Stayst Stos 1, Rachunek Prawdopodobie˙stwa i Statystyka Matematyczna


Statystyka Stosowana. Lista nr 1.

1. Pokaza, e

0x01 graphic

0x01 graphic

2. Niech

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Znale zbiory

0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, A\B, A\C, B\A.

3. Wyznaczy

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

jeli

0x01 graphic
, 0x01 graphic
,gdzie a<b.

4. Aby uzyska poczenie w sieci komputerowej uytkownik musi zna

haso, które skada si z piciu liter alfabetu angielskiego oraz jednej

cyfry nastpujcej po sekwencji liter. Jakie jest prawdopodobiestwo, e

osoba postronna odgadnie haso jeeli wiadomo jej i haso to zawiera

trzy litery A oraz na kocu jest cyfra bdca liczb parzyst (Uwaga:

0 jest liczb parzyst).

5. Rozmieszczamy losowo r rozrónialnych kul w n komórkach. Wyznaczy

prawdopodobiestwo, e komórka pierwsza zawiera dokadnie k kul (statystyka

Maxwella-Boltzmanna).

Rozmieszczamy losowo r nierozrónialnych kul w n komórkach. Wyznaczy

prawdopodobiestwo, e komórka pierwsza zawiera dokadnie k kul (statystyka

Bose-Einsteina).

6. . Z talii kart wycignito cztery karty. Znale prawdopodobiestwo,

tego e bd wród nich dokadnie dwa asy.

7. W skrzynce znajduje si 47 arówek dobrych i 3 przepalone. Wycigamy losowo pi arówek. Jakie jest prawdopodobiestwo, e bd wród nich najwyej dwie przepalone?

8. Winda rusza z siedmioma pasaerami i zatrzymuje si na dziesiciu

pitrach. Jakie jest prawdopodobiestwo, e kady z pasaerów

wysidzie na innym pitrze?

9.. Pokaza, e dla dowolnych dwóch zdarze A, B

a) 0x01 graphic
.

b) prawdopodobiestwo, e zaszo dokadnie jedno ze zdarze A , B

jest równe 0x01 graphic
.

10. . Udowodni, e

0x01 graphic

a nastpnie uogólni ten wzór dla sumy n zbiorów.

11. Mamy n kopert i n listów ponumerowanych liczbami od 1 do n.

W sposób losowy wkadamy listy do kopert. Jakie jest prawdopodobiestwo

zdarzenia A, które polega na tym, e chocia jeden list bdzie we waciwej

kopercie. Znale granic tego prawdopodobiestwa przy 0x01 graphic
.

12. Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, bdzie cigiem zdarze takim, e 0x01 graphic
dla kadego r. Pokaza, e 0x01 graphic
=1 .

13. Rzucamy monet tak dugo, a upadnie dwa razy pod rzd na t sam

stron . Jak wyglda przestrze zdarze elementarnych ?

Jakie jest prawdopodobiestwo tego, e gra skoczy si przed

szóstym rzutem? Jakie jest prawdopodobiestwo, e potrzebna bdzie parzysta

liczba rzutów ?

14. Trzech strzelców oddao po jednym strzale, przy czym dwa pociski trafiy w cel. Znale prawdopodobiestwo tego, e trzeci strzelec trafi, jeli prawdopodobiestwa trafienia dla poszczególnych strzelców wynosz :

0x01 graphic
.

15. Na 100 mczyzn piciu, a na 1000 kobiet dwie nie rozróniaj kolorów. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mczyzn wybrano losowo osob, która okazaa si daltonist. Jakie jest prawdopodobiestwo, e jest to kobieta ?

16. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Rozpatrzmy trzy zdarzenia :

A - suma oczek jest parzysta, B - suma oczek jest mniejsza ni 4, C - suma oczek jest podzielna przez 3.

Czy zdarzenia A, B, C s wzajemnie niezalene?

4. Czy jest moliwe, aby dwa zdarzenia byy niezalene i rozczne ?

5. Czy jest moliwe, aby zdarzenie A byo niezalene od zdarzenia A ?

6. Udowodni , e jeli zdarzenia A, B, C s niezalene to zdarzenia A, B,

0x01 graphic
s niezalene.

17. Pewna metoda izotopowa wykrywania uszkodze daje nastpujce wyniki:

a) jeli urzdzenie ma uszkodzenie to metoda ta pozwala na jego wykrycie

w 90% przypadków i nie wykrywa go w 10% przypadków;

b) jeli urzdzenie nie ma uszkodzenia to metoda ta daje w 99% przypadków

informacje zgodne ze stanem faktycznym i w 1% przypadków informuje o defekcie, którego nie ma. W pewnej partii urzdze jest 2%, majcych defekt. Jakie jest prawdopodobiestwo, e wybrane losowo urzdzenie , rozpoznane jako uszkodzone jest rzeczywicie uszkodzone?

18. Pewien egzamin sprowadza si do podkrelenia poprawnej odpowiedzi na

licie obejmujcej poza odpowiedzi prawdziw m - 1 odpowiedzi faszywych.

Niech p oznacza prawdopodobiestwo tego, e zdajcy zna prawdziw

odpowied. Jakie jest prawdopodobiestwo tego, e zdajcy zna prawdziw

odpowied , jeeli podkrelenie byo trafne. Wykona obliczenia dla

p = 1/2 i m = 6.

19. Niech 0x01 graphic
bd zdarzeniami takimi, e

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Czy zdarzenia te s niezalene?

20. Pewna firma produkuje oporniki o nominalnej opornoci 10 Omega .

Jednake ich rzeczywista oporno moe si zmienia. Stwierdzono,e

5% oporników ma oporno poniej 9,5 Omega, 10% -- powyej 10,5 Omega.

Wybrano losowo dwa oporniki (niezalenie). Wyznaczy prawdopodobiestwo tego, e

a) opornoci obu oporników przyjmuj wartoci midzy 9,5 i 10,5 Omega,

b) co najmniej jeden z tych oporników ma oporno wiksz od 10,5 Omega.

Roman Róaski.

_



Wyszukiwarka