Mariusz Kos 2004-03-16
L5
WICZENIE 9
Sprawdzanie równania ruchu obrotowego bry
Cz teoretyczna wiczenia .
Równanie ruchu obrotowego bryy
M = I (1)
Równanie dynamiki dla ciaa o masie m
ma = mg - N (2)
Moment siy
M = r x N (3)
Z równania (2) i (3) otrzymujemy
M = r x m(g - a) (4)
Moment bezwadnoci ukadu
I = I0 + IW
Moment bezwadnoci walców
IW = 4I1 + 4MR2 I1 = ml2/12
Cakowity moment bezwadnoci
I = I0 + 4I1 + Md2 (5)
Przyjmujc Ic = I0 + 4I1 otrzymujemy
I = IC + Md2 (6)
czc równanie (1) , (4) , (6) otrzymujemy
mr x (g - a) = (IC + Md2)
Podstawiajc za = a / r oraz a = 2h / t2 otrzymujemy
t2 = (2h / g)(1 + IC / mr2) + (2Mh / mgr2)d2
W ukadzie wspórzdnych , w którym na osi y odkadamy t2 , a na osi x , d2 , powysze równanie jest równaniem prostej typu :
y = Ax + B gdzie
A = 2Mh / mgr2 (7)
B = (2h / g)(1 + IC / mr2) (8)
Wykonanie wiczenia .
1. Warz mas walca M i mas ciarka m .
2. Ustalam okrelon wysoko spadania h i odczytuj j ze skali.
3. Mierz czas pokonania drogi h przez ciarek .
4. Pomiary powtarzam 5 razy .
5. Dowiadczenie sprowadza si do wyznaczenia czasu spadania ciarków z okrelonej wysokoci dla 6 do 10 rónych odlegoci walców od osi obrotu (zaczynamy od maksymalnego oddalenia walców od osi) .
1. Wyznaczona z pomiarów masa walca M jest równa 0.154 kg.
Warto rzeczywista wynosi 0.193 kg. Otrzymana warto nieco róni si od wartoci rzeczywistej, gdy na pomiar wpyny bdy: pomiaru wysokoci z której spuszczany by ciarek o masie m (ciarek umieszczany na rónych wysokociach rónicych si midzy sob o kilka milimetrów wcza fotokomórk poruszajc si ju z pewn prdkoci pocztkow), bd pomiaru rednicy walca (r) oraz dziaanie si tarcia.
2. Zmieniajc moment bezwadnoci poprzez zmian pooenia mas wzgldem osi obrotu wpywalimy na zmian przypieszenia ktowego . Wraz ze wzrostem odlegoci mas od osi obrotu przypieszenie ktowe malao . Liniowy charakter wykresu dowodzi susznoci drugiego prawa dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego M = I. Natomiast warto staej B wynika z bezwadnoci prtów na których umieszczone zostay ciarki o masach M.
Tabela pomiarowa
Lp. |
M |
m |
r |
d |
d2 |
t |
t2 |
I |
IC |
- |
[ kg ] |
[ kg ] |
[ m. ] |
[ m ] |
[ m2 ] |
[ s ] |
[ s2 ] |
[ kgm2 ] |
[ kgm2 ] |
1 |
193 |
175 |
4,27 |
0,46 |
0,2116 |
3,186 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3,152 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3,101 |
9,891 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3,198 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3,090 |
|
|
|
6 |
|
|
|
0,42 |
0,1764 |
2,989 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
2,990 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
2,885 |
8,762 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
2,928 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
3,009 |
|
|
|
11 |
|
|
|
0,38 |
0,1444 |
2,667 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
2,701 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
2,677 |
7,257 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
2,726 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
2,699 |
|
|
|
16 |
|
|
|
34 |
0,1156 |
2,551 |
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
2,480 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
2,547 |
6,375 |
|
|
19 |
|
|
|
|
|
2,524 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
2,523 |
|
|
|
21 |
|
|
|
0,30 |
0,09 |
2,279 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
2,304 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
2,201 |
5,125 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
2,306 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
2,229 |
|
|
|
26 |
|
|
|
026 |
0,1296 |
2,039 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
2,088 |
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
2,038 |
4,145 |
|
|
29 |
|
|
|
|
|
2,010 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
2,006 |
|
|
|
31 |
|
|
|
0,22 |
0,0484 |
1,800 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
1,827 |
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
1,822 |
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
1,788 |
3,243 |
|
|
35 |
|
|
|
|
|
1,767 |
|
|
|
36 |
|
|
|
0,18 |
0,0324 |
1,588 |
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
1,608 |
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
1,533 |
2,468 |
|
|
39 |
|
|
|
|
|
1,578 |
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
1,550 |
|
|
|
IV. Wykres
W celu naszkicowania wykresu obliczamy t2r dla kadej wartoci d2 .
