86. Fale. Fale mechaniczne. Fale elektromagnetyczne. Własności fal. Ruch falowy. Przenoszenie energii.

Specyficznym ruchem jest ruch falowy lub krócej - fale. Fale to rozchodzenie się zaburzeń własności ośrodka bez przemieszczania się materii.

Przy rozchodzeniu się zaburzeń mechanicznych (drgań lub zagęszczeń ośrodka materialnego) mówimy o falach mechanicznych.

Przy rozchodzeniu się zmian pola elektrycznego (i towarzyszącego zawsze zmiennemu polu elektrycznemu - pola magnetycznego) mamy do czynienia z falami elektromagnetycznymi. Czasami mówimy o rozchodzeniu się fal, lecz jest to pewien skrót - fale to przecież ruch zaburzenia, przemieszczanie się zaburzenia.

Rozchodzi się zaburzenie (drganie, zmienne pole elektromagnetyczne). Prędkość rozchodzenia się fal jest różna dla różnych fal. Największą prędkość mają fale elektromagnetyczne w próżni. Prędkość ta ma wartość bliską 300 000 kilometrów na sekundę.

Z tą samą prędkością rozchodzi się światło w próżni. Światło jest bowiem również falą elektromagnetyczną.

Fale mechaniczne rozchodzą się wyłącznie w ośrodkach materialnych - są to bowiem rozchodzące się zaburzenia tego ośrodka.

Wszystkie fale charakteryzujemy za pomocą wspólnych wielkości:
długości fali;
prędkości rozchodzenia się fali;
częstotliwości fali;
okresu drgań;
amplitudy drgań;
natężenia fali.
Wielkości te (oprócz amplitudy) wyrażamy w takich samych jednostkach.
Amplitudę drgań wyrażamy w różnych jednostkach dla różnego rodzaju fal.

Między wymienionymi wielkościami zachodzą wspólne dla fal zależności:
długość fali równa jest iloczynowi prędkości fali i okresu drgań;
długość fali równa jest ilorazowi prędkości fali przez częstotliwość drgań;
natężenie fali równe jest ilorazowi energii przenoszonej przez falę przez pole powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali i przez czas przechodzenia fali przez tę powierzchnię;
częstotliwość fali równa jest odwrotności okresu drgań.

Równanie fali harmonicznej płaskiej ma postać:

s = A sin (ω t - k x + φ₀)

λ - długość fali (w układzie SI w metrach - m)
φ₀ - faza początkowa (wielkość niemianowana)
A - amplituda fali (jednostka tej wielkości zależy od rodzaju fali i od sposobu jej opisu -np. dla fal dźwiękowych może to być ciśnienie akustyczne, i wtedy wyraża się w paskalach) k - liczba falowa

Stosuje się też pojęcie "wektora falowego" - dla fali rozchodzącej się w trzech wymiarach. Wektor falowy ma kierunek zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali i wartość daną przez k. 

Prędkość fazowa, jest to prędkość rozchodzenia się zaburzenia w fali. Szybkość, z jaką maksimum wychylenia przebywa całą długość fali,

i może być większa od prędkości światła w ośrodkach, gdzie
. Nie oznacza to jednak możliwości przekazu informacji z szybkością większą od światła: sinusoida ma z góry znaną postać na końcu i początku kanału transmisyjnego i żadnej informacji nie można przesłać z jej pomocą. Szybkość przepływu informacji (np. czoła fali sinusoidalnej po włączeniu dla niej niezerowej amplitudy) określa prędkość grupowa. Takie czoło fali w myśl analizy fourierowskiej składa się z szeregu pomniejszych fal, które skupiają się, tworząc czoło fali sinusoidalnej. Na końcu kanału transmisyjnego takie fale pojawiają się natychmiast, lecz nie można ich wykryć, gdyż w połączeniu z pozostałymi falami fourierowskimi wygaszają się. Dopiero czoło fali, przemieszczające się z prędkością grupową stanowi informację wykrywalną.

Prędkość grupową określa równanie

Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę. Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa. Pojęcie prędkość grupowa wprowadzono w celu odróżnienia od prędkości przemieszczania się grzbietów fali nazywanej prędkością fazową.

W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła. W ośrodkach materialnych prędkość grupowa światła jest mniejsza od prędkości światła w próżni.

87. Zjawisko Dopplera

- zjawisko obserwowane dla fal, polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości, a tym samym i długości fali, wysyłanej przez źródło fali oraz zarejestrowanej przez obserwatora, który porusza się względem źródła fali. Dla fal rozprzestrzeniających się w ośrodku, takich jak na przykład fale dźwiękowe, efekt zależy od prędkości obserwatora oraz źródła względem ośrodka, w którym te fale się rozchodzą. W przypadku fal propagujących się bez udziału ośrodka materialnego, jak na przykład światło w próżni (w ogólności fale elektromagnetyczne), znaczenie ma jedynie różnica prędkości źródła oraz obserwatora.

Aby zrozumieć efekt Dopplera, trzeba zdać sobie sprawę, że wysyłany dźwięk nie staje się ani wyższy ani niższy. Źródło fali wysyła kolejne fale z takim samym okresem. Jeżeli źródło nie porusza się, odległość między tymi falami (grzbietami fali) ma pewną stałą wartość, a gdy źródło się porusza, odległość między kolejnymi grzbietami zmienia się, bo wysyłający "biegnie" za wysłaną falą, co odbieramy jako zmianę wysokości dźwięku u nieruchomego odbiorcy. Na Rysunku 1 widać, że między szczytami fal jest różna odległość, w zależności od kierunku, w którym porusza się źrródło fali porusza się względem ośrodka, w którym rozchodzi się fala, a obserwator spoczywa względem tego ośrodka. W czasie równym jednemu okresowi fali T₀ źródło przebywa drogę:

Długość fali emitowanej przez źródło jest powiązana z długością fali odbieranej następującym wzorem (por. rys. 2):

Zależności dla fal:

skąd:

Prowadzi to do wzoru na częstotliwość fali odbieranej:

gdzie:

• s - droga,

• T₀ - okres fali generowanej przez źródło,

• λ - długość fali odbieranej przez obserwatora,

• λ₀ - długość fali generowanej przez źródło,

• v - prędkość fali,

• f - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,

• f₀ - częstotliwość fali generowanej przez źródło,

• v_zr - składowa prędkości źródła względem obserwatora, równoległa do kierunku łączącego te dwa punkty.

Fale dźwiękowe to rodzaj fal ciśnienia. Ośrodki, w których mogą się poruszać, to ośrodki sprężyste (ciało stałe, ciecz, gaz). Zaburzenia te polegają na przenoszeniu energii mechanicznej przez drgające cząstki ośrodka (zgęszczenia i rozrzedzenia) bez zmiany ich średniego położenia. Drgania mają kierunek oscylacji zgodny z kierunkiem ruchu fali (fala podłużna).

W przypadku złożenia dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach efekt można przedstawić w formie matematycznej.

Dla przypadku dwóch drgań o jednakowych amplitudach i częstościach ω₁,ω₂ przebieg drgań opisany jest funkcjami:

Przyjmuje się oznaczenia:

Powstające w wyniku złożenia drganie można traktować jako drganie częstość równej średniej arytmetycznej częstości drgań składowych oraz powoli zmiennej amplitudzie, z częstością równą połowie różnicy częstości drgań składowych. Co można ujać matematycznie:

Efektem fizycznym takiego sumowania jest to, że drgania zachowują swój szybkooscylujący charakter (tu funkcja sinus), zachodzi jednocześnie powolna zmiana amplitudy (tu funkcja cosinus) sygnału, co dla dźwięku powoduje słyszalną zmianę głośności w czasie. Efekt dudnień jest wykorzystywany do:

• Strojenia instrumentów muzycznych, ponieważ im dwie częstotliwości są sobie bliższe, tym dudnienie jest wyraźniejsze i znika dopiero przy idealnym dobraniu częstotliwości.

• Do zmiany częstości odbieranych drgań w odbiornikach fal radiowych (superheterodyna). Obwód elektryczny dokonujący zmiany częstotliwości to mieszacz

• Do określania częstotliwości drgań lub fal poprzez sumowanie fali odebranej i wzorcowej, stosowane np. w radarach doplerowskich.

Wykres sumy funkcji sin(x) i sin(0.95*x) wraz z obwiednią cos(0.025*x).

88. Zasada superpozycji fal. Rozkład Fouriera. Fala Stojąca.

Superpozycja fal to sumowanie się kilku niezależnych ruchów falowych. Dla małych amplitud fal (małych natężeń fali) prawdziwa jest zasada superpozycji mówiąca, że fala wypadkowa, będąca wynikiem jednoczesnego nałożenia się kilku ruchów falowych, jest sumą fal składowych.

Prawo to nie zachodzi w ośrodkach nieliniowych znacznych natężeń fal. Wówczas fala wypadkowa nie jest zwykle sumą fal składowych i nie można mówić o superpozycji fal, choć nadal następuje ich nakładanie się. Analiza FourieraJeśli prąd w obwodzie zmienia sięniesinusoidalnie, to wypromieniowane pola Ei Bbędąopisane takąsamą, niesinusoidalną, funkcjączasu. Ale funkcjęokresowąmożna rozłożyćna nieskończonąsumęfal sinusoidalnych (rozkład Fouriera funkcji okresowej F(t)):F(t)=Ao++Np. funkcjępiłokształtnąo okresie τ() można rozłożyć:F(t) = (jużdla n=9 dobre przybliżenie) to znaczy, że aby wysłaćfalępiłokształtnąo okresie , trzeba wytworzyćprąd o postaci :J =Jo(zastosowanie zasady superpozycji)(sin)nnAntω=∞Σ1(cos)nnBntω=∞Σ1ω=2πτ(sin)11nntnω=∞Σω=2πω(sin)11ntnω=∞Σ

Fala stojąca — fala, której pozycja w przestrzeni pozostaje niezmienna. Fala stojąca może zostać wytworzona w ośrodku poruszającym się względem obserwatora lub w przypadku interferencji dwóch fal poruszających się w przeciwnych kierunkach.

Fala stojąca to w istocie drgania ośrodka nazywane też drganiami normalnymi. Idealna fala stojąca nie jest więc falą - drgania się nie propagują. Miejsca gdzie amplituda fali osiąga maksima nazywane są strzałkami, zaś te, w których amplituda jest zawsze zerowa węzłami fali stojącej. Rysunek przedstawia idealną (zupełną) falę stojącą. W przypadkach rzeczywistych zwykle porusza się ona tam i z powrotem w ograniczonym obszarze przestrzeni (niezupełna fala stojąca).

Szczególnym przypadkiem interferencji jest interferencja dwóch fal o tych samych częstotliwościach i amplitudach biegnących w przeciwne strony. Ma ona najczęściej miejsce podczas rozchodzenia się fal w rurach, prętach, strunach itp. A więc tam, gdzie fale poruszają się naprzeciw siebie. W obszarze ich wzajemnego przenikania się powstaje fala stojąca. Bardzo łatwo taką falę możesz sam wytworzyć. Wystarczy wąż gumowy jednym końcem przymocować do ściany a drugim potrząsnąć wprawiając ten koniec w drgania. Wzdłuż węża w kierunku ściany rozchodzić się będzie fala. Podczas odbicia od ściany faza zmieni się na przeciwną (wychylenie zmieni znak). Jeżeli do ściany dochodzi dolina, to po odbiciu wraca ona jako grzbiet (rys. 26). Z czego wynika, że element węża leżący tuż przy ścianie nie będzie wykonywał żadnych drgań. W wyniku nałożenia się fali odbitej na padającą zaobserwujemy takie elementy węża, których amplituda drgań osiąga wartość największą, są to strzałki fali, i elementy pozostające cały czas nieruchomo - węzły fali.

Równanie fali stojącej będącej sumą dwu fal biegnących przemieszczających się w przeciwnych kierunkach

dla:

- wartość bezwzględna z B(x) jest amplitudą drgań w miejscu x.

Amplituda drgań osiąga największe wartości równe 2A dla:

- w tych miejscach ośrodek drga najsilniej,

a najmniejsze równe zero

- odpowiadają miejscom niedrgającym,

gdzie n = 0,1,2...

• Teraz możemy policzyć moc średnią:

nazywaną natężeniem fali.

(dla fal trójwymiarowych natężenie fali jest średnią mocą przenoszona przez metr kwadratowy czoła fali).

Dla wszystkich rodzajów fal natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy.

88 Zasada Hyugensa

Dyfrakcja fal mechanicznych.  W danym ośrodku fale rozchodzą soę po liniach prostych. Gdy jednak fala trafi na jakąś przeszkodę, kierunek jej rozchodzenia się ulega na ogół zmianie. Zmienia się też kształt powierzchni falowej fali, która przeszła przez przeszkodę. Zjawisko to nazywamy dyfrakcją, czyli ugięciem fali.

Wyjaśnieniem zjawiska dyfrakcji i wielu innych zjawisk falowych zajmował się fizyk, astronom i matematyk holenderski Christian Huyhens (1629 - 1695). W roku 1690 sformułował on zasadę, którą nazwano zasadą Huygensa (od nazwiska uczonego). Brzmi ona następująco:

Każdy punkt ośrodka sprężystego po dojściu do niego zaburzenia staje się źródłem wtórnej fali kulistej.

Zasada ta może służyć do wyjaśnienia wielu zjawisk ruchu falowego.

Z zasady Huygensa wynika, że nie tylko punkt znajdujący się w źródle fali przekazuje energię cząsteczkom sąsiednim (jest źródłem fali). Jeżeli w pewnym punkcie ośrodka wytworzymy drgania, to każdy inny punkt, do którego dotrze fala stanie się źródłem nowej fali kulistej. Te nowe (wtórne) fale nakładając się na siebie tworzą wypadkową powierzchnię falową (rys. 29 a i b

Dyfrakcja fali może być również ilustracją zasady Huygensa. Gdy fala płaska trafi na przeszkodę ze szczeliną mniejszą lub o wielkości porównywalnej z długością fali, to szczelina ta staje się źródłem nowej fali widocznej za przeszkodą - fali kulistej (rys. 30). Zaburzenie dochodzące do przeszkody nie może wprawić w drgania zbyt masywnych cząsteczek przegrody, natomiast wprawia w drgania cząsteczki wewnątrz szczeliny. Miejsce to staje się więc źródłem nowej fali kulistej. Zauważ jeszcze, jak zmienia się kierunek fali po przejściu przez szczelinę. Z lewej strony przeszkody promienie biegły do siebie równolegle, czyli kierunek fali był jeden, w prawej części promienie są rozbieżne. Takie zjawisko nazywamy dyfrakcją. 

Ugięcie fali występuje tym wyraźniej, im mniejsze są wymiary szczeliny w stosunku do długości padającej fali; jeżeli otwór jest bardzo szeroki zjawisko praktyczne nie występuje.

Dyfrakcja fal zachodzi nie tylko przy przejściu przez małą szczelinę czy otwór, zachodzi również wtedy, gdy fale na swojej drodze natrafią na niewielką przeszkodę np. fale na wodzie natrafią na pal wbity w ziemię. Uginanie fal polega w tym przypadku na tym, że fale omijają jakby tę przeszkodę i biegną dalej tak, jakby jej nie było.

Jeżeli w przegrodzie zrobimy dwie szczeliny blisko od siebie odlegle to fala dochodząca do obu szczelin ulegnie ugięciu a następnie dwie fale już kuliste w wyniku interferencji dadzą obraz schematycznie przedstawiony na rys. 31.

92. Interferencja to zjawisko nakładania się fal. Interferencja jest przypadkiem ogólniejszego zjawiska superpozycji fal będącej przykładem superpozycji rozwiązań równań różniczkowych. W fizyce wyróżnia się dwa rodzaje interferencji. Optyka najczęściej rozpatruje przypadek interferencji fal sinusoidalnych o zbliżonej częstotliwości i amplitudzie fali. Akustyka i analiza sygnałów częściej zajmują się nakładaniem się fal o złożonych kształtach.

Obserwacja interferencji- Dla zjawiska interferencji, obszar rozchodzenia się fal składa się z fragmentów, gdzie zupełnie nie ma oscylacji i miejsc, w których jej amplituda ulega podwojeniu. Aby zaobserwować maksima i minima interferencyjne, konieczne jest, aby źródła fal były koherentne, czyli miały tą samą fazę, częstotliwość oraz długość). Białe światło Słońca nie spełnia takiego warunku i dlatego najłatwiej zaobserwować interferencję światła lasera. Doświadczenie Younga pozwala na obserwację tego zjawiska dla światła białego.  Interferencja fal sferycznych pochodzących z rozmieszczonych na różne sposoby źródeł

Najprostszą metodą zaobserwowania interferencji dwóch przebiegów okresowych jest nałożenie na siebie dwóch grzebieni lub dwóch zwojów firanki najlepiej siatkowej bez żadnego wzoru. Widać wówczas wyraźnie, że w pewnych miejscach światło prześwituje zaś w innych jest całkowicie zasłonięte. Pojawiają się wzory zbliżone do tych dla interferencji fal sinusoidalnych. Ze względu na inny mechanizm powstawania nazywane są one prążkami Moire'a.

89,91

Prawo załamania światła Zmiana kierunku promieni świetlnych podczas załamania nie jest przypadkowa. Opisuje to prawo załamania światła nazywane niekiedy prawem Snelliusa (patrz - biografie: Snell van Royen). Prawo załamania światła łączy ze sobą dwa kąty - kąt padania na powierzchnię rozgraniczającą dwa ośrodki i kąt załamania powstający gdy promień przejdzie granicę i zacznie się rozchodzić w drugim ośrodku (patrz rysunek niżej).

Warto zwrócić uwagę na fakt, że kąty padania i załamania są liczone od normalnej do powierzchni, a nie od samej powierzchni. (Więcej informacji na temat liczenia kątów od normalnej znajduje się w rozdziale Kąty padania, odbicia, załamania)

Prawo załamania - postać 1 - podstawowa
	α - kąt padania β - kąt załamania v1 - prędkość światła w ośrodku 1 v2 - prędkość światła w ośrodku 2
Słownie prawo załamania można sformułować następująco: Stosunek sinusa kąta padania, do sinusa kąta załamania jest dla danych ośrodków stały i równy stosunkowi prędkości fali w ośrodku pierwszym, do prędkości fali w ośrodku drugim. Kąty padania i załamania leżą w tej samej płaszczyźnie.

Odbicie światła

Światło padające na granicę dwóch ośrodków może ulec odbiciu. Dzieje się tak bardzo często, przy czym dodatkowo część wiązki świetlnej może dodatkowo ulegać załamaniu (patrz zjawisko załamania). Odbiciem rządzi dość proste prawo zwane prawem odbicia.

Prawo odbicia światła

β = α

Kąt odbicia równy jest kątowi padania. 
Kąty -  padania i odbicia leżą w jednej płaszczyźnie.

Typowe, najbardziej nam znane odbicie zachodzi wtedy, gdy drugi ośrodek jest w ogóle nieprzepuszczalny dla światła. Jeżeli dodatkowo w tym drugim ośrodku światło nie jest pochłaniane, to cała wiązka ulega odbiciu. W ten sposób otrzymujemy zwierciadło.

Całkowite wewnętrzne odbicie, jego wykorzystanie

Cechy światła białego, długości wszelkich jego fal Całkowite wewnętrzne odbicie, jest to odbicie światła które dochodzi na granicy dwóch ośrodków przezroczystych cechujących się współczynnikami załamania n1 oraz n2, n1>n2. Zjawisko zauważyć można w ośrodku o większym współczynniku załamania. Opierało ono na odbiciu światła dochodzącym bez utraty energii, nie asystuje mu załamanie światła. Zauważamy go w momencie gdy kąt padania ( kąt zawarty między normalną do powierzchni a kierunkiem promienia światła) jest dużo większy od tak zwanego kąta granicznego całkowitego wewnętrznego odbicia. Wartość tegoż kąta przedstawiona jest następującym wzorem

_gr =arcsin(n2/n1).

Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia wykorzystywane w światłowodach, a także stosowane jest w kilku urządzeniach optycznych, np. w poniektórych budowach refraktometrów, czy w pryzmatach całkowitego odbicia.

Światłowód jest to falowód wykorzystywany do przekazywania promieniowania świetlnego. Najpierw był on w formie metalowych rurek o wypolerowanych ścianach, które wykorzystywane były do przekazywania promieniowania podczerwonego. Aktualnie w postaci włókien dielektrycznych - często szklanych, z otuliną z materiału sztucznego, cechującego się małym wskaźnikiem załamania światła aniżeli wartość tego wskaźnika dla szkła. Promień światła rozbiega się w światłowodzie po łamanej drodze. Świadczy to o tym, że wewnątrz ulega następnym odbiciom (w przykładzie światłowodu z włókien są to odbicia całkowite wewnętrzne).

Zasada Fermata

Wyprowadzenie zasady załamania z zasady Fermata.

Zasada Fermata w optyce, której autorem jest Pierre de Fermat jest szczególnym przypadkiem zasady najmniejszego działania. Treść jej można sformułować następująco:

Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa zawsze lokalnie ekstremalną drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzeba czasu najkrótszego, bądź najdłuższego z możliwych.

W praktyce najczęściej wybór pada na drogę, której przebycie zabiera najmniej czasu, niemniej powszechne, acz rzadziej obserwowane są przypadki wyboru drogi 'najdłuższej' (np. bieg promienia odbijającego się od powierzchni wklęsłego zwierciadła kulistego).Na podstawie zasady Fermata można wyprowadzić prawo odbicia i załamania.

Przykład: wyprowadzenie prawa załamania:Światło biegnie z punktu A do punktu B. Chcemy odnaleźć krzywą, po której się ono porusza. Załóżmy, że mamy dwa ośrodki optyczne o bezwzględnym współczynniku załamania n₁ i n₂. Wtedy prędkość światła w każdym z tych ośrodków wynosi odpowiednio:
i
(rysunek). Oznaczmy przez x punkt, w którym światło przechodzi przez granicę dwóch ośrodków (jasne jest, że najszybszą drogą dotarcia do tego punktu w jednorodnym ośrodku jest linia prosta). Czas potrzebny na przebycie tej drogi to:

Zatem:

92. Doświadczenie Younga, koherencja fal. Interferometr.

Doświadczenie Younga - eksperyment polegający na przepuszczeniu światła poprzez dwa pobliskie otwory w przesłonie i rzutowaniu na ekran. Na ekranie wskutek interferencji tworzą się charakterystyczne prążki potwierdzające falową naturę światła. Po raz pierwszy eksperyment ten wykonał około roku 1805 Thomas Young, fizyk angielski. Bardziej widowiskowy i łatwiejszy sposób wykonania tego doświadczenia, polega na użyciu siatki dyfrakcyjnej, czyli płytki ze szkła, na której gęsto zarysowane są rysy. Obraz interferencyjny widoczny w tym przypadku na ekranie jest znacznie wyraźniejszy i jaśniejszy niż przy użyciu jedynie dwóch szczelin.

schemat doświadczenia Younga

Thomas Young użył w swoim eksperymencie nieprzezroczystego materiału, w którym wyciął dwie bardzo małe dziurki. Jednakowe światło (tzn pochodzące z tego samego źródła) interferowało na szczelinach i tworzyło na ekranie umieszczonym po drugiej stronie nieprzezroczystego materiału obraz interferencyjny w postaci kolorowych prążków. Doświadczenie w swojej pierwotnej formie nie budziło wielkich kontrowersji w świecie fizyki, jednak późniejsze jego modyfikacje postawiły przed fizykami znaki zapytania. Okazało się bowiem, że nawet pojedyncze fotony wysyłane przez szczeliny w znacznych odstępach czasu, które nie miały prawa wzajemnie ze sobą interferować, tworzyły za szczelinami na światłoczułym materiale wzór interferencyjny (pionowych prążków). Efekt ten będąc jedną z manifestacji kwantowej natury światła jest często używany do objaśniania podstaw mechaniki kwantowej. W kwantowo-mechanicznym podejściu efekt interferecji spowodowany jest nakładaniem się funkcji falowej opisującej stan fotonu. Rozwijane listy "Maksima" i "Minima" podają obliczone wartości kątów odpowiednio dla maksimów natężenia (prążków jasnych) i minimów natężenia (prążków ciemnych) zgodnie z warunkami:

d sin _max  =  k_max 

d sin _min  =  (k_min + ½) 

d	... odstęp między środkami szczelin
max	... kąt określający położenie jasnego prążka na ekranie
kmax	... rząd maksimum (0, 1, 2, ...)
min	... kąt określający położenie ciemnego prążka na ekranie
kmin	... rząd minimum (0, 1, 2, ...)
	... długość fali

Koherencja fal - (spójność fal) właściwość kilku fal wiązana pierwotnie ze zjawiskiem interferencji fal. Uznawano, że fale są spójne, jeśli fale składowe dają stały w czasie obraz interferencyjny. Gdy opracowano metody generowania i detekcji fal o bardzo krótkim czasie trwania problem spójności zaczęto rozpatrywać jak problem statystyczny.

Interferometr — przyrząd pomiarowy oparty na zjawisku interferencji fal. Zasada działania opiera się na nakładaniu na siebie dwóch fal spójnych, co prowadzi do powstania obszarów, wygaszania oraz wzmacniania drgań. Obserwacja powstających wzorów interferencyjnych umożliwia po odpowiednich obliczeniach uzyskanie bardzo dokładnych pomiarów.

W ten sposób można mierzyć odległość albo określić przestrzenne wymiary badanego obiektu. Interferometry optyczne wykorzystują do badań fale świetlne i mają najszersze zastosowanie. Niekiedy do pomiarów interferometrycznych wykorzystuje się mikrofale lub elektrony, które w skali mikroświata, mogą być traktowane jak fala materii.

93.Soczewka to właściwie nic innego tylko lupa, choć gdy jest wykorzystywana w przyrządach optycznych, to pozbawiona jest samodzielnej oprawki.  Rzeczywiste soczewki mogą mieć kształty odbiegające nieco od wycinka sfery, jednak nie zmienia to innych podstawowych cech - posiadanie głównej osi optycznej i ogniska.

  

Główna oś optyczna jest osią symetrii soczewki i przebija ją w najbardziej spłaszczonym miejscu. ZDOLNOŚĆ SKUPIAJĄCA




Odwrotność ogniskowej jest miarą zdolności skupiającej soczewki. Im krótsza jest ogniskowa f soczewki, tym większa jest zdolność skupiająca Z, którą wyraża się w dioptriach. Jedna dioptria jest zdolnością skupiającą soczewki o ogniskowej 1m.
W praktyce są często stosowane układy złożone z kilku soczewek działające w ten sposób, że promienie po przejściu przez jedną z nich są kierowane na następną. Można wykazać, że w przypadku soczewek cienkich, umieszczonych blisko siebie zdolność skupiająca układu jest równa sumie algebraicznej zdolności skupiającej jego poszczególnych soczewek.



OBRAZY W SOCZEWKACH

• soczewka skupiająca
  
  
  
  Obraz: rzeczywisty, pomniejszony, odwrócony
  
  
  
  Obraz: rzeczywisty, odwrócony, tej samej wielkości
  
  
  
  Obraz: rzeczywisty, odwrócony, powiększony
  
  
  
  Obraz nie powstaje
  
  
  
  Obraz: pozorny, powiększony, prosty

• soczewka rozpraszająca
  
  
  
  Obraz: pozorny, pomniejszony, prosty

• Równanie soczewki

Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta
, więc:




Trójkąt
jest podobny do trójkąta CDF. Z tego wynika, że:




Porównując oba otrzymane równania, otrzymujemy:




Dzielimy obie strony przez iloczyn xyf:

Zwierciadło jest to wypolerowana powierzchnia metalu, szkła (lustra) lub wody.

Zwierciadła dzielimy na:

• płaskie, np. lustro

• kuliste (wklęsłe i wypukłe)

ZWIERCIADŁO PŁASKIE

x - odległość przedmiotu od zwierciadła
y - odległość obrazu od zwierciadła

W zwierciadle płaskim powstaje obraz pozorny, to znaczy, że powstał w wyniku przecięcia się przedłużeń promieni odbitych

. ZWIERCIADŁO KULISTE

• wklęsłe

O - środek krzywizny, czyli środek kuli, z której zwierciadło zostało wycięte
r - promień krzywizny, czyli promień kuli, z której zwierciadło zostało wycięte
F - ognisko zwierciadła, czyli punkt przecięcia promieni odbitych
f - ogniskowa zwierciadła, czyli odległość ogniska od zwierciadła

Trójkąt OAF jest równoramienny, więc OF=FA.
Ze względu na niewielkie rozmiary zwierciadła w porównaniu do promienia, można przyjąć, że
, czyli:

• wypukłe
  
  Zwierciadło wypukłe ma ognisko pozorne.

OBRAZY W ZWIERCIADŁACH:

• zwierciadło wklęsłe
  
  
  
  Obraz: rzeczywisty, pomniejszony, odwrócony
  
  
  
  
  Obraz: rzeczywisty, odwrócony, tej samej wielkości
  
  
  
  
  Obraz: rzeczywisty, odwrócony, powiększony
  
  
  
  
  Obraz nie powstaje
  
  
  Obraz: pozorny, powiększony, prosty

• zwierciadło wypukłe

Obraz: pozorny, pomniejszony, prosty

Równanie zwierciadła kulistego

Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta
, więc:



Natomiast trójkąt ABO jest podobny do trójkąta
, więc:



Porównując obie równości otrzymujemy:



Dzielimy obie strony przez iloczyn xyr:


Korzystając z równości:


otrzymujemy równanie zwierciadła kulistego.

POWIĘKSZENIE
Powiększeniem nazywamy wartość bezwzględną ilorazu odległości obrazu od zwierciadła do odległości przedmiotu od zwierciadła.


Stosunek y/x jest równy stosunkowi wysokości obrazu w zwierciadle do wysokości przedmiotu.
Narysujmy wykres powiększenia od x:

94. dyfrakcja. Siatka dyfrakcyjna jest to cienka płytka z wielką liczbą malutkich szczelin (do ponad 1000 na 1mm) o takiej samej wielkości i w równej odległości od siebie. Szczeliny te powodują ugięcie przechodzącej wiązki światła - zachodzi jej dyfrakcja (rysunek poniżej). Zebrane przez soczewkę poszczególne wiązki mogą ulegać interferencji dając na ekranie obraz interferencyjno-dyfrakcyjny.

Siatkę dyfrakcyjną odkrył Joseph von Fraunhofer. Jest to zbiór dużej liczby równoległych wąskich szczelin oddzielonych nieprzeźroczystymi przerwami. Odległość między szczelinami (ich środkami) nazywa się stałą siatki (d). Zależność wartości stałej siatki dyfrakcyjnej i kąta ugięcia α przedstawia poniższy wzór:

, gdzie:

λ - długość fali n - rząd ugięcia

Siatkę dyfrakcyjną  obecnie wykorzystuje się głównie w spektrografii. Dyfrakcja to zjawisko fizyczne zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód oraz w ich pobliżu. Zjawisko zachodzi dla wszystkich wielkości przeszkód, ale wyraźnie jest obserwowane dla przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali. Dyfrakcja używana jest do badania fal, oraz obiektów o niewielkich rozmiarach, w tym i kryształów, ogranicza zdolność rozdzielczą układów optycznych.Jeżeli wiązka fal przechodzi przez szczelinę lub omija obiekt, to zachodzi zjawisko ugięcia. Zgodnie z zasadą Huygensa fala rozchodzi się w ten sposób, że każdy punkt fali staje się nowym źródłem fali, tak powstałe fale rozchodzą się jako fale kuliste a fala w każdym punkcie jest sumą wszystkich fal (interferencja). Za przeszkodą pojawią się obszary wzmocnienia i osłabienia rozchodzących się fal. Zjawisko dyfrakcji występuje dla wszystkich rodzajów fal np. fal elektromagnetycznych, fal dźwiękowych oraz fal materii. Jeden z najprostszych przykładów zjawiska dyfrakcji zachodzi, gdy równoległa wiązka światła (np z lasera) przechodzi przez wąską pojedynczą szczelinę zwaną szczeliną dyfrakcyjną. Zgodnie z zasadą Huygensa każdy punkt szczeliny o szerokości d, jest nowym źródłem fali. Między źródłami zachodzi interferencja, co powoduje wzmacnianie i osłabianie światła rozchodzącego się w różnych kierunkach. Dla pojedynczej szczeliny jasność w funkcji kąta odchylenia od osi przyjmuje postać:

I - intensywność światła,

• I₀ - intensywność światła w maksimum czyli dla kąta równego 0,

• λ - długość fali,

• d - szerokość szczeliny,

• funkcja sinc(x) = sin(x)/x.

Przepuszczenie fali przez szczelinę dyfrakcyjną pozwala na określenie kierunku rozchodzenia się fali. Im mniejsza jest szerokość szczeliny, tym dokładniej można to zrobić. Jednocześnie zmniejszanie szczeliny powoduje, że trudniej jest określić energię fali, ponieważ rozprasza się ona na większy obszar. W efekcie iloczyn błędu określenia energii oraz błędu pomiaru kierunku musi być większy od pewnej stałej. Oznacza to, że istnieje granica dokładności pomiaru parametrów rozchodzącej się fali. Zjawisko to ma fundamentalne znaczenie, jeżeli weźmie się uwagę, że każda materialna cząstka jest falą. Zjawisko to jest potwierdzeniem zasady nieoznaczoności Aby wzmocnić falę przechodzącą przez szczelinę stosuje się w optyce układy wielu takich szczelin, nazywane siatką dyfrakcyjną Efekty optyczne od każdej szczeliny dodają się, przez co zachowanie fali zależy tylko od stałej siatki. Zjawisko dyfrakcji zachodzi również, kiedy fale przechodzą przez wiele blisko siebie położonych warstw. Jeżeli odległość między warstwami jest stała, kolejne maksima fali można opisać zależnością:

,d - stała siatki,

• θ - kąt od osi wiązki światłą,

• λ - długość fali,

• m - przyjmuje wartości od 1 do nieskończoności

Dla promieniowania rentgenowskiego zjawisko to pozwala na obserwacje kolejnych warstw kryształu. W świetle widzialnym dyfrakcję na warstwach można obserwować jako rozproszenie światła białego na powierzchni płyty CD. Kolejne ścieżki tworzą, następujące po sobie warstwy, na których fale o różnych kolorach, załamują się pod różnym kątem. W efekcie światło białe rozdziela się na poszczególne barwy.

Jeżeli prześledzimy zachowanie się fali, która omija przeszkodę mniejszą niż dwie długości fali, okaże się, że fala nie reaguje na tak mały obiekt. Fakt ten powoduje konieczność stosowania krótszych fal do obserwacji mniejszych przedmiotów. Aby obserwować strukturę krystaliczną materii, konieczne jest użycie fal rentgenowskich. Zjawisko dyfrakcji pozwoliło na rozwój krystalografii rentgenowskiej, dzięki której odkryto strukturę spirali DNA. W procesie produkcji układów scalonych wykorzystuje się światło do rysowania kształtu obwodu elektrycznego na podłożu. Zjawisko dyfrakcji zmusza producenta mikroprocesorów do zastosowania fal dwa razy krótszych niż, konieczna precyzja struktury układu. Dla obwodów o dokładności 0,13 μm, oznacza to konieczność posłużenia się ultrafioletem. Jeżeli układy scalone mają się rozwijać zgodnie z prawem Moore'a, konieczne jest wdrożenie nowych technologii opierających się na falach mniejszej długości. Światło ulega największemu załamaniu w narożach i zakrętach ścieżek maski, konstruktorzy obecnie tak modyfikują maskę w narożach otworów i na zakrętach ścieżek by zminimalizować dyfrakcję, długość światła dobiera się tak by pierwsze prążki interferencyjne równoległych ścieżek nie nakładały się, poprawiono własności emulsji. Po dokonaniu tych zmian ww kryterium długości fali udało się złagodzić.

Siatka dyfrakcyjna to dużo (a w doświadczeniu Younga tylko dwie) równoległych, nieprzepuszczalnych dla światła linii, umieszczonych w równych odstępach i w bardzo dużej gęstości. Fale świetlne przechodzą przez przestrzenie między tymi liniami i interferują ze sobą. Na ustawionym za siatką dyfrakcyjną kartoniku tworzą się obszary jaśniejsze i ciemniejsze, w których średni kwadrat amplitudy jest wzmocniony albo osłabiony.

