XVII Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Lebesgue'a. Związek całki Lebesgue'a z całką Riemanna funkcji ograniczonej na [a, b].

Twierdzenie

Jeżeli
(n=1, 2,…) są funkcjami mierzalnymi i ciąg
jest niemalejący, to

.

Twierdzenie (lemat Fatou)

Dla każdego ciągu
funkcji mierzalnych
(n=1, 2,…) zachodzi równość

.

Twierdzenie

Jeżeli
jest funkcją ciągłą, to całka Lebesgue'a funkcji f na przedziale
równa się całce oznaczonej funkcji f w granicach od a do b:

.