Politechnika Śląska w Gliwicach

Inżynieria Środowiska i Energetyki

Kier. Inżynieria Środowiska

Studia wieczorowe

Semestr I

WYZNACZANIE PRZYŚPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO.

Sekcja 13

Aleksandra Samela

Jakub Szczepka

1.WSTĘP.

Wyjaśnienie praw i pojęć związanych ze zjawiskiem przyśpieszenia ziemskiego.

1. PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA (GRAWITACJI).

Dwa ciała przyciągają się wzajemnie siłami grawitacji o wartości wprost proporcjonalnej do iloczynu ich mas a odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości między nimi.

Treść tego prawa można określić wzorem:

(1)

gdzie : M i m są masami ciał,

R - odległością między nimi,

G - współczynnikiem proporcjonalności zwanym stałą grawitacji.

Wartość stałej grawitacji wynosi :

G = 6,67 * 10 ^-11

Znaczy to, że dwa ciała o masie 1 kg każde, umieszczone w odległości 1 m, działają na siebie siłą grawitacji:

F = 6,67 * 10^-11 N.

Dla porównania ciało o masie 1 kg przyciągane jest przez Ziemię, na jej powierzchni siłą

F = 9,8 N

1.2.POLE GRAWITACYJNE.

Z prawa powszechnego ciążenia można wyciągnąć wniosek, że siły grawitacji pomiędzy dwoma ciałami stają się praktycznie równe zeru dopiero wtedy, gdy odległość między nimi jest dostatecznie duża. Mimo że w wielu przypadkach siły grawitacji są bardzo małe, musimy jednak przyjąć, że w dowolnym punkcie wszechświata na ciało tam umieszczone działają siły grawitacji pochodzące od innych ciał.

Oddziaływanie planet ze Słońcem, Ziemi z Księżycem odbywa się na ogromne odległości - setki tysięcy bądź nawet miliony kilometrów.

Teoria pola grawitacyjnego zakłada, że każda masa zmienia przestrzeń wokół siebie w taki sposób, by nadać jej zdolność do wywierania sił grawitacji na inne ciała.

Podstawową cechą pola grawitacyjnego jest to, że ciało o masie m umieszczone w dowolnym jego punkcie doznaje działania siły grawitacji, zwróconej w stronę źródła o masie M.

1.3. NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO.

Ponieważ ciało o masie m umieszczone w różnych odległościach od źródła M

doznaje różnych sił grawitacji, zatem jest celowe zdefiniowanie wielkości fizycznej umożliwiającej przewidywanie wartości sił grawitacji działających na ciało o masie m w danym punkcie pola.Taką wielkością fizyczną jest natężenie pola grawitacyjnego.

Natężeniem pola grawitacyjnego nazywamy stosunek siły, jaką pole działa na masę m

Umieszczoną w danym jego punkcie, do wartości tej masy.

Natężenie pola grawitacyjnego jest wielkością wektorową. Kierunek i zwrot tego wektora jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły grawitacji.

Jednostką natężenia pola w układzie SI jest 1

Jeżeli natężenie pola w danym jego punkcie wynosi 10
to znaczy, że w tym punkcie pola na ciało o masie 1 kg będzie działała siła 10 N.

1.4.KONSEKWENCJE ISTNIENIA POLA GRAWITACYJNEGO.

Istnienie pola grawitacyjnego wokół Ziemi ma istotny wpływ na zachowanie się ciał. Dzięki sile przyciągania ziemskiego obserwujemy, że wywierają one nacisk na podłoże bądź punkt zawieszenia, spadają, gdy nie są podparte lub zawieszone.

Siłę, z jaką Ziemia przyciąga ciało nazywamy siłą ciężkości lub ciężarem ciała.

W pobliżu Ziemi swobodne spadanie ciał oraz ruch do góry odbywają się ruchem jednostajnie zmiennym. Pod działaniem siły ciężkości wszystkie ciała doznają takiego samego przyspieszenia ziemskiego. Na powierzchni Ziemi i w jej pobliżu przyspieszenie ziemskie i natężenie pola grawitacyjnego wynoszą:

g = 9,8
γ = 9,8

Natężenie pola charakteryzuje bowiem przestrzeń wokół źródła pola (Ziemi), zaś przyspieszenie grawitacyjne (ziemskie) jest cechą charakterystyczną ruchów, jakie ciała wykonują w tym polu. Jeżeli ruch ciała nie jest swobodny (siła ciężkości jest częściowo równoważona przez opór powietrza, siły tarcia, reakcję równi pochyłej itp.), to przyspieszenie, z jakim odbywa się ruch, zależy od wartości siły wypadkowej. Może się również zdarzyć, że siła ciężkości i siły oporu powietrza zrównoważą się w trakcie trwania ruchu, wtedy ruch zmienny stanie się ruchem jednostajnym. Przypadki takie można obserwować na przykład podczas skoków ze spadochronem.

