04.03.2013

Wykład 2

Logarytmiczna stopa zwrotu - właściwa dla warunków kapitalizacji ciągłej. Występuje jeżeli kapitał nieustannie podlega kapitalizacji.

Kapitalizacja ciągła w odróżnieniu od dyskretnej oznacza, że ∆t = 0 (pomiędzy okresami odsetkowymi). Wówczas:

Stopa zwrotu policzona od takich warunków kapitalizacji ciągłej jest stopą logarytmiczną. Jest logarytmem naturalnym ilorazu dwóch wielkości. Poszukuję wykładnika o podstawie exponenty. Postać stopy zwrotu

Jeżeli stopa prosta wynosi 5% to logarytmiczna wynosi 4,80%.

Efektywność budowy portfeli inwestycyjnych - takich, że wszystkie składniki które tworzą ten portfel są obarczone ryzykiem zatem są akcjami. Rozważamy stopę zwrotu oraz ryzyka tak konstruowanych portfeli, zwłaszcza wzajemnej relacji między stopą zwrotu a ryzykiem.

Postać uproszczona dla portfeli dwuskładnikowych - z poprzedniego wykładu.

Dla portfela n- składnikowego nie ma już współczynnika korelacji, czy kowariancji tylko mamy macierz współczynników korelacji pomiędzy składnikami i-tymi z j-tymi albo macierz kowariancji. Aby policzyć wariancję trzeba znać macierz.

Macierz wariancji kowariancji oraz macierz współczynników korelacji n- składnikowego portfela inwestycyjnego, którego skład tworzą akcje a n>2.

N=4 - portfel 4-składnikowy
zamiast wartości kowariancji mam macierz kowariancji, która w szczególnym przypadku zamienia się w wariancję.
Wariancja portfela n- składnikowego jest wyjściowa.

Graficzny układ macierzy:

Macierz jest symetryczna - cov(1,2) = cov(2,1) itd.

Co będzie na przekątnej tej macierzy - wariancja, sigma2 (składnika 1) itd.

Jeżeli ze wzoru na wariancje korzystamy w odcieniu znaczeniowym pierwszym ze współczynnikami korelacji wtedy macierz staje się macierzą korelacji o następującym kształcie.

*Wariancja z populacji

W macierzy korelacji wszystkie wartości są z przedziału od -1 do 1. Jeżeli to robimy na empirycznych danych z giełdy to wartości ujemne są osiągane bardzo rzadko.

Portfele dwuskładnikowe

Współczynnik korelacji a ryzyko portfela dwuskładnikowego

Wzór o uniwersalnym charakterze

Dwa pierwsze składniki odpowiadają za tę cząstkę portfela… odchyleniem standardowym ich stóp zwrotu.
Co się dzieje z ryzykiem portfela jeśli korelacja jest ujemna. Wówczas
jest ujemne. Cały trzeci składnik jest ujemny - ryzyko portfela jest niższe niż średnia ważona ryzyk składników tego portfela.

Ryzyko portfela dwuskładnikowego dla korelacji = 1.

Dobieramy do portfela dwa składniki A i B.
ri - stopa zwrotu

Jeśli współczynnik korelacji
= 1

²

Ile portfeli dwuskładnikowych można ułożyć mając do dyspozycji składniki A i B?
nieskończenie wiele - zawsze wchodzi A i B ale w rożnych proporcjach.

Dla każdego poziomu wagi od zera równocześnie składników A i B, przesuwamy się po odcinku A i B (jak na rysunku). Im bliżej jestem punktu B tym większy jest udział składnika B…
Rośnie ryzyko - rośnie stopa
Maleje ryzyko - maleje stopa
Dla korelacji = 1 - dywersyfikacja polega na tym, że wzrost stopy zwrotu proporcjonalnie jest obciążony wzrostem ryzyka ale nie zawsze tak musi być.

