LICZBY ZESPOLONE

• Definicja liczby zespolonej:

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę z=(x,y) liczb rzeczywistych, tj. x,y
R.

• Definicja równości, sumy i iloczynu liczb zespolonych:

Niech z₁=(x₁,y₁) i z₂=(x₂,y₂) będą liczbami zespolonymi. Definiujemy:

1. równość liczb zespolonych z₁ i z₂: z₁=z₂
   x₁=x_{2 ^} y₁=y₂

2. dodawanie liczb zespolonych z₁ + z₂: (x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂,y₁,y₂)

3. iloczyn liczb zespolonych z₁∙z₂: (x₁,y₁)∙(x₂,y₂)=(x₁+x₂-y₁,y₂,x₁y₂+x₂y₁)

• Definicja liczby przeciwnej:

Liczbę zespoloną postaci (-x,-y) nazywamy liczbą przeciwną do (x,y).

• Definicja odejmowania liczb zespolonych:

Odejmowanie liczb zespolonych określamy wzorem: (x₁,y₁)-(x₂,y₂)=(x₁,y₁)+(-x₂,-y₂)=(x₁-x₂,y₁-y₂)

• FAKT: Liczby zespolone postaci (x,0), gdzie x
  R, mają następujące własności:

1. (x₁,0)+(x₂,0)=(x₁+x₂,0)

2. (x₁,0)∙(x₂,0)=(x₁∙x₂,0)

3. (x₁,0)-(x₂,0)=(x₁-x₂,0)

4. 
   , gdzie x₂
   0

Z własności tych wynika, że zbiór
można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych R. Stąd będziemy pisali x zamiast (x,0).

• Definicja liczby odwrotnej:

Liczbą odwrotną do liczby zespolonej z=(x,y), z
0, nazywamy liczbę postaci:

przy czym spełniony jest warunek:
.

Sprawdzenie:

z=(x,y)

Sprawdzamy, czy

c.n.d.

• Definicja dzielenia liczb zespolonych:

Dzielenie liczb zespolonych z₁ i z₂ określamy wzorem:

• Definicja jednostki urojonej:

Liczbę zespoloną postaci (0,1), ozn. symbolem i, nazywamy jednostką urojoną.

UWAGA: Jednostka urojona i ma tę własność, że i²=-1!!!

Sprawdzenie: i²=(0,1)∙(0,1)=(0∙0-1∙1,0∙1-1∙0)=(-1,0)=-1

UWAGA: postać algebraiczna liczby zespolonej:

Każdą liczbę zespoloną z=(x,y) można zapisać w postaci:

z=x+iy

nazywaną postacią algebraiczną liczby zespolonej.

Sprawdzenie: z=(x,y) (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)∙(0,1)=x+yi c.n.d.

• Definicja części rzeczywistej i części urojonej:

Niech z będzie liczbą zespoloną postaci z=x+iy. Wówczas:

1. liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, co zapisujemy: Rez=x

2. liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, co zapisujemy: Imz=y

Liczbę zespoloną postaci z=iy, gdzie y
R\{0}, nazywamy czysto urojoną.

• Definicja płaszczyzny zespolonej:

Każdej liczbie zespolonej z=x+yi odpowiada dokładnie jeden punkt o współrzędnych (x,y) na płaszczyźnie. Płaszczyznę, której punktom przyporządkowano liczby zespolone nazywamy płaszczyzną zespoloną, ozn. przez C, jej punkty nazywamy punktami płaszczyzny zespolonej.

Liczbom zespolonym postaci z=(x,0) odpowiadają punkty leżące na osi odciętych o współrzędnych z=Rez. Oś tę nazywamy osią rzeczywistą. Liczbom zespolonym postaci z=(0,y) odpowiadają punkty leżące na osi rzędnych o współrzędnych y=Imz. Oś tę nazywamy osią urojoną. Punkt (0,0) nazywamy zerem zespolonym.

oś urojenