ćw. 53
Stała czasowa
I. Zagadnienia teoretyczne
Kondensatorem nazywamy układ dwu przewodników rozdzielonych warstwą dielektryka, służący do gromadzenia ładunku elektrycznego. Kondensator ładuje się przez podłączenie go do Ÿródła prądu stałego. Na jego elektrodach gromadzi się wówczas ładunek elektryczny, a w dielektryku powstaje pole elektryczne o energii
gdzie C jest pojemnoœcią kondensatora a U napięciem pomiędzy elektrodami. Energię tę wykorzystuje się podczas rozładowania kondensatora.
Rozpatrzmy poniższy układ, składający się z kondensatora o początkowym ładunku Q, opornika i przełącznika. Gdy obwód jest przerwany, istnieje różnica napięć Q/C na kondensatorze, i zerowa różnica napięcia na oporniku, ponieważ I=0:
dla t<0
+Q
C R
-Q
Natomiast gdy obwód zostaje zamknięty w czasie t=0, kondensator zaczyna się rozładowywać poprzez opornik. W dowolnym momencie rozładowywania, natężenie prądu w obwodzie wynosi I, a ładunek pozostający w kondensatorze wynosi q:
dla t>0 +q I
C R
-q
Z drugiego prawa Kirchoffa widzimy, że spadek napięcia na oporniku, IR, musi się równać różnicy napięć na kondensatorze, q/C:
Jednakże przepływ prądu w układzie musi się równać prędkoœci zmiany wartoœci ładunku w kondensatorze, tzn. I=-dq/dt i stąd:
czyli
Całkując to wyrażenie korzystając z faktu, że q=Q gdy t=0 otrzymujemy
stąd
Ponieważ I(t)=-dq/dt, różniczkując powyższe równanie po czasie, otrzymujemy wzór na natężenie prądu jako funkcja czasu:
gdzie początkowa wartoœć natężenia przepływu prądu I0=Q/RC. Stąd widzimy, że tak ładunek w kondensatorze jak i natężenie prądu maleją wykładniczo z prędkoœcią RC, gdzie RC jest naszą stałą czasową:. Od wartoœci stałej czasowej, czyli od parametrów obwodu zależy czas rozładowywania kondensatora - im większa stała czasowa, tym łagodniej zmienia się prąd. Wartoœć stałej czasowej można łatwo wyliczyć z równania , dzieląc przez Q, logarytmując obustronnie i przekształacając:
Podobnie można otrzymać wzór na czas potrzebny do rozładowania kondensatora do pewnego napięcia q:
Istnieje także graficzna metoda wyznaczania stałej czasowej: jeżeli na wykresie przedstawiającym funkcje I=f(t) i ln(I)=f(t) (ta druga funkcja powinna być prostą, ponieważ RC jest wartoœcią stałą) poprowadzimy styczną do krzywej I=f(t) w chwili t=0, to przetnie funkcję ln(I)=f(t) w czasie równym stałej czasowej.
W ten właœnie sposób przybliżymy wartoœć stałej czasowej dla wybranych kombinacji opornik-kondensator i porównamy do wartoœci podanych przez komputer, umieszczonych w tabeli na pierwszej stronie.
II. Opis doœwiadczenia
Korzystając z mikroamperomierza sprzężonego z komputerem, mierzono prąd rozładowania kilku układów RC, zmieniając opór jak i dodając równolegle dalsze kondensatory o tych samych parametrach. Ogółem zmierzono wszystkie kombinacje od jednego do czterech jednakowych kondensatorów o pojemnoœci 1.0 F i szeœciu wartoœci oporu: 1.0, 1.8, 3.0, 5.0, 6.5, 8.2 M. Spisano z ekranu komputera wyliczone wartoœci RC, błędu i czasu pomiaru. Równoczeœnie zapisano na dyskietkę wartoœci pomierzonego natężenia prądu jako funkcję czasu - 100 pomiarów dla każdego układu, w celu wykorzystania ich do graficznego przedstawienia zależnoœci stałej czasowej od układu RC.
III. Opracowanie wyników pomiarów
Na szeœciu następujących wykresach, korzystając z programu Grapher, zostały naniesione krzywe I=f(t) i proste ln(I)=f(t), na podstawie pomiarów uzyskanych przez komputer. Konkretnie przedstawiono wykresy dla napięć 1.0 i 3.0 V dla jednego, dwóch, i trzech równolegle połączonych kondensatorów. Następnie metodą graficzną przybliżono wartoœci stałej czasowej dla każdego z wykresów. Dla ułatwienia odczytu i porównania wykresów, na wykresach z tym samym oporem w miarę możliwoœci starano się stosować tę samą podziałkę.
Wartoœci stałej czasowej uzyskane metodą graficzną odbiegają nieco od tych wyliczonych przez komputer:
Obwód |
RC (metoda graficzna) |
RC (komputer) |
1 kondensator 1 M |
980 |
988 |
2 kondensatory 1 M |
1940 |
2236 |
3 kondensatory 1 M |
2920 |
3407 |
1 kondensator 3 M |
5900 |
3285 |
2 kondensatory 3 M |
8250 |
7136 |
3 kondensatory 3 M |
14400 |
10809 |
Jak widać, największe różnice występują przy dużych wartoœciach oporu i pojemnoœci (przy dużej wartoœci stałej czasowej).
IV. Ocena błędu
Dla przedstawionych wykresów błąd (dla RC wyliczonego przez komputer) nie przekraczał 9.1 ms dla oporu 1M i 18.1 ms dla oporu 3M. Ponieważ jedna podziałka wykresów wynosiła odpowiednio 20 ms i 50 ms, błąd ten jest praktycznie niemożliwy do przedstawienia na wykresie. Błąd samego pomiaru, tak natężenia, jak i czasu, przez komputer nie został podany. Ponieważ jednak wartoœci czasu i natężenia komputer podał odpowiednio z dokładnoœcią do ostatniej cyfry i do czwartego miejsca po przecinku, porównując je ze skalą samych pomiarów, można ów błąd bezpiecznie pominąć. Natomiast jeœli chodzi o błąd metody graficznej, składa się on z błędu podziałki (podanego powyżej), jak i z niemożliwych do dokładnej oceny błędów przybliżenia krzywych przez komputer jak i błędów oceniania tego nachylenia przez człowieka, w celu rysowania stycznych. Ten ostatni błąd miał szczególnie duży wpływ na wyniki dla dużych wartoœci RC, gdy krzywa I=f(t) była prawie prosta i równoległa do prostej ln(I)=f(t) i przecinała się z nią na dużej odległoœci. Niemniej jednak, przymując że pojemnoœci kondensatorów były jednakowe, dzieląc RC otrzymaną dla dwóch kondensatorów przez dwa i trzech przez trzy, porównując je z wartoœcią RC uzuskaną dla jednego kondensatora (wszystko dla tego samego oporu, 1M, metodą graficzną) otrzymujemy opór odpowiednio 0.970, 0.973, i 0.980 M. Ta mała rozbieżnoœć œwiadczy o dużej dokładnoœci tej metody przy małych wartoœciach stałej czasowej. Dla porównania, opór tego samego elementu na podstawie danych z komputera, wynosiłby 0.988, 1.118, i 1.136 M. Dla większych wartoœci RC, metoda graficzna niestety nie jest zbyt dokładna.
V. Wnioski
Pomimo pewnej niedokładnoœci wyników, wyraŸnie widać zależnoœć stałej czasowej od pojemnoœci kondensatora i wartoœci oporu. Widać, że w przypadku wysokiej stałej czasowej, rozładowywanie kondensatora będzie trwało bardzo długo. W tym też przypadku, obliczenie stałej czasowej znacznie się utrudni. Wówczas bardziej celowe było by stosowanie zaawansowanych metod numerycznych.