1.5.RUCH OBROTOWY ZIEMI.

Ruch obrotowy Ziemi jest powodem spłaszczenia Ziemi przy biegunach. Różnica w długości promienia biegunowego i równikowego powoduje zróżnicowanie siły przyciągania ziemskiego. Przyciąganie ziemskie rośnie ze wzrostem szerokości geograficznej. Wszystkie miejsca na kuli ziemskiej z wyjątkiem biegunów zakreślają w ciągu doby koła równe obwodom kół równoleżników, na których się znajdują. Prędkość liniowa poruszania się punktów w różnych szerokościach geograficznych nie jest jednakowa: największa jest na równiku około 1670 km/h, zmniejsza się w miarę oddalania się od równika, np. na równoleżniku 50⁰ wynosi około 1104 km/h, a zanika na biegunach, 0 km/h.

Powoduje to odchylenie ciał poruszających się na powierzchni Ziemi - w prawo na półkulu północnej, w lewo na półkuli południowej.

Zjawisko to spowodowane jest działaniem siły Coriolisa, wynikającej z ruchu obrotowego Ziemi. Wielkość odchylenia toru ciała poruszającego się w kierunku południowym wzrasta ku biegunom lub ku równikowi w zależności od tego, czy ciało podąża ku biegunom, czy ku równikowi.

Zatem Ziemia nie jest idealną kulą, (jest elipsoidą obrotową), i w związku z tym odległości od jej środka do powierzchni nie są wszędzie takie same.

Uwzględniając ten fakt, możemy stwierdzić, iż wartości przyśpieszenia ziemskiego różnią się nieco w różnych miejscach na Ziemi.

Tabela 1. podaje wartości przyśpieszania ziemskiego i natężenia pola grawitacyjnego w zależności od szerokości geograficznej mierzone na poziomie morza.

Tabela 2. podaje wartości przyśpieszenia ziemskiego i natężenia pola grawitacyjnego w zależności od wysokości nad poziomem morza mierzone dla szerokości geograficznej 45°

Szerokość geograficzna	g lub γ	Szerokość geograficzna	g lub γ
0°	9,780	50°	9,811
10°	9,782	60°	9,819
20°	9,786	70°	9,826
30°	9,793	80°	9,831
40°	9,802	90°	9,832

Tabela 1.

Wysokość (m)	g lub γ	Wysokość (m)	g lub γ
0	9,806	32000	9,71
1000	9,803	100 000	9,60
4000	9,794	500 000	8,53
8000	9,782	1 000 000	7,41
16000	9,757	350 000 000	0,00271

Tabela 2.

2.WYZNACZANIE PRZYŚPIESZENIA ZIEMSKIEGO.

Wcześniej omówione zagadnienia wskazują, że przyśpieszenie ziemskie powinno być wyznaczane metodami doświadczalnymi dla każdego miejsca na Ziemi.

2.1.METODA POMIARU CZASU SWOBODNEGO SPADKU.

Najprostszą metodą pomiaru przyśpieszenia ziemskiego wydaje się sposób pomiaru czasu swobodnego spadku.

Teoretycznie rzecz biorąc sprawa jest bardzo prosta. Ponieważ pod wpływem siły ciężkości ciała spadają ruchem jednostajnie zmiennym, więc wystarczy pozwolić ciału spadać swobodnie z pewnej wysokości, zmierzyć czas spadania i przebytą drogę, a potem posługując się wzorem na drogę w ruchu jednostajnie zmiennym bez prędkości początkowej, obliczyć wartość przyśpieszenia ziemskiego.

(2)

(3)

(4)

gdzie: t - czas,

s = h - droga,

g = a - przyśpieszenie.

W praktyce wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego jest nieco trudniejsze. Trudność polega przede wszystkim na możliwie dokładnym zmierzeniu krótkiego czasu spadania ciała.

2.2.WYZNACZANIE PRZYŚPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO.

Wahadło proste - jest odwzorowaniem modelowego wahadła matematycznego. Stanowi go metalowa kula zawieszona na lekkiej, nierozciągliwej nici, np. cienkim druciku. Podczas wychylenia kulki o kąt ϕ z położenia równowagi składowa styczna siły ciężkości będzie wyrażona wzorem:

F = mg sin ϕ (5)

gdzie : F - siła ciężkości ,

m - masa,

ϕ - kąt wychylenia wahadła matematycznego.

Okres drgań wahadła matematycznego wyraża się wzorem :

T = 2π
(6)

gdzie : T - okres drgań wahadła matematycznego,

l - długość nici,

g- przyspieszenie ziemskie.

Wahadłem fizycznym -jest bryła drgająca wokół osi poziomej, ulokowanej powyżej środka ciężkości. Na bryłę wychyloną z położenia równowagi o kąt ϕ działa moment siły :

ϕ (7)

gdzie : M - masa

g - przyspieszenie ziemskie

x- wartość wychylenia

b - odległość osi obrotu od środka ciężkości.

Równanie ruchu bryły zapiszemy w postaci :

Iε = - mgbsin Ф , (8)

gdzie : I - moment bezwładności bryły względem osi obrotu,

ε - przyspieszenie kątowe.

Wahadło rewersyjne - jego zasada działania opiera się na własności zwanej dwuosiowością wahadła fizycznego.

Jeżeli bryłę sztywną zawiesimy w punkcie (Z₁), odległym o (d₁) od środka ciężkości (O) i wprawimy w drgania, a następnie bryłę odwrócimy i zawiesimy w punkcie (Z₂), odległym o (d₂) od środka ciężkości, to bryła w tej pozycji wykonuje niewielkie drgania wokół położenia równowagi. W doświadczeniach wykazano, że jeżeli odledłość zawieszeń (x) w obu przypadkach będzie się zmieniać w zakresie 0<x<d₁+d₂=l₀, to zaistnieje taka para położeń (x₁, x₂), dla których okres drgań bryły (T₀) jest taki sam i wyraża się wzorem:

(9)

Z powyższego zapisu wynika, że:

d₁+d₂=l₀ (10)

gdzie: l₀ - odstęp pomiędzy zawieszeniami.

Okres drgań wahadła fizycznego w obu położeniach wyraża się wzorami:

(11)

i

(12)

gdzie: I_Z1, I_Z2 - momenty bezwładności względem osi przechodzącej równocześnie przez

środek masy i punkty Z₁ i Z₂,

oraz: D₁=mgd₁ i D₂=mgd₂ jako momenty kierujące. (13)

Dla potrzeb dalszych rozważań podamy treść twierdzenia Steinera:

Moment bezwładności bryły sztywnej IZ względem dowolnej osi O jest równy sumie momentu bezwładności bryły IS względem osi O` przechodzącej przez środek masy S bryły oraz iloczynu masy m bryły i kwadratu odległości d między osiami, co zapisujemy następująco: IZ = IS + md^2

Wiedząc, że punkty Z₁ i Z₂ nie pokrywają się ze środkiem ciężkości O, a zarazem korzystając z powyższego twierdzenia otrzymujemy:

I_Z1=I₀ + md₁² i I_Z2=I₀ + md₂² (14)

gdzie: I₀ - moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez punkt O.

Wstawiając wzory 13 i 14 do wzorów 11 i 12 otrzymujemy:

(15)

(16)

Przekształcamy te wzory;

(17)

(18)

(19)

(20)

Jeżeli przyjmiemy, że :

, (21)

Wstawiając warunki 19 i 20 do danej równoważności otrzymamy:

(22)

Dzieląc dwie strony równania 22 przez 2π, a następnie podnosząc do kwadratu, równanie kształtuje się następująco:

(23)

Otrzymane wyrażenie przekształcamy:

otrzymujemy:

(24)

Jeżeli równość 24 jest spełniona to dla tej pary odległości d₁ i d₂ okresy wahadła rewersyjnego są sobie równe.

Wstawiając wyrażenie
do wzoru 19 lub do wzoru 20 otrzymujemy:

(25)

3. ZASADA POMIARU.

W ćwiczeniu stosujemy wahadło rewersyjne złożone z karbowanego pręta, w którym nacięcia wykonane są co 1 cm, dwóch pierścieni z nacięciami i dwóch ciężarków. Nacięcia na pierścieniach umożliwiają zawieszenie ciężarka na ostrzu pryzmatycznym. Ciężarek B znajduje się w położeni oddającym odpowiednio asymetryczność wahadła. Drugi z ciężarków może być przesuwany wzdłuż osi wahadła. Zmiana położenia ciężarka powoduje zmianę położenia środka ciężkości oraz zmianę momentu bezwładności I_o. Pociąga to za sobą zmianę okresu drgań. Dla drugiego zawieszenia sytuacja jest analogiczna.

Zasada wyznaczania przyspieszenia ziemskiego sprowadza się do znalezienia takiego położenia ruchomego ciężarka, które odpowiada jednakowym okresom drgań dla obydwu zawieszeń wahadła rewersyjnego (położenie odwracalności).

Procedura dochodzenia do stanu odwracalności wahadła realizowana jest w trzech etapach :

a. zmiana odległości x co 1 cm i pomiar drgań dla obu zawieszeń,

2. sporządzenie wykresu i przybliżone oszacowanie położenia odwracalnego na podstawie przecięcia parabol,

3. precyzyjne wyznaczenie okresu drgań, który odpowiada warunkowi odwracalności T_o,

Przyspieszenie ziemskie obliczamy wg wzoru: ( przekształcenie wzoru 25),

(26)

gdzie :l₀ -jest odległością między zawieszeniami (pryzmatami).

4.PRZEBIEG ĆWICZENIA.

Przed przystąpieniem do ćwiczenia poziomujemy podstawę, w której osadzona jest kolumna wahadła. Za pomocą suwmiarki mierzymy odległość pomiędzy ostrzami wahadła (l_o = 0,415 [m] ). Następnie wieszamy na wsporniku wahadło rewersyjne. Wprawiając wahadło w ruch należy pamiętać, aby kąt wychylenia był w miarę równy dla każdego pomiaru i nie przekraczał 20º.

Pamiętać należy również o tym, żeby pręt wahał się w płaszczyźnie równoległej do ściany pomieszczenia laboratorium.

Wprawiamy wahadło w ruch. Czerwonym przyciskiem na czasomierzu elektronicznym w czasie każdego pomiaru zatrzymujemy czas zliczania 10 okresów.

Następnie zawieszamy wahadło na drugim ostrzu i ponownie mierzymy czas 10 okresów. W każdym położenia wahadła powtarzamy czynności opisane wyżej 10 razy, zmieniając położenie ciężarka co jeden cm. Jeszcze w trakcie ćwiczenia nanosimy na wykres zależności okresu drgań od położenia ruchomego ciężarka wartości pomiarów określając położenie ciężarka, przy którym okresy drgań są jednakowe dla obu zawieszeń.

Dane pomiarowe:

lp	x	t[s]
1	15	17,48
2	20	17,9
3	25	20,07
4	30	21,22
5	35	25,72
6	40	26,61
7	45	27,37
8	50	28,78
9	55	29,97
10	60	31,35
11	65	34,4
12	70	34,81
13	75	35,75
14	80	36,41
15	85	38,18
16	90	42,61
17	95	46,14
18	100	50,49

Z wykresu, na podstawie przecięcia parabol, odczytujemy przybliżone oszacowanie położenia odwracalności T_0.

T₀ oszacowane z wykresu wynosi 1,3335 [s]. Korzystamy ze wzoru (15).

5. WNIOSKI.

Na wyznaczenia przez nas wartości przyśpieszenia ziemskiego w pomieszczeniu laboratorium bardzo dużą rolę odegrała dokładność czynności manualnych. Problemem było ustawienie takich samych wartości kąta wychylenia wahadła dla różnych położeń ciężarka.

Z wykresu wynika, że istnieje taka prosta, równoległa do osi OX, która przecina naniesione krzywe w dwóch punktach. Oznacza to, że istnieją dwie odległości ruchomego ciężarka od punktu zawieszenia, dla których okresy drgań wahadła są sobie równe, (T₀).

Wartość obliczeniowa przyśpieszenia ziemskiego jest uzależniona od właściwego oszacowania i wyznaczenia położenia spełniającego warunek odwracalności wahadła.

Dlatego więc uzyskany przez nas wynik odbiega troszkę od rzeczywistej wartości przyspieszenia ziemskiego.

---