ĆWICZENIE NR 4
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO I REWERSYJNEGO
WSTĘP TEORETYCZNY
- NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO, PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE
W otoczeniu jakiegokolwiek ciała przestrzeń posiada tę właściwość, że w każdym jej punkcie na ciało działa siła grawitacyjna. Mając na myśli tę właściwość mówimy, że na ciało wytwarza pole grawitacyjne. W polu grawitacyjnym przebiegają linie sił.
W każdym punkcie pola działa na ciało, umieszczone w tym punkcie pewna siła F=ma, gdzie a oznacza przyspieszenie, jakiego nabyłoby ciało, gdyby było swobodne. Otóż przyspieszenie a=F/m nazywać można inaczej natężeniem pola grawitacyjnego w danym punkcie pola.
Podstawiając a=F/m do wzoru otrzymamy . Widzimy więc, że natężenie pola grawitacyjnego zależy od masy M kuli wytwarzającej pole oraz od odległości x danego punktu,od środka kuli, natomiast nie zależy od masy ciała próbnego.
- RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej
Współczynnik proporcjonalności k o wymiarze N/m nazywamy siłą kierującą.
(wielkość ω0 nazywa się częstością kołową). Po podstawieniu i przekształceniu, otrzymujemy:
Równanie to nazywa się równaniem ruchu harmonicznego prostego. Jest ono równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem zmiennej x.
Funkcja cosinus jest funkcją periodyczną i jej wartości powtarzają się co 2Π. Korzystając z powyższej własności i równania wyznaczyć możemy okres T, tzn. czas, po którym funkcja cosinus wraca do początkowej wartości:
skąd
Podstawiając za ω0 otrzymamy:
- WAHADŁO MATEMATYCZNE, FIZYCZNE, REWERSYJNE
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m (kulka) zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l. W rzeczywistości każde wahadło musi być zbudowane w ten sposób, że nić jest nieco rozciągliwa i posiada pewną masę, a kulka metalowa zawieszona na tej nici jest większa od punktu matematycznego. Kulka odchylona od położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym. Na kulkę działa siła ciężkości.
W położeniu równowagi kierunek g pokrywa się z kierunkiem nici.
W położeniu np. B wektor g rozkładamy na dwie składowe: styczną i normalną
Składowa decyduje o ruchu, składową tę można wyrazić jako:
Na rysunku widać, że gdzie x - odchylenie, l - długość nici, czyli:
g i l to stałe, a więc przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do nachylenia. Czyli ruch kulki można uważać za ruch harmoniczny, a przyspieszenie w nim wyraża się wzorem:
czyli -
Jest to prawo drgań wahadła matematycznego. Okres wahadła zależy od długości wahadła i przyspieszenia w danym punkcie Ziemi. Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie:
Wahadło rewersyjne to specjalnie skonstruowane wahadło fizyczne, które pozwala na dokładny pomiar l0. Okres drgań wahadła fizycznego wyraża się wzorem:
Jeżeli mamy jakąś masę i szukamy np. okresu drgań wahadła względem punktu O i A to zgodnie z prawem Steinera moment bezwładności względem O:
,
gdzie C- środek masy układu, BC - moment bezwładności względem C
Okres wahań względem O można zapisać:
,
a względem A:
Korzystając z równości okresów można wyznaczyć BC:
czyli:
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO
|
Położenie |
|
|
L.P. |
Dolne [m] |
Górne [m] |
l[m] |
1 |
0.02145 |
0.52150 |
0.50005 |
2 |
0.02180 |
0.52075 |
0.49895 |
3 |
0.02145 |
0.52120 |
0.49975 |
4 |
0.02160 |
0.52100 |
0.49940 |
5 |
0.02145 |
0.52160 |
0.50015 |
6 |
0.02165 |
0.52165 |
0.50000 |
7 |
0.02195 |
0.52125 |
0.49930 |
8 |
0.02115 |
0.52130 |
0.50015 |
9 |
0.02170 |
0.52120 |
0.49950 |
10 |
0.02150 |
0.52135 |
0.49985 |
|
0.02157 |
0.52128 |
0.49971 |
Długość wahadła l [mm]
Dokładność katetometru = m
[m]
Okres T [s]
L.P. |
t[s] |
1 |
1.410 |
2 |
1.422 |
3 |
1.381 |
4 |
1.412 |
5 |
1.415 |
6 |
1.416 |
7 |
1.413 |
8 |
1.431 |
9 |
1.391 |
10 |
1.422 |
|
1.411 |
[s]
Π ≈ 3.14
Ze względu na to, że okres jest obarczony największym błędem względnym pozostałe wartości zaokrąglamy do trzech miejsc po przecinku (wynika to z obliczeń i trudności w jednoznacznym uchwyceniu momentu zatrzymania stopera)
