Pojęcie funkcji:
Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y.
Funkcja i jej własności:
- Funkcja różnowartościowa: [ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)]
- Funkcja odwrotna: f -1 =x f(x)=y
- Funkcja rosnąca: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
- Funkcja malejąca: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
- Funkcja nierosnąca: x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)
- Funkcja niemalejąca: x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
- Funkcja stała: f(x) = c
- Funkcja okresowa: f(x) = f(x+t)
- Funkcja wypukła: f”(x) ≥ 0
- Funkcja wklęsła: f”(x) ≤ 0
- Funkcja parzysta: f(-x) = f(x)
- Funkcja nieparzysta: f(-x) = -f(x)
Złożenie funkcji:
Jeśli f: X ⇒ Y i g: Y ⇒ Z, gdzie funkcja f przekształca zbiór X na Y, to odwzorowanie h: X ⇒ Z przyporządkowujące każdemu elementowi x∈ X element g[f(x)] nazywamy złożeniem odwzorowań f i g.
Sposoby opisywania funkcji:
- za pomocą grafu
- za pomocą tabeli
- za pomocą wykresu
- za pomocą wzoru
- za pomocą opisu słownego
Wykresy funkcji:
Wykresem funkcji y=f(x) nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny (a,b), których współrzędne spelniają warunek b=f(a).
Badanie przebiegu funkcji:
Analiza funkcji
wyznaczenie dziedziny funkcji
obliczenie granic na krańcach przedziałów pokreśloności
wyznaczenie asymptot
wyznaczenie punkt. Przecięcia funkcji z osią X oraz Y
zbadanie parzysości i nieparzystości funkcji
Analiza pierwszej pochodnej funkcji
wyznaczenie zbioru w którym funk. Jest różniczkowalna
wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej
wyznaczenie zbiorów, w których f '(x)>0 oraz f `(x)<0
określenie monotoniczności funkcji
wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji
Analiza drugiej pochodnej
wyznaczenie zbioru w którym f ` jest różniczkowalna
wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej
określenie przydziałów wklęsłości i wypukłości funkcji
wyznaczenie punktów przegięcia
ewentualne wyznaczenia ekstremów funkcji
Sporządzenie tabeli przebiegów zmienności funkci.
Sporządzenie wykresu funkcji.