Wydział : Elektryczny	Dzień/godz.:	Data:	Nr zespołu: 17
Nazwisko i Imię	Ocena z przygotowania:	Ocena ze sprawozdania:	Ocena:
1. GORZKOWSKI Adam
2. RACZKOWSKI Krzysztof
Prowadzący:		Podpis prowadzącego:

BADANIE EFEKTU HALLA

1. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Zjawiska związane z działaniem pola magnetycznego na ładunki znajdujące się w ruchu wywołane są istnieniem siły zwanej siłą Lorentza:

F = qVxB

gdzie B jest indukcją pola magnetycznego, V - prędkością ładunku elektrycznego poruszającego się w tym polu.

Obserwację tego oddziaływania na nośniki prądu w ciele stałym najdogodniej jest przeprowadzić na próbce zwanej halotronem. Halotron jest cienką (grubość d ~ 0,1mm) warstwą półprzewodnika o kształcie prostopadłościanu, naparowaną na nieprzewodzące podłoże i zaopatrzoną w cztery elektrody, którą umieszczamy w zewnętrznym polu magnetycznym o wektorze indukcji B.

Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego nośniki prądu (mogą być nimi dziury lub elektrony), tworzące prąd elektryczny (tzw. prąd sterujący I_s) płynący wzdłuż naparowanej warstwy o długości l (a więc przez przekrój dc), zostają odchylone od pierwotnego biegu gromadząc się na jednej ze ścian bocznych. W wyniku powyższego procesu powstaje asymetria obsadzenia nośnikami ścian odległych od siebie o c; pociąga to za sobą powstanie mierzalnej różnicy potencjałów zwanej napięciem Halla U_H. Wartość napięcia Halla ustala się samoczynnie w wyniku wytworzenia stanu równowagi dynamicznej pomiędzy siłą Lorentza a siłą pochodzącą od powstającego poprzecznego pola elektrycznego o natężeniu E = UH/c. Stan tej równowagi opisuje równanie:

eE = eVB

gdzie: e - ładunek nośnika, V - prędkość nośników prostopadła do kierunku E oraz kierunku pola magnetycznego o indukcji B. Z powyższego równania widać, że zdefiniowane napięcie Halla można wyrazić następująco:

UH = cE = cVB

W celu wyrażenia wielkości U_H w sposób dogodniejszy dla pomiarów należy zauważyć, że prędkość V, jaką uzyskują nośniki poruszające się wzdłuż linii sił pola sterującego E wynosi:

V = mE m - ruchliwość nośników

Nośniki przyspieszane są przez pole sterujące E tworząc tzw. prąd sterujący o natężeniu:

I_s = sEcd = enmEcd

gdzie: s - przewodnictwo, n - koncentracja nośników, d - grubość próbki. Uwzględnienie dwóch ostatnich wzorów pozwala wzór na napięcie Halla zapisać w postaci:

U_H = (1/en)(I_sB/d)

Pomiar napięcia Halla pozwala wyznaczyć koncentrację nośników w próbce pod warunkiem, że poruszają się w niej tylko nośniki jednego znaku. W dalszych rozważaniach przyjmiemy, że w naszym halotronie dominują nośniki jednego znaku tak silnie, że możemy pominąć wpływ pozostałych na wartość napięcia Halla i na rezystancję R_H próbki.

Przyjmując, że U/l jest natężeniem pola elektrycznego (gdzie U - spadek napięcia wzdłuż halotronu) w warstwie w kierunku prądu sterującego, z prawa Ohma i wcześniej branej już pod uwagę definicji natężenia prądu mamy:

Is = nem(U/l)dc mU/l - śr. pr. ruchu nośników prądu I_s w kierunku pola

Z dwóch ostatnich wzorów na U_H i I_s możemy wyznaczyć koncentrację n i ruchliwość m przez łatwo mierzalne wielkości; wzory te przyjmują następującą postać:

n = (1/ed)(IsB/UH) , m = UHl/UcB

Zatem wynika z nich, że napięcie Halla U_H jest wprost proporcjonalne do iloczynu natężenia prądu sterującego I_s lub napięcia U przyłożonego do warstwy oraz indukcji magnetycznej B. Ze wzorów tych wynika także, że iloczyn koncentracji n i ruchliwości m jest odwrotnie proporcjonalny do rezystancji warstwy R_H. Podstawiając bowiem U = R_HI_s (z prawa Ohma) do wzoru na ruchliwość m otrzymujemy:

R_H = (1/nem)(1/cd)

gdzie iloczyn nem nazywamy przewodnictwem właściwym warstwy, a iloraz 1/ne - stałą Halla.

W ćwiczeniu będziemy również starali się wyjaśnić na drodze eksperymentalnej czy szybki spadek rezystancji półprzewodnika przy jego podgrzewaniu wiąże się ze wzrostem koncentracji, czy ze wzrostem ruchliwości nośników prądu.

2. WYNIKI POMIARÓW.

a) I_em= 3[A] = const.; B=1,97 [T] = const.

			B1 (+)		B2 (-)
Is [A]	DIs [A]	DIswz [%]	Uh+ [V]	Uh- [V]		Uh+ [V]		Uh- [V]		<Uh> [V]		DUh [V]		DUhwz [%]
0,015000	0,000023	0,15%	0,19900	0,19460		0,19480		0,19960		0,19700		0,00005		0,03%
0,014000	0,000023	0,16%	0,19010	0,19110		0,18440		0,18670		0,18808		0,00005		0,03%
0,012000	0,000023	0,19%	0,15900	0,15930		0,15970		0,16010		0,15953		0,00005		0,03%
0,010000	0,000023	0,23%	0,13600	0,13500		0,13520		0,13500		0,13530		0,00005		0,04%
0,008500	0,000023	0,27%	0,11500	0,11700		0,11600		0,11650		0,11613		0,00005		0,04%
0,007000	0,000023	0,33%	0,09410	0,09370		0,09450		0,09450		0,09420		0,00005		0,05%
0,005500	0,000023	0,41%	0,07470	0,07490		0,07520		0,07540		0,07505		0,00005		0,07%
0,004500	0,000023	0,51%	0,06230	0,06200		0,06220		0,06190		0,06210		0,00005		0,08%
0,002500	0,000023	0,91%	0,03410	0,03500		0,03590		0,03620		0,03530		0,00005		0,14%

b) I_em= 3[A] = const.; B=1,97 [T] = const. ; T = 38 [°C].

			B1 (+)		B2 (-)
Is [A]	DIs [A]	DIswz [%]	Uh+ [V]	Uh- [V]	Uh+ [V]	Uh- [V]	<Uh> [V]	DUh [V]	DUhwz [%]
0,015000	0,000023	0,15%	0,18340	0,18330	0,18760	0,18360	0,18448	0,00005	0,03%
0,014000	0,000023	0,16%	0,17120	0,17140	0,17030	0,17060	0,17088	0,00005	0,03%
0,012000	0,000023	0,19%	0,13810	0,13800	0,13820	0,13830	0,13815	0,00005	0,04%
0,010000	0,000023	0,23%	0,12170	0,12580	0,12070	0,12100	0,12230	0,00005	0,04%
0,008500	0,000023	0,27%	0,10410	0,10400	0,10390	0,10390	0,10398	0,00005	0,05%
0,005000	0,000023	0,46%	0,06070	0,06090	0,06020	0,06070	0,06063	0,00005	0,08%
0,002500	0,000023	0,91%	0,03120	0,03110	0,03100	0,03100	0,03108	0,00005	0,16%

c) Is = 15 [mA] = const.

			B1 (+)		B2 (-)
B [T]	DB [T]	DBwz [%]	Uh+ [V]	Uh- [V]	Uh+ [V]	Uh- [V]	<Uh> [V]	Duh [V]	DUhwz [%]
1,97	0,01	0,51%	0,19920	0,19950	0,19940	0,19980	0,19948	0,00005	0,03%
1,80	0,01	0,56%	0,16950	0,16940	0,16850	0,16920	0,16915	0,00005	0,03%
1,54	0,01	0,65%	0,13470	0,13470	0,13700	0,13690	0,13583	0,00005	0,04%
1,20	0,01	0,83%	0,10330	0,10340	0,10370	0,10370	0,10353	0,00005	0,05%
0,82	0,01	1,22%	0,06330	0,06350	0,06620	0,06630	0,06483	0,00005	0,08%
0,33	0,01	3,03%	0,03270	0,03280	0,03340	0,03350	0,03310	0,00005	0,15%

3. OBLICZENIA.

Posługując się metodą najmniejszych kwadratów wyznaczyliśmy współczynniki kierunkowe prostych widocznych na wykresach zrobionych na podstawie podpunktów a) i b). Następnie ze wzoru:

,gdzie

obliczyliśmy błąd wyznaczenia tego współczynnika. Tak więc dla pomiarów w podpunkcie a) współczynnik kierunkowy tej prostej wynos: m₁= 13,1 ± 0,3, a dla pomiarów w podpunkcie b) współczynnik kierunkowy prostej wynosi : m₂= 12,1 ± 2,4.

Wykresy z podpunktów a) i b) przedstawiają odpowiednio funkcję Uh = m₁y i Uh = m₂y; m₁ i m₂ są to odpowiednio ,, gdzie n₂,n₁ są to koncentracje nośników prądu w półprzewodniku, e - ładunek elektronu, d - grubość półprzewodnika , B - indukcja magnetyczna. Przekształcając te wzory otrzymujemy i . Błąd wyznaczenia n₁ i n₂ możemy policzyć korzystając z metody różniczki zupełnej : .

Po podstawieniu odpowiednich danych otrzymujemy :

n₁ = (9,41 ± 0,26)*10²¹ i n₂ = (1,08 ± 0,21)*10²² (T=38 [°C]) .

Na podstawie wyników koncentracji n₁ i n₂ możemy policzyć stałe Halla dla n₁ i n₂ ze wzoru: . Po podstawieniu otrzymujemy: dla n₁ :, dla n₂ :

Obliczenia dołączyliśmy na osobnym wydruku.

Dla obliczeń w podpunkcie c) wykonaliśmy wykres przedstawiający zależność napięcia Halla (Uh) od prądu sterującego (Is).

4. PODSUMOWANIE.

Analizując wartości koncentracji otrzymane po powyższych obliczeniach stwierdzamy, że z zgodnie z założeniami teoretycznymi wzrosła koncentracja nośników prądu w badanej próbce. Z wykresu Uh = f(B) widzimy, że wzrost napięcia Halla (Uh) nie jest liniowo proporcjonalny do wzrostu indukcji magnetycznej. Jest to raczej zależność potęgowa.

---