Prawo Wulfa-Bragga - zależność wiążąca stałą sieci krystalicznej d od długości padającego promieniowania i kąta odbicia. Jest jednym z fundamentalnych wzorów stosowanych w rentgenografii strukturalnej i rozmaitych wariantach dyfraktometrii, umożliwiających ustalenie struktury analizowanych substancji na podstawie analizy ich obrazów dyfrakcyjnych.Jej ostateczną postać podali William Henry Bragg i jego syn William Lawrence Bragg w 1913 r.:

n - liczba naturalna określająca kolejne płaszczyzny sieciowe

• λ - długość fali promieniowania rentgenowskiego

• d - odległość międzypłaszczyznowa, albo ogólnie średnia odległość powtarzalnych warstw atomów, na których zachodzi rozpraszanie

• θ - kąt odbłysku mierzony jako kąt między wiązką promieni pierwotnych a płaszczyzna odbijającą

Rozpatrywane wiązki zostają odbite w tym samym kierunku, każda od innej płaszczyzny. Jeżeli różnica dróg wiązek będzie równa całkowitej wielokrotności długości fali, to w wyniku interferencji nastąpi wzmocnienie fali odbitej (rysunek z lewej), a gdy różnica jest równa wielokrotności i połowie długości fali, nastąpi wygaszenie fal.

95. Polaryzacja.

polaryzacja to własność fali poprzecznej (np. światła). Fala spolaryzowana oscyluje tylko w pewnym wybranym kierunku. Fala niespolaryzowana oscyluje we wszystkich kierunkach jednakowo. Fala niespolaryzowana może być traktowana jako złożenie wielu fal drgających w różnych kierunkach. W naturze większość źródeł promieniowania elektromagnetycznego wytwarza fale niespolaryzowane. Polaryzacja występuje tylko dla fal rozchodzących się w ośrodkach, w których drgania ośrodka mogą odbywać się w dowolnych kierunkach prostopadłych do rozchodzenia się fali. Ośrodkami takimi są trójwymiarowa przestrzeń lub struna.

Gdy ośrodek fali nie może drgać w dowolnych kierunkach prostopadłych względem rozchodzenia się fali zjawisko polaryzacji jest niemożliwe. Dotyczy to np.: drgań na powierzchni membrany i na granicach faz. Przykładem tego są m.in. fale morskie. Fale dźwiękowe również nie podlegają zjawisku polaryzacji, bo są falami podłużnymi.

Rodzaje polaryzacji

Umieszczone tutaj ilustracje przedstawiają zmiany położenia punktu dla fali mechanicznej lub wektora pola elektrycznego dla fali elektromagnetycznej (niebieski) w czasie oraz jego składowych rzutowanych na dwie prostopadłe osie (czerwony/lewy oraz zielony/prawy) ustawione pod kątem prostym do płaszczyzny czoła fali. Na dole każdego wykresu kolorem fioletowym oznaczono ruch elementu drgającego.

polaryzacja liniowa, drganie odbywa się wzdłuż linii prostej. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań wzdłuż osi X i Y. W przypadku polaryzacji liniowej drgania składowe są w fazie lub w przeciwfazie (180°). Stosunek amplitud drgań składowych określa kierunek drgania a tym samym i polaryzację. Brak jednej ze składowych odpowiada polaryzacji wzdłuż osi. W polaryzacji liniowej przemieszczenie (natężenie pola elektrycznego) punktu w każdym cyklu przechodzi dwa razy przez zero.

polaryzację kołową. Drganie to odpowiada ruchowi po okręgu. Można je rozłożyć na dwa drgania o jednakowych amplitudach ale o fazach przesuniętych dokładnie o 90° lub 270° (-90°). W zależności do tego, czy fazy są przesunięte o 90° czy 270°, mówi się o polaryzacji kołowej prawoskrętnej lub polaryzacji kołowej lewoskrętnej. Wynika to z faktu, że wektor wychylenia może obracać się albo w lewo albo w prawo. W polaryzacji kołowej przemieszczenie (natężenie pola elektrycznego) ma zawsze taką samą wartość, zmienia się tylko kierunek przemieszczenia.

Kąt Brewstera jest to kąt padania, dla którego promień odbity jest całkowicie spolaryzowany liniowo równolegle do płaszczyzny rozdziału ośrodków.

Sir David Brewster (1781-1868) sformułował prawo o polaryzacji światła odbitego.

Jeżeli na granicę ośrodków przeźroczystych pada światło niespolaryzowane pod takim kątem, że promień odbity i załamany tworzy kąt 90°, to światło odbite jest całkowicie spolaryzowane w płaszczyźnie równoległej do granicy ośrodków. Promień załamany jest spolaryzowany częściowo.

Wyprowadzenie wzoru

Warunek Brewstera można zapisać α + β = 90°.
Z prawa Snelliusa:

oraz warunku równości kątów α _B = α (kąt padania równy jest kątowi odbicia) po przekształceniu :

z powyższego wynika wzór na tangens kąta Brewstera:

Graficzna ilustracja kąta Brewstera

Kąta Brewstera ma znaczenie przy procesie polaryzacji przez odbicie.

Wytłumaczenie zjawiska

W myśl fizyki klasycznej światło jest falą elektromagnetyczną, fala padając na ośrodek pobudza w nim elektrony do drgań. Drganie elektronów odbywa się w kierunku drgań wektora elektrycznego fali elektromagnetycznej, kierunek ten jest równoważny kierunkowi polaryzacji. Pobudzony elektron wypromieniowuje energię, ale nie może jej wypromieniować w kierunku równoległym do drgań. Dlatego gdy promień odbity ma kierunek prostopadły do promienia załamanego, to w świetle odbitym nie może być światła, które w promieniowaniu padającym ma kierunek drgań pola elektrycznego równoległy do kierunku promieniowania odbitego. Oznacza to, że światło odbite pod kątem Brewstera zawiera tylko światło o kierunku polaryzacji równoległym do płaszczyzny odbicia.

96. Ciało doskonale czarne.

Ciało doskonale czarne jest pewną idealizacją, mającą duże znaczenie w teorii promieniowania. Przybliżoną jego realizacją jest otwór dużej wnęki sferycznej.

Prawa opisujące emisję promieniowania przez ciało doskonale czarne to prawa: Plancka, Wiena , Zaproponowny rozkład został nazwany potem na jego cześć rozkładem Plancka:

Maksimum funkcji intensywności promieniowania opisuje prawo przesunięć Wiena

Gęstość energii promieniowania (gaz bozonowy dla bezmasowych fotonów) zależy tylko od temperatury
podobną zależność ma strumień promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne

gdzie σ = ca / 4 jest to prawo Stefana-Boltzmanna.

W astronomii prawo Wiena pozwala wyznaczyć efektywną temperaturę powierzchniową gwiazdy i związać ją z barwą gwiazdy. Wypełniające cały Wszechświat promieniowanie tła pozostałe po Wielkim Wybuchu ma widmo takie samo jak promieniowanie ciała doskonale czarnego o temperaturze 2,7 K. Zgodnie z hipotezą Stephena Hawkinga czarna dziura emituje promieniowanie podobnie do ciała doskonale czarnego, co prowadzi do jej powolnego parowania.

97.Efekt fotoelektryczny
napięcie hamujące

Jeżeli na katodę fotokomórki pada promieniowanie o częstotliwości
to z katody wybijane są elektrony o maksymalnej energii kinetycznej
, którą można wyliczyć z wzoru Einsteina

(1)

gdzie
jest pracą wyjścia.

Jeśli potencjał katody
jest wyższy od potencjału anody
to wybite elektrony poruszają się w polu elektrostatycznym pod działaniem siły, która zawraca je w kierunku katody. Aby przez fotokomórkę nie płynął prąd wszystkie wybite z katody elektrony muszą zostać wyhamowane przed dotarciem do anody. Najmniejsza różnica potencjałów pomiędzy katodą i anodą (napięcie hamujące) musi zatem zapewnić zatrzymanie się tuż przed anodą tych elektronów, które w chwili startu z katody maiły maksymalną energię kinetyczną. Najszybszy elektron startujący z katody posiada energię kinetyczną
oraz energię potencjalną w polu elektrycznym.
W granicznym przypadku elektron dociera do anody z zerową prędkością. Na anodzie posiada on jedynie energię potencjalną.
Z zasady zachowania energii otrzymujemy

(2)

Z równania (2) wynika, że aby elektron wyhamował tuż przed anodą różnica potencjałów między katodą i anodą musi spełniać warunek

(3)

gdzie
jest minimalnym napięciem hamującym.

