FIZYKA LAB-113, Ruch wahadła matematycznego o długości l wychylonego z położenia równowagi można opisać równaniem różniczkowym , które otrzymuje się z II zasady dynamiki Newtona


0x08 graphic
0x08 graphic
Ruch wahadła matematycznego o długości l wychylonego z położenia równowagi można opisać równaniem różniczkowym , które otrzymuje się z II zasady dynamiki Newtona.

0x08 graphic
Gdzie: ϕ - kąt wychylenia od położenia równowagi , t - czas i g - przyspieszenie ziemskie. Równanie to jest nieliniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Jego rozwiązanie otrzymuje się metodami numerycznymi , po zastąpieniu funkcji sinus jej rozwinięciem w szereg potęgowy względem kąta ϕ (wyrażonego w radianach):

0x08 graphic
Jeżeli ograniczymy się do małych wychyleń , dokładne jest wtedy przybliżenie sinϕ ϕ i pierwsze równanie sprowadza się do postaci:

0x08 graphic
Jest to równanie różniczkowe liniowe , właściwe dla oscylatora harmonicznego. Opisuje ono małe drgania wahadła matematycznego o częstotliwości kołowej ω02=g/l i okresie drgań :

0x08 graphic
Rozwiązaniem równania trzeciego jest funkcja ϕ ϕ0sin(ω0/lδ), gdzie ϕ0 jest amplitudą drgań . Przy większych wychyleniach , gdy przybliżenia sinϕ ≈ ϕ nie można stosować , rozwiązanie staje się bardziej skomplikowane . Wahadło staje się oscylatorem nieliniowym i w wyrażeniu na wychylenie ϕ pojawiają się składniki zawierające wielokrotność częstości ω0. Okres wahań wahadła można wtedy wyrazić wzorem:

Wzór ten z dobrym przybliżeniem można przedstawić w postaci:

Gdzie: A=ϕ0. Gdy A dąży do zera , co odpowiada przypadkowi małych wychyleń , T(A) przyjmuje wartość T0 .

0x08 graphic

0x08 graphic
Zmiany okresu wahań wraz ze zmianą amplitudy można przedstawić za pomocą bezwymiarowej wielkości :

Dla małych wychyleń (A≈0), f(A)=0. W celu wyznaczenia funkcji f(A) mierzymy średnie okresy wahań da serii wahnięć rozpoczynanych od różnych amplitud. Ponieważ amplituda wahań maleje w czasie pomiaru , wielkość A w ostatnim wzorze zastępujemy wartością średnią Aśr. Jest ona równa średniej arytmetycznej amplitudy początkowej A1 i amplitudy ostatniego wahnięcia A2 w danym pomiarze.

Wykres funkcji f(Aśr) stanowi graficzny obraz względnych zmian okresu wahań. Punkt początkowy wykresu posiada współrzędne Aśr=0,f(0)=0. Różnica f(Aśr)-f(0) jest miarą nieliniowości wahadła.

Tabela 1.

Długość wahadła „l” wynosi 0,33 m.

L.p.

Liczba wahnięć

n

Czas

t [s]

f(A0)

Okres

T(A0) [s]

1

30

35,8

0,0356

1,193

2

30

35,4

0,0243

1,18

3

30

35,6

0,03

1,187

4

30

35,5

0,028

1,184

5

30

35,7

0,033

1,19

6

30

35,4

0,0243

1,18

7

30

35,3

0,0217

1,177

0x08 graphic

Tabela 2.

1o=0,035 rad.

f(A)

L.p

Amplituda

Liczba wahnięć

n

Czas

t [s]

Okres

T(A) [s]

A1

A2

Aśr

0,054

1

5

4,3

4,65

20

24,3

1,215

0,0633

2

15

14,5

14,75

20

24,5

1,225

0,0633

3

25

24,3

24,65

20

24,5

1,225

0,072

4

35

33,3

34,15

20

24,7

1,235

0,098

5

45

42,5

43,75

20

25,3

1,265

0,089

6

55

51,5

53,25

20

25,1

1,255

0,132

7

65

59

62

20

26,1

1,305

T(Aśr)

f(Aśr)

T'(Aśr)

f'(Aśr)

1,215

0,054

1,154

0,0017

1,225

0,0633

1,171

0,0165

1,225

0,0633

1,207

0,047

1,235

0,072

1,263

0,096

1,265

0,098

1,343

0,166

1,255

0,089

1,451

0,26

1,305

0,132

1,582

0,373

Dyskusja wyników:

Pomiary zostały przeprowadzone w sposób dość dokładny, błędy pomiaru mogą wystąpić dla dużych amplitud , gdyż podczas wprawiania wahadła w ruch występowały nie pożądane drgania poprzeczne wahadła.

1

1

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka