MIARY PRZECIĘTNE

2. Klasyczne

3 średnie:

• Arytmetyczna

• Geometryczna

• Harmoniczna

• Pozycyjne

• Dominanta (moda)

• Kwantyle

• Kwartyl pierwszy

• Mediana

• Kwartyl trzeci







ŚREDNIA ARYTMETYCZNA x

n - wielkość próby

x ₁ - wielkość próby




23, 34, 45, 23, 34, 23, 45




ŚREDNIA ARYTMETYCZNA WAŻONA - w szeregu rozdzielczym punktowym

n - suma liczebności n₁

k - liczba wartości cechy w szeregu


- liczebność i-tej wartości cechy

x i	n i
23 34 45	3 2 2






ŚREDNIA ARYTMETYCZNA WAŻONA - w szeregu rozdzielczym przedziałowym

n - suma liczebności


k - liczebność klas (wierszy) w szeregu (przedziale)


- środek i-tego przedziału


- liczebność i-tego tego przedziału

<x i x i +1)	n i
4-6 6-8 8-10 10-12	12 10 18 6







Szereg rozdzielczy punktowy

x i	w 1
4 5 6 7	0,4 0,2 0,1 0,3
	1


w ₁ - częstość względna

Obliczamy następująco:(zawsze licz.większa)

w ₁ (zawsze ułamki)


D = 4 (4 różne obserwacje)




DOMINANTA (miara pozycyjna) Jest to wartość cechy, która występuje w danej próbie najczęściej


23, 34, 45, 23, 34, 23, 45 D = 23

Dominanta w szeregu rozdzielczym przedziałowym:

• Wskazujemy przedział gdzie jest najwięcej elementów w badanej próbie, gdzie jest dominanta

• Wyznaczamy wartość dominanty, wykorzystujemy wzór:




x_k - lewy koniec przedziału w którym jest dominanta

x - wartość cechy

n- liczebność (40)

k - przedział dominanty

∆ - długość przedziału, w którym jest dominanta

W badanej próbie czas eksploatacji najczęściej wynosił 3,42 [godz].

Wszystkie miary przeciętne mają jednostkę taką samą jak badana cecha.

Mediana - kwantyle

Mediana jest to wartość cechy, która dzieli próbę na dwie części w taki sposób, że połowa wartości jest niewiększa i połowa niemniejsza od mediany (wartość środkowa w próbie)




Jeżeli próba ma nieparzysta liczbę obserwacji mediana jest równa:


Jeżeli próba ma parzystą liczbę obserwacji:




43, 56, 76, 84, 102

próba ma nieparzystą liczbę elementów wówczas środkowy element istnieje Me = 76

43, 56, 76, 84 parzysta liczba obserwacji




reguła: uśrednij dwa elementy stojące najbliżej środka

Porządkujemy rosnąco obserwacje i dopiero wykorzystujemy regułę:


3, 5, 8, 2, 9 2, 3, 5, 8, 9 Me = 5

x i	n i
2 3 4 5	1 3 3 1 8 obserwacji

Szereg rozdzielczy punktowy

x i	n i
2 3 4 5	1 3 2 1 7 obserwacji







Kwartyl pierwszy Q₁

Wartość cechy, która dzieli próbę na ... części tak, że 25% 0,25 wartości jest nie większa oraz 75% ¾.


Szereg rozdzielczy przedziałowy Mediana

1. wskazujemy przedział w którym jest dany kwartyl

2. wyznaczamy przybliżoną wartość posługując się wzorem:

x - wartość cechy

n - liczebność

k - przedział mediany

x_k- lewy koniec przedziału

∆ - długość tego przedziału

Zad. Wyznacz kwartyle czasu eksploatacji maszyn

N cum - ile mamy obserwacji w poprzednim przedziale

Skumulowanie informacji, szukamy liczb 25, 26

Q₁ będzie w <2,4)

Q₃ będzie w <4,6)

Q₂ będzie w <2,4)




¼ badanych maszyn miała czas eksploatacji nie przekraczający 2,5 godz.