t2r = 
d2 |
t2r |
|
|
[ m2 ] |
[ s2 ] |
[ m2 ] |
[ s2 ] |
0.0196 |
14.232 |
0.00056 |
0.356 |
0.0324 |
17.572 |
0.00072 |
0.584 |
0.0484 |
22.395 |
0.00088 |
0.903 |
0.0676 |
27.953 |
0.00104 |
1.891 |
0.09 |
34.359 |
0.0012 |
1.181 |
0.1156 |
36.738 |
0.00136 |
1.257 |
0.1444 |
44.84 |
0.00152 |
0.604 |
0.1764 |
54.63 |
0.00168 |
1.106 |
0.2116 |
62.315 |
0.00184 |
1.678 |
0.25 |
68.463 |
0.002 |
2.269 |
Po naszkicowaniu wykresu wyznaczamy wartoci A i B z równania prostej
y = Ax + B .
B = 11.07 [ s2 ]
A = (y - B) / x = (28.615 - 11.07) / 0.075 = 233.9 [ s2/m2 ]
Nastpnie przeksztacajc wzory (7) i (8) wyznaczamy moment bezwadnoci I oraz mas walca M .
Wyznaczanie momentu bezwadnoci IC oraz masy walca M:
Obliczenie wspóczynników ( podstawienie do oblicze d2 w m2 ) A i B prostej
t2 = f (d2) :
Obliczanie masy walca M i momentu bezwadnoci IC :
Przykadowe obliczenia momentu bezwadnoci I :
Bdy :
r = 0,1[mm]
Wnioski :
Zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bryy ma posta 
, odpowiednio przeksztacajc to równanie dla wahada Oberbecka (którym posugiwalimy si w wiczeniu)
otrzymujemy : 
. Prostoliniowy charakter zalenoci
( patrz wykres ) t2 = f (d2) jest dowodem susznoci równania ruchu obrotowego bryy . Rzeczywista masa walca M = 193 [ g ] tylko nieznacznie róni si od masy wyznaczonej w wiczeniu równej 193,3 [ g ].
Rónica 0,3 [ g ] midzy wartoci rzeczywist a dowiadczaln wiadczy o poprawnoci wykonania i dokadnoci przeprowadzonego dowiadczenia.
Obliczamy I dla kadej wartoci d2 korzystajc z zalenoci (6).
I1 = 0.0103 + 0.193
0.25 = 0.0586
V. Wnioski
Wyznaczona z wykresu masa walca M jest wiksza od jego rzeczywistej masy zmierzonej dowiadczalnie .
M = 0.22 
0.026 [ kg ]
Na powstanie tego bdu wpyw miay bdy powstae przy pomiarze czasu wynikajce z dziaania si tarcia i z niedokadnego umieszczania opadajcego ciarka (ciarek wcza fotokomórk poruszajc si ju z pewn prdkoci pocztkow) .
Zmieniajc moment bezwadnoci porzez zmian pooenia mas wzgldem osi obrotu wpywalimy na zmian przypieszenia ktowego (jest to druga pochodna kta po czasie) . Wraz ze wzrostem odlegoci mas od osi obrotu przypieszenie ktowe malao . Liniowy charakter wykresu dowodzi susznoci drugiego prawa dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ( M = I ) , z którego wynika i przypieszenie ktowe jest odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwadnoci I .
Wyszukiwarka