Łącząc równania (1) i (3) otrzymamy minmimalne napięcie hamujące.

EFEKT COMPTONA

III.1. Efekt Comptona

Zjawisko zmiany długości fali promieniowania roentgenowskiego rozpraszanego na swobodnych elektronach.
Zjawisko to stoi u podstaw mechaniki kwantowej.

Rys.III.1. Rozpraszanie kwantu γ na tarczy.

Compton badał rozpraszanie promieniowania roetgenowskiego na tarczy.

I - natężenie promieniowania roentgenowskiego po przejściu przez folię metalową

Rys.III.2. Zależność natężenia promieniowania Rtg po przejściu przez folię od długości fali promieniowania.

- nie zależy od długości fali
promieniowanie Rtg - jego energia 10000 - 100000eV
- rozpraszanie ma miejsce na elektronach swobodnych (tzw. elektronach przewodzenia lub walencyjnych) Siły wiązań metalicznych - elektron swobodny odrywa się od atomu, tworzy gaz elektronowy.

Równanie Comptona:

(III.1.1a)  

(III.1.1b)

Λ - comptonowska długość fali

= 0,0242 Å

(III.1.1b)  

Compton światło traktował jak strumień fotonów.

- pęd elektronu, który uzyskuje po zderzeniu z fotonem

Rys.III.3. Zderzenie fotonu z elektronem. Po zderzeniu foton częściowo przekazuje swój pęd elektronowi.

- prawo zachowania pędu:

(III.1.3) z prawa cosinusów: (III.1.3)

Rys.III.4. Interpretacja wektorowa prawa zachowania pędu.

- prawo zachowania energii:

(III.1.5)

dla fotonu:

(masa spoczynkowa)

z (III.1.5) wynika:

(III.1.6)  

(III.1.7)

Wyprowadzimy równania Comptona z zależności (III.1.7):

(III.1.7a)  

(III.1.7b)  

(III.1.7c)

Z (III.1.4) i (III.1.7c) wynika:

(III.1.8)  

(III.1.8a)  

(III.1.9)

Na podstawie postulatu Plancka:

(III.1.10a)  

(III.1.10b)  

(III.1.11)  

(III.1.12)

Otrzymaliśmy równanie (III.1.1a):

(III.1.13)  

Rozpraszanie na elektronach związanych.

Dualna natura światła - w różnych warunkach obserwujemy jego naturę:

• falową (dyfrakcja, interferencja)

• światło zachowuje się jak strumień cząstek.

Doświadczenie Comptona potwierdza fakt, że materia składa się z elektronów. Powstał problem struktury atomu. Stwierdzono , że atomy składają się co najmniej z elektronów, wykazano również jaki jest ładunek elektronu. Z drugiej strony wiedziano, że atom jest elektrycznie obojętny, wynikało z tego, że muszą istnieć cząstki dodatnie wchodzące w skład atomu98.Model Bohra.

Postulaty Bohra:

1. Elektrony poruszają się wokół jądra atomowego po orbitach kołowych nie emitując energii.

2. Moment pędu elektronu poruszającego się po orbicie może przyjmować tylko wartości dyskretne (skwantowane) wg. wzoru:
   
   We wzorze n oznacza liczbę naturalną (główną liczbę kwantową) n = 1,2,3,4......, h - stała Plancka,
   

3. Gdy elektron porusza się po określonej orbicie, wtedy atom nie pochłania i nie emituje energii. Pochłonięcie kwantu energii powoduje przeniesienie elektronu na orbitę dalszą od jądra (wzbudzenie atomu). Przeskok elektronu z orbity dalszej na bliższą powoduje emisję kwantu energii. Wartość tej energii obliczamy ze wzoru:
   
   
   

E- energia kwantu, E_k - energia orbity dalszej, E_n - energia orbity bliższej.

Obliczenie prędkości elektronu na dowolnej orbicie i jej promienia.Rozwiązując układ równań:

możemy obliczyć prędkość, energię i promień dozwolonych orbit w atomie Bohra.Po obliczeniach wzory mają postać:

Energia atomu Bohra.

Ostatecznie wzór na energię przyjmie postać:

1

Energia pochłanianego lub emitowanego kwantu.

Zgodnie z 3 postulatem mamy:

Obliczmy częstotliwość i długość fali emitowanego kwantu:

Zgodnie z prawem Plancka energia kwantu wyraża się wzorem:
, zatem częstotliwość możemy obliczyć ze wzoru:

co daje
ostatecznie:

Długość fali emitowanego kwantu łatwo obliczyć znając związek między częstotliwością a długością fali. Związek ten ma postać:
, c oznacza prędkość światła. Otrzymujemy więc:

Liczbę
nazywamy stałą Rydberga.

Zatem wzór przyjmie postać:
co po przekształceniu da:

Na podstawie widma atomu wodoru, przedstawionego na rys. 5, można stwierdzić, że  wzbudzony atom wysyła jedynie pewne długości światła. Widmo to nie jest ciągłe, jest dyskretne - przyjmuje jedynie niektóre wartości długości fal. Bohr dostrzegł, że stosowanie dotychczasowej teorii elektrodynamiki C. Maxwella nie pozwala wytłumaczyć nieciągłości widma atomowego. Do tej pory bowiem teoria budowy atomu dopuszczała, by elektrony poruszały się wokół atomu na orbitach o dowolnych promieniach. Zatem przejście elektronu z jednej na inną orbitę prowadziłaby do emisji lub absorpcji promieniowania o dowolnej długości fali tworząc widmo ciągłe. Dodatkowo, zgodnie z zasadami klasycznej elektrodynamiki, elektrony musiałyby tracić energię, co z kolei powodowałoby zmniejszanie się promienia orbity elektronu i w efekcie jego spadek na powierzchnię jądra. Atomy takie musiałyby być nietrwałe. Prace M. Plancka nad kwantową teorią światła, zakładającą istnienie kwantów - ściśle określonych porcji energii, spowodowały, że Bohr przyjął założenie o istnieniu w atomach jedynie ściśle określonych orbit elektronowych zwanych dozwolonymi lub stacjonarnymi. Orbity stacjonarne to specjalne orbity wokół jądra, na których elektrony poruszają się bez utraty energii (rys. 6).

Postulat ten jest równoznaczny z kwantowaniem momentu pędu elektronu, a więc z przyjmowaniem ściśle określonych wartości przez moment pędu elektronu, co można zapisać w postaci równania:
            którym:

m - masa elektronu,

v - prędkość elektronu na orbicie,

r - promień orbity,

n - numer orbity, przy czym n = 1, 2, 3 ...

h - stała Plancka równa 6,625 * 10^-34 J* s.