Analiza portfeli dla

Zwrot jednej spółki = spadek drugiej spółki

Wychodząc od portfela jednoskładnikowego, jak dokłada B (założenia te same). Stopa zwrotu rośnie. Rb.ra a ryzyko maleje. Jeżeli A maleje to B rośnie. Ryzyko portfela dwuskładnikowego AB przy wadze B.0 jest mniejsze niż ryzyko portfela A. Najpierw przesuwam się od punktu w lewo na północny-zachód. Otrzymuje portfel o stopie zwrotu wyższej niż Ra znacznie wyższej niż rf o ryzyku zerowym.

Teza - dla korelacji = -1 można skonstruować portfel o stopie zwrotu wyższej niż rA i o zerowym poziomie ryzyka. Aby ta relacja zachodziła proporcje pomiędzy A i B muszą być ściśle ustalone i wynoszą:

Jeżeli znajdziemy spółki na giełdzie, które mają korelację - 1 otrzymamy portfel wolny od ryzyka. W praktyce to nie jest możliwe.

Po przekroczeniu tych proporcji. Jak się przesuwam od A do R0 - zwiększam udział składnika B. W punkcie Ro mam te proporcje pomiędzy składnikiem A i B. Jeśli dalej będę zwiększał udział B ponad wagę sigma A przez…. To będę się poruszał na odcinku R0-B odchodząc od wolnego od ryzyka dochodząc do portfela jednoskładnikowego.

Portfel C i D - ryzyko portfela C jest takie samo jak ryzyko portfela D a stopa zwrotu portfela C< od D. Wybieram D. Prosta jest odłożona w dowolnym punkcie - równoległa do y - wszystkie portfele na odcinku A-R0 poza R0 - są gorsze od wszystkich na odcinku R0-B poza R0. W tym sensie portfele na odcinku A- R0 nazywamy - portfelami zdominowanymi - są nieefektywne. Górne na odcinku R0-B - portfele niezdominowane czyli efektywne.

Jeżeli
= -1
to:

²

Dla każdej ujemnej korelacji ryzyko portfela jest niższe od średniej ważonej ryzyka poziomów tego portfela. Odchylenie standardowe tego portfela:

Jeśli korelacja a-1 nie jest osiągalna to rozważmy jak układają się portfele dla niskich poziomów korelacji w szczególności dla jej braku.

Ryzyko portfela dwuskładnikowego przy braku korelacji - ro=0

W tym ujęciu uzyskanie portfela wolnego od ryzyka nie jest możliwe ale jest możliwe ograniczanie ryzyka.

Dla ro=0 wszystkie możliwe portfele dwuskładnikowe będą się układały wzdłuż krzywej AB.
najniższy poziom ryzyka
MVP - portfel minimalnej wariancji - nie da się ograniczyć ryzyka do poziomu NVP do poziomu x, bardziej się nie da

Dla ro = -1/2

Im ro jest bliższe jedności tym krzywa coraz bardziej przypomina odcinek i dla ro=1 staje się tym odcinkiem. Połączenie punktów minimalnych wariancji oraz punktu r0 daje nam pewną półprostą (RYS) p - dzieli zbiór na zdominowane portfele - poniżej prostej i niezdominowane - lezące powyżej tej prostej czyli efektywne. Wszystkie portfele minimalnej wariancji są efektywne.

Rysunek 1.
Założenia:

Analiza efektywności portfeli wieloskładnikowych dla n>2 (bez instrumentów wolnych od ryzyka)

Na podstawie portfela 4-składnikowego

Portfele czteroskładnikowe - zbiór musi być reprezentowany krzywą AD
MVP - portfel minimalnej wariancji
Wszystkie portfele na krzywej AMVP są zdominowane a wszystkie portfele MVPD są niezdominowane - efektywne. Jeżeli na krzywej MVPD są portfele efektywne to musi znajdować się na tej krzywej portfel rynkowy - M.
Portfel rynkowy jest efektywny. Stopa zwrotu wolna od ryzyka musi znajdować się poniżej stopy zwrotu składnika A - rf.
Połączenie rf - M - funkcja - funkcja CML - Capital Market Line - model CAPM.

Rysunek 2.

Założenia:

Finanse i Rachunkowość	Przedmiot: Modele inwestycyjne (wykłady)
Rok akademicki 2012/2013	Semestr II
Prof. UE dr hab. K. Pera	Autor notatki: Joanna Orzeł

4

---