończoności.

Metoda polega na przemnożeniu licznika i mianownika przez sumę tych pierwiastków. Chodzi o to, by móc skorzystać ze wzoru
.

6. 
   
   

Możemy tu oczywiście wyciągnąć przed nawias najwyższą potęgę mianownika, czyli pierwiastek z n. Ale możemy też przeprowadzić następujące rozumowanie: stopień licznika jest 1, stopień mianownika jest
, zatem stopień licznika jest większy niż stopień mianownika, a więc w granicy wyjdzie nieskończoność. (Gdyby stopień licznika był mniejszy od stopnia mianownika wyszłoby 0.)

7. 
   

8. 
   

Dlaczego? Ponieważ
, a
.

Powrót

Odpowiedź do zadania 6:

k = 5

n - k = 9

n - 5 = 9

n = 14

Powrót

Odpowiedź do zadania 7:

Rozwiązanie: 9 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1080.

Uzasadnienie: Wszystkie liczby od 0 do 9 są podzielne przez 1, ale zero nie może wystąpić na pierwszej pozycji, bo wówczas liczba nie będzie pięciocyfrowa. Do wyboru pozostaje 9 liczb. Wśród liczb od 0 do 9 pięć jest podzielnych przez 2, cztery przez 3, trzy przez 4 i dwie przez 5. Z twierdzenia o mnożeniu uzyskujemy oczekiwany wynik.

Powrót

Odpowiedź do zadania 8:

Rozwiązanie:

1. 6 ⋅ 2 = 12

Na kostce mamy 6 oczek, więc 6 możliwości, zaś na moneta ma dwie strony (orzeł, reszka), więc mamy 2 możliwości. Z twierdzenia o mnożeniu, mnożymy 6 ⋅ 2.

2. 6 ⋅ 2 ⋅ 52 ⋅ 51 = 31 824

Na kostce mamy 6 oczek, więc 6 możliwości, zaś na moneta ma dwie strony (orzeł, reszka), więc mamy 2 możliwości. Poza tym losujemy dwie dowolne karty z 52, czyli ciągnąc pierwszą kartę mamy 52 możliwości, a ciągnąc drugą kartę mamy 51 możliwości, bo w talii kart nie ma już tej pierwszej wylosowanej karty. Z twierdzenia o mnożeniu, mnożymy 6 ⋅ 2 ⋅ 52 ⋅ 51.

Powrót

Odpowiedź do zadania 9:

Rozwiązanie:

1. 9 ⋅ 10³ = 9000
   Aby liczba była czterocyfrowa, pierwsza cyfra nie może być zerem. Wybieramy ją spośród liczb od 1 do 9, czyli na 9 sposobów. Pozostałe trzy cyfry mogą być dowolne i mogą się powtarzać, więc każdą można wybrać na 10 sposobów. W sumie daje to 10³.

2. 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
   Aby liczba była czterocyfrowa, pierwsza cyfra nie może być zerem. Wybieramy ją spośród liczb od 1 do 9, czyli na 9 sposobów. Po tym wyborze w puli pozostaje jeszcze 9 cyfr. Z nich możemy wybierać drugą cyfrę na 9 sposobów. Trzecią możemy wybrać już tylko na 8 sposobów, a czwartą na 7 sposobów.

Powrót

Odpowiedź do zadania 10:

Rozwiązanie: Liczba 180 po rozpisaniu na czynniki pierwsze ma postać:

180 = 2² ⋅ 3² ⋅ 5¹

Każdy dzielnik tej liczby ma postać:

d = 2^k ⋅ 3^m ⋅ 5ⁿ

gdzie k ∈ {0, 1, 2}, m ∈ {0, 1, 2}, n ∈ {0, 1}

Wykładnik k możemy wybrać na trzy sposoby, m też na trzy, a n na dwa sposoby. Zatem liczba dzielników 180 to: 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18.

Powrót

Odpowiedź do zadania 11:

1. 7! = 5040

Skoro szyfr jest złożony z 7 cyfr i nie mamy żadnych dodatkowych założeń, trzeba będzie wykonać 7! prób. Są to po prostu wszystkie permutacje 7-elementowego zbioru.

2. 4! ⋅ 3! = 24 ⋅ 6 = 144

Ponieważ naszemu biznesmenowi przypomniało się, że wszystkie trzy ostatnie cyfry są ze zbioru {5,6,7} to na trzech ostatnich miejscach mamy 3! Możliwości ustawienia 3 cyfr, a na czterech pierwszych miejscach 4!, ponieważ są to permutacje pozostałych liczb, czyli {1,2,3,4}.

Powrót

Odpowiedź do zadania 12:

1. n!

Zwykłe permutacje osób, czyli n! możliwości.

2. 
   

Dlaczego przy okrągłym stole mamy tych możliwości mniej i to n razy? Oczywiście tak jest tylko wtedy, gdy chcemy za dwa różne ustawienia uważać te, że przynajmniej jedna osoba ma innego sąsiada z prawej lub z lewej strony. Jeśli bowiem chcielibyśmy zwracać uwagę również na usytuowanie względem otoczenia, to nadal będzie n! Chodzi po prostu o to, że w przypadku okrągłego stołu część ustawień osób, które w rzędzie były różne, tu będą obrotami ze względu na „sklejenie” końców. Aby to dobrze zrozumieć najlepiej wykonać ćwiczenie praktyczne, czyli poprzestawiać np. pięć osób w rzędzie, a następnie w kole.

Powrót

Odpowiedź do zadania 13:

Z 12 dobrych żarówek wybieramy 5. Możemy to zrobić na
sposobów.

Powrót

Odpowiedź do zadania 14:

1. 
   

Spośród 13 pików wybieramy 5 kart, z 13 kierów 4 karty, z 13 kar 3 karty i z 13 trefli jedną. I oczywiście wszystko mnożymy z twierdzenia o mnożeniu.

2. 
   ⋅ 4!

Wybieramy karty tak, jak poprzednio, ale układ kolorów może być dowolny. Dlatego mamy 4! razy możliwości więcej, bo tyle jest permutacji 4 kolorów.

Powrót

Odpowiedź do zadania 15:

3⁵ = 243

Można utworzyć właśnie tyle liczb ponieważ są to wariacje z powtórzeniami. Na każdym miejscu można postawić jedną z trzech cyfr. Czyli na pierwszym miejscu jest 3 możliwości, na drugim trzy, na trzecim trzy, na czwartym trzy i na piątym też trzy.

Powrót

Odpowiedź do zadania 16:

Można utworzyć właśnie tyle liczb ponieważ są to wariacje bez powtórzeń. Mamy 9 cyfr i tworzymy z nich liczbę 5-cyfrową tak, aby żadna cyfra się nie powtórzyła.

Powrót

Rozwiązanie zagadki 1:

W tej grupie studenckiej były bliźnięta.

Powrót

---