XVII Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Lebesgue'a. Związek całki Lebesgue'a z całką Riemanna funkcji ograniczonej na [a, b].
Twierdzenie
Jeżeli
(n=1, 2,…) są funkcjami mierzalnymi i ciąg
jest niemalejący, to
.
Twierdzenie (lemat Fatou)
Dla każdego ciągu
funkcji mierzalnych
(n=1, 2,…) zachodzi równość
.
Twierdzenie
Jeżeli
jest funkcją ciągłą, to całka Lebesgue'a funkcji f na przedziale
równa się całce oznaczonej funkcji f w granicach od a do b:
.