2010/2011

Odpowiedzi do zadań z matematyki dla Towaroznawstwa

Zestaw IV

Zadanie 1

1. Wartość najmniejsza:
   , wartość największa:
   .

2. Wartość najmniejsza:
   , wartość największa:
   .

3. Wartość najmniejsza:
   , wartość największa:
   .

4. Wartość najmniejsza:
   , wartość największa:
   .

5. Wartość najmniejsza:
   , wartość największa:
   .

6. Wartość najmniejsza:
   , wartość największa:
   .

7. Wartość najmniejsza:
   , wartość największa:
   .

8. Wartość najmniejsza:
   , wartość największa:
   .

Zadanie 2

1. 
   ,
   brak miejsc zerowych,

,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,

brak punktów przegięcia.

2. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,

maksimum lokalne dla
, wartość maksymalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie,

brak punktów przegięcia.

3. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,

maksimum lokalne dla
, wartość maksymalna
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

punkt przegięcia w
.

4. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,

maksimum lokalne dla
, wartość maksymalna
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja rosnąca dla
i malejąca dla
,

funkcja wypukła dla
i wklęsła dla
,

punkt przegięcia w
.

5. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,

maksimum lokalne dla
, wartość maksymalna
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja rosnąca dla
i malejąca dla
,

funkcja wypukła dla
i wklęsła dla
,

punkt przegięcia w
.

6. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,

maksimum lokalne dla
, wartość maksymalna
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

punkt przegięcia w
.

7. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,

maksimum lokalne dla
, wartość maksymalna
,

minima lokalne dla
oraz
, wartość minimalna:
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

punkty przegięcia w
oraz
.

8. 
   , miejsce zerowe:
   ,

,
,

nie ma ekstremów,

funkcja rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

punkt przegięcia w
.

9. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wypukła dla
,

nie ma punktów przegięcia.

Zadanie 3

1. 
   , brak miejsc zerowych,

,
,
,
,

brak ekstremów i punktów przegięcia,

funkcja malejąca w całej dziedzinie,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
.

2. 
   , miejsce zerowe:
   ,

,
,
,
,

brak ekstremów i punktów przegięcia,

funkcja malejąca w całej dziedzinie,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
.

3. 
   , nie ma miejsc zerowych

,
,
,
,

maksimum lokalne dla
, wartość maksymalna
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

punkt przegięcia nie istnieje.

4. 
   , miejsce zerowe:
   ,

,
,
,
,

,
,

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia,

funkcja rosnąca w całej dziedzinie,

funkcja wypukła dla
i wklęsła dla
.

5. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,
,
,

,
,

maksimum lokalne dla
, wartość maksymalna
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

nie ma punktów przegięcia.

6. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,
,
,

,
,

maksimum lokalne dla
, wartość maksymalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

punkt przegięcia w
.

7. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,
,
,

,
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

punkt przegięcia w
.

8. 
   , brak miejsc zerowych,

,
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wypukła dla
i wklęsła dla
,

punkt przegięcia w
.

Zadanie 4

Zbadaj przebieg zmienności funkcji. Narysuj wykresy.

1. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,
,

nie ma ekstremów,

funkcja rosnąca w całej dziedzinie,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

punkt przegięcia w
.

2. 
   , nie ma miejsc zerowych,

,
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna:
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie,

brak punktów przegięcia.

3. 
   , miejsca zerowe:
   ,

,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna:
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

punkt przegięcia w
.

4. 
   , nie ma miejsc zerowych,

,
,
,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna:
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wklęsła dla
i wypukła dla
,

brak punktów przegięcia.

5. 
   , miejsce zerowe:
   ,

,

minimum lokalne dla
, wartość minimalna:
,

funkcja malejąca dla
i rosnąca dla
,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,

brak punktów przegięcia.

---