Błąd wyznaczymy stosując metodę pochodnej logarytmicznej:
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA FIZYCZNEGO
L.P. |
|
1 |
0.006595 |
2 |
0.006535 |
3 |
0.006595 |
4 |
0.006590 |
5 |
0.006590 |
6 |
0.006600 |
7 |
0.006595 |
8 |
0.006590 |
9 |
0.006590 |
10 |
0.006570 |
|
0.006585 |
Średnica kulki d [mm]
Dokładność śruby mikrometrycznej = mm
[m]
Błąd wyznaczymy stosując metodę różniczki zupełnej
Wartość przyspieszenia ziemskiego jest nieco zawyżona, prawdopodobnie z powodu błędu pomiaru czasu. Jest to bowiem najbardziej usterkogenny moment pomiaru, albowiem decyduje moment obserwacji, uchwycenie punktu szczytowego i przeniesienie go na stoper. Jak wynika z obliczeń przeważnie moment zatrzymania stopera występował wcześniej niż faktycznie osiągnięte maksymalne wychylenie
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA REWERSYJNEGO
|
Pryzmat |
|
L.P. |
Dolny [m] |
Górny [m] |
1 |
0.03500 |
0.61010 |
2 |
0.03450 |
0.61070 |
3 |
0.03465 |
0.61040 |
4 |
0.03450 |
0.61015 |
5 |
0.03425 |
0.61035 |
6 |
0.03520 |
0.61050 |
7 |
0.03490 |
0.61045 |
8 |
0.03325 |
0.61030 |
9 |
0.03520 |
0.61065 |
10 |
0.03495 |
0.60960 |
|
0.03464 |
0.61032 |
Długość wahadła l [mm] (odległość między pryzmatami)
Dokładność katetometru = [m]
[m]
Grubość soczewki s[mm]
Dokładność suwmiarki = 0,1 mm
s= 0.0095 ± [m]
Po przeprowadzeniu 10 pomiarów każdy z nich dał identyczny wynik. Tak więc przyjęto tę wartość za średnią.
Obliczenia poszczególnych czasów i odległości soczewek:
L.P. |
h1[m] |
T11[s] |
T12[s] |
h2[m] |
T21[s] |
T22[s] |
1 |
0.54320 |
1.500 |
1.529 |
0.45665 |
1.460 |
1.484 |
2 |
0.54350 |
1.487 |
1.541 |
0.45660 |
1.435 |
1.487 |
3 |
0.54320 |
1.500 |
1.538 |
0.45660 |
1.450 |
1.476 |
4 |
0.54355 |
1.503 |
1.535 |
0.45685 |
1.460 |
1.477 |
5 |
0.54345 |
1.512 |
1.534 |
0.45670 |
1.447 |
1.509 |
6 |
0.54295 |
1.500 |
1.532 |
0.45670 |
1.450 |
1.509 |
7 |
0.54315 |
1.481 |
1.547 |
0.45700 |
1.447 |
1.500 |
8 |
0.54315 |
1.485 |
1.534 |
0.45670 |
1.440 |
1.497 |
9 |
0.54315 |
1.490 |
1.543 |
0.45680 |
1.438 |
1.510 |
10 |
0.54360 |
1.485 |
1.528 |
0.45690 |
1.460 |
1.488 |
|
0.54329 |
1.494 |
1.536 |
0.45675 |
1.449 |
1.494 |
Wartości h1 i h2 są wielkościami względnymi, tak więc odległość soczewki od przymatu obliczymy odejmując wartość od górnej pozycji i dodając połowę grubości soczewki:
[m]
[m]
Ponieważ soczewka oddalona o x od jednego pryzmatu jest jednocześnie oddalona o l-x od drugiego możemy obliczyć jeszcze h3 i h4.
[m]
[m]
Oczywiście okresy h1 i h3 oraz h2 i h4 będą odpowiednio równe.
Analizując okresy odpowiednich położeń soczewki dochodzimy do wniosku, że punkt, w którym T1=T2 leży gdzieś między h2 i h4
[s]
Obliczenie przyspieszenia ziemskiego:
Błąd wyznaczymy stosując metodę pochodnej logarytmicznej:
Jak widać po przeprowadzonych badaniach przyspieszenie ziemskie jest wartością zbliżoną do
10 m/s2. Rzeczywiście wartości tablicowe wskazują iż ma ono wartość 9,81 m/s2. Odchylenie wyniku od rzeczywistej wartości wynosi , co jest niezłym wynikiem jak na tak niedokładne pomiary. Różnica wynikła prawdopodobnie z pominięcia oporów powietrza, ale najmniej dokładnym pomiarem był pomiar czasu, ze względu na trudność uchwycenia momentu maksymalnego wychylenia i to prawdopodobnie zaważyło na wyniku.
Dokładność z jaką dokonano pomiarów jest raczej zadowalająca, choć każde polepszenie dokładności przyrządów zmniejszyłoby zapewne błąd systematyczny.
Niestety uzyskany wykres nie prezentuje żadnych zależności, ze względu na bardzo małą liczbę pomarów. Wykres powinien składać się z dwóch parabol przecinających się w jednym punkcie. Aczkolwiek można przyjąć, że punkt przecięcia się parabol jest miejscem, w którym okres wahnieć na obu pryzmatach jest równy. T1=T2. Z wykresu odczytujemy, że ten punkt jest oddalony od pryzmatu ok. 0.3 [m] (co ma sens, gdyż odległość między pryzmatami wynosi 0.575 [m] czyli mniej więcej w połowie) a okres trwa 1.4 [s].