½ badanych maszyn miała czas eksploatacji nie przekraczający 3,75 godz.




¼ badanych maszyn miała czas eksploatacji dłuższy niż 5,3 godz.

Wykład II

Miary zmienności:

- klasyczne (poziomu przeciętnego, zmienności), wykorzystujemy w rachunkach (~ wymiennie do pojęcia zmienności zróżnicowanie, rozproszenie)

• wariancja

• odchylenie standardowe

• odchylenie przeciętne

• współczynnik zmienności

- pozycyjne (dominanta)

• rozstęp

• odchylenie ćwiartkowe

• współczynnik zmienności

dotyczy wartości badanej cechy statystycznej

Wariancja to średnia (ważona) kwadratów odchyleń wartości cechy od wartości przeciętnej

Wzory dotyczące wariancji:




Wariancja w szeregu wyliczającym

n - wielkość próby

x₁ - wartość badanej cechy w próbie




wariancja dla próby pierwszej




wariancja dla próby drugiej

W próbie drugiej mniejsze zróżnicowanie




Wariancja w szeregu rozdzielczym punktowym

n - suma liczebności

k - liczba wartości cechy w szeregu

n_i - liczebność i-tej wartości cechy




Wariancja w szeregu rozdzielczym przedziałowym

n - suma liczebności n_i

k - liczba klas (wierszy) w szeregu


środek i-tego przedziału

n_i - liczebność i-tego przedziału




Ze względu na jednostkę miernika jakim jest wariancja wyznaczamy dodatkowo pierwiastek kwadratowy z wariancji, nazywany odchyleniem standardowym




Odchylenie przeciętne jest to średnia (ważona) bezwzględnych odchyleń wartości cechy od wartości przeciętnej


Odchylenie przeciętne w szeregu rozdzielczym przedziałowym

n - suma liczebności n

k - liczba klas (wierszy) w szeregu


środek i-tego przedziału


n_i - liczebność i-tego przedziału

Do wyznaczania zmienności cech statystycznych, których pomiar dokonujemy w różnych jednostkach, wyznaczamy dodatkowo względną miarę względności - współczynnik zmienności


interpretacja wyniku w procentach

Pozycyjne miary zmienności


- odchylenie ćwiartkowe (interkwarty)




współczynnik zmienności - miary pozycyjne

(~liczymy gdy nie można z innych powodów

zmierzyć miary asymetrii)

Miary symetrii Mediana





Dla rozkładu symetrycznego


x = D = Me


x - wartość średnia

D - dominanta mają tę samą wartość


Me - mediana

Badając asymetrię rozkładu cechy statystycznej należy określić:

• rodzaj asymetrii

• siłę asymetrii

ASYMETRIA

• prawostronna (więcej wartości małych)










• lewostronna


Miary asymetrii

Współczynnik skośności Persona

Jest wielkością niemianowaną o wartościach z przedziału od -1 do +1




1. sym.




2. prawostronna

3. 
   lewostronna

Im większa wartość bezwzględna współczynnika skośności tym większa siła asymetrii

A_s [-1, 1]

0,3 słaba (od 0 do 3)

- 0,6 średnia

0,8 silna




Współczynnik asymetrii

Q dzieli obszar na jednakowe ćwiartki








klasyczna miara symetrii

[ ]³ jednostka kubiczna

M₃ moment centralny

γ₃ moment centralny zestandaryzowany

Analiza współzależności dwóch cech statystycznych

- należy ustalić typy powiązań

- pomiar

rodzaje zależności między dwoma zmiennymi

1. zależność funkcyjna

2. -\\- sochastyczna

3. -\\- korelacyjna

dwie badane cechy X (ocena z jednego języka) Y (ocena z drugiego języka)