Nastepny postulat Bohra dotyczył przejścia elektronu z jednej orbity stacjonarnej na inną. Zgodnie z nim podczas zmiany orbity przez elektron atom pochłania lub emituje kwant energii (foton):

                        1-h - stała Plancka

- częstość promieniowania.Stan stacjonarny atomu, w którym elektron porusza się po orbicie o najniższej energii, to stan podstawowy atomu. Na podstawie pierwszego postulatu oraz w oparciu o warunek równowagi przyciągania elektrostatycznego (proton-elektron) i siły odśrodkowej działającej na elektron N. Bohr obliczył parametry ruchu elektronu: energię, prędkość, promień jego orbity oraz częstotliwości światła emitowanego przez wzbudzony atom wodoru. Obliczone wartości były zgodne ze znanymi z dużą dokładnością. Dzięki swej teorii prawidłowo przewidział, że w ultrafioletowej części widma istnieją określone długości fal, które dotychczas nie zostały stwierdzone doświadczalnie. Sukces teorii Nielsa Bohra (1913 r.), laureata Nagrody Nobla z 1922 r., polegał na wyjaśnieniu i ilościowej interpretacji widm atomu wodoru. Niedostatek był związany z trudnościami w interpretacji atomów wieloelektronowych. Wyjaśnienie tych problemów podała następna teoria - mechanika kwantowa.

 

77. Doświadczenie Thomsona.

Naukowcem, który taki model stworzył był nie kto inny jak odkrywca elektronu - Joseph John Thomson. Uważał on, że każdy atom jest zbudowany z jednorodnej kuli elektryczności dodatniej. Wewnątrz tej kuli znajdują się ujemne elektrony. Aby dokładniej wyjaśnić jak wyglądają atomy Thomsona rozpatrzmy taki atom, w którym znajdują się trzy elektrony. Te trzy elektrony znajdujące się w wewnątrz kuli, muszą być w niej rozmieszczone symetrycznie - w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Gdy elektrony są w spoczynku, siły odpychania między nimi muszą być równoważone przez przyciąganie przez dodatnio naładowaną kulę. Odległość spoczywających elektronów od środka kuli, aby siły te równoważyły się wynosi 0,57 promienia kuli. Jeżeli jednak elektrony obiegają środek kuli, to pojawia się dodatkowo siła odśrodkowa, która odsuwa je dalej od środka. W miarę wzrostu prędkości odległość ta zwiększa się, aż w pewnym momencie elektrony opuszczą wnętrze kuli. Przy dalszym wzroście prędkości będą one krążyć po orbitach dookoła kuli, aż w pewnym momencie odlecą od niej - atom ulegnie rozerwaniu. Po dostarczeniu do atomu odpowiedniej energii, która zostanie zamieniona na energię kinetyczną elektronów atom zostanie rozerwany.

Thomson rozpatrywał następnie atomy z coraz większą liczbą elektronów. Musiały one być tak rozłożone, aby była zapewniona równowaga. Dla czterech takich cząsteczek ułożeniem równowagi będą wierzchołki czworościanu foremnego. Tak więc elektrony będą układać symetrycznie się na powierzchni kuli współśrodkowej z kulą elektryczności dodatniej. Jednak układ taki zapewnia równowagę tylko wówczas, gdy liczba elektronów jest nieduża (do siedmiu lub ośmiu). Jeżeli cząsteczek ujemnych jest więcej to dzielą się one na dwie grupy, które układają się na powierzchniach dwóch współśrodkowych z dodatnią kulą ciał. Przy dalszym zwiększaniu liczby elektronów w atomie, cząsteczki podzielą się na trzy grupy i tak dalej. Thomson stwierdził, że w pewnym momencie problem staje się zbyt złożony do obliczeń.

Model atomu zaproponowany przez Thomsona został nazwany modelem "ciasta z rodzynkami". Model "ciasta z rodzynkami" nie przetrwał zbyt długo. W 1909 roku Ernest Rutherford wraz ze swoimi studentami przeprowadził eksperyment, który pokazał, że model ten jest błędny.

80. Dipol magnetyczny.

Definicja dipola magnetycznego

Dipolem magnetycznym nazywamy układ dwóch biegunów magnetycznych, jednakowych co do wartości, ale przeciwnych znaków, znajdujących się w odległości l. Dipol magnetyczny charakteryzuje wielkość zwaną dipolowym momentem magnetycznym oznaczany przez p
, zdefiniowana w dalszej części pracy.

Przykładem dipola magnetycznego może być magnes trwały lub ramka z prądem elektrycznym.

Pole magnetyczne dipola.

Pole magnetyczne dipola przedstawiamy graficznie za pomocą linii pola. Przyjęto umownie, że linie pola mają zwrot siły działającej na biegun północny, umieszczony w tym  polu.

Linie pola są zawsze krzywymi zamkniętymi.

Linie sił wokół prostego przewodnika z prądem maja kształt koncentrycznych kół, obejmujących przewodnik.

Ich zwrot jest zgodny z kierunkiem obrotu śruby prawoskrętnej, wkręcanej  w kierunku zgodnym z kierunkiem przepływu prądu.

Siłową charakterystykę pola magnetycznego stanowi wektor indukcji magnetycznej B.

Wektor indukcji jest w każdym punkcie styczny do linii pola magnetycznego. Wartość indukcji magnetycznej zależna jest od gęstości linii sił pola magnetycznego.

Aby określić siłę działającą na dipol magnetyczny (ramkę z prądem), musimy wyprowadzić wzór na siłę działającą na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym.

  V
- wektor prędkości dryfu elektronów

j - gęstość prądu     Korzystamy ze wzoru na siłę Lorentza. F = qE + qv
 B

Przy braku pola elektrycznego otrzymamy:

F = qv
 B

(v
,B)           sin
(v
,B) = 1

              

- wartość siły działającej na elektron. Zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej i uwzględniając, że elektron ma ładunek ujemny stwierdzamy, że siła jest prostopadła do płaszczyzny kartki i zwrócona w górę.

Na fragment przewodnika o długości l i polu powierzchni przekroju A działa siła:

przyjmując że
 otrzymujemy:

F = il
 B

Wektor l ma kierunek jak umowny kierunek prądu

Ramka z prądem w polu magnetycznym o indukcji B Założenia:

- pole magnetyczne jest jednorodne, skierowane prostopadle do płaszczyzny kartki.

- ramka z prądem jest ustawiona do płaszczyzny kartki pod kątem

Siły F
i F
kompensują się

działają wzdłuż tej samej prostej ).Spójrzmy na ramkę od strony krawędzi (prawa strona powyższego rysunku).

n - wektor normalny, prostopadły do płaszczyzny ramki.

- kąt orientacji ramki.

Siły F
i F
oddziałują na ramkę, próbując ją obrócić. Kąt
 maleje.

F
+ F
= 0

Korzystając z zależności F = il
 B otrzymamy

|F
| = |F
| = iaB

Określamy moment τ pary sił F
i F
.

τ = r
 F                F = F
= -F

τ = r
 F + (-r)
 (-F) = 2r
 F = biaBsin
= biaBsin

 - pole powierzchni ramki

τ
 

τ = iAn
B = p

B                     gdzie    p
iAn

p
- wektor magnetycznego momentu ramki z prądemWyznaczmy energię potencjalną U dipola magnetycznego (ramki z prądem).

Przyjmujemy że U=0 dla p
B

Ramka jest prostopadła do wektora indukcji magnetycznej.

               B

dl - wektor styczny do toru zakreślanego przez końce ramki.

dW=2F
l =

gdzie

                gdzie    τ = 2r
 F

Jest to praca wykonana przez zewnętrzne pole magnetyczne nad ramką, przy minimalnym jej obrocie.

-p
B

Energia potencjalna dipola magnetycznego (ramki z prądem) w zewnętrznym jednorodnym polu magnetycznym jest równa ujemnemu iloczynowi skalarnemu wektorów momentu magnetycznego ramki z prądem i indukcji magnetycznej pola zewnętrznego.

---