ad a) zależność funkcyjna wraz ze zmianą wartości jednej zmiennej następuje ściśle określona zmiana wartości drugiej zmiennej (~do wyliczania podatków, oprocentowania obligacji)

ad. b) zależność sochastyczna wraz ze zmianą wartości jednej zmiennej następuje zmiana rozkładu prawdopodobieństwa drugiej zmiennej (~jak sprzedają się oferty turystyczne - nie przewidywalne)

ad. c) zależność korelacyjna: - liniowa, - nieliniowa wraz ze zmianą wartości jednej zmiennej następuje zmiana wartości średnich drugiej zmiennej ustaleniu typu zależności służy wykonanie wykresu: - rozrzutu, - diagram korelacyjny

rodzaje zależności korelacyjnej











Zależność korelacyjna liniowa dodatnia ma miejsce wówczas, gdy: wraz ze wzrostem wartości jednej cechy następuje wzrost wartości drugiej cechy

Zależność korelacyjna liniowa ujemna ma miejsce, gdy: wraz ze wzrostem wartości jednej cechy nastepuje spadek wartości drugiej cechy.

Pomiar siły zależności korelacyjnej - w przypadku zbieżności liniowej




Siłę zależności korelacyjnej wyznaczamy wykorzystując współczynnik korelacji liniowej Pearsona


cov - kowariancja jest to liczba niemianowana o wartościach unormowanych do przedziału od - do +1




Miernik jest symetryczny




Obroty dzienne (mln zł)	10	12	14	15	17	18	19	21	22	23
Zapasy (mln zł)	41	40	38	37	35	33	31	34	32	30


Zad. Zbadać zależność korelacyjną wielkości dziennych obrotów oraz wysokości zapasów w wybranych hurtowniach

2. Pomiar natężenia (wyznaczanie współczynnika korelacji)








3. odchylenie wartości badanych cech od wartości przeciętnych x_i - x ,y - y

Obroty dzienne (mln zł)	Zapasy (mln zł)
10	41	-7,1	5,9	50,41	34,81	-41,89
12	40	-5,1	4,9	26,01	24,00	-24,99
14	38	-3,1	2,9	9,61	8,41	-8,99
15	37	-2,1	1,9	4,41	3,61	-3,99
17	35	-0,1	-0,1	0,01	0,00	0,01
18	33	0,9	-2,1	0,81	4,41	-1,89
19	31	1,9	-4,1	3,61	16,81	-7,79
21	34	3,9	-1,1	15,21	1,21	-4,29
22	32	4,9	-3,1	24,00	9,61	-15,19
23	30	5,9	-5,1	34,81	26,01	-30,09
171	351	x	y	168,90	128,9	-139,10





Wariancje badanych cech



Odchylenia standardowe badanych cech




Kowariancja




Współczynnik korelacji




Współczynnik determinacji informuje jaki procent zmian wartości cechy x (y) jest wyjaśniony zmianami wartości cechy x (y)




Dodatkowo wyznaczamy wartość współczynnika determinacji

W badanej próbie zachodzi silna ujemna liniowa zależność korelacyjna pomiędzy wielkością dziennych obrotów z wysokością zapasów, czyli, że wraz ze wzrostem wielkości obrotów maleje wielkość zapasów. Wielkość dziennych zapasów w 88,9% zależy od wysokości obrotów, natomiast w pozostałych od innych czynników.

4
























































































Krzywa liczebności

Częstość względna

x

50 %

50 %

Mediana

x

Częstość względna

x

x

Częstość względna

Częstość względna







dominanta
















25 %

25 %

x

25 %

25 %

Q₁

Q₂

Q₃




Zależność liniowa ujemna

Zależność nieliniowa

x

x

x

y

Zależność liniowa dodatnia

y

y

r bliskie zeru

Brak zależności

x

r>0

r<0

y










obwiednia

Zależność liniowa ujemna

40

20

10

20

obroty

10

30

40

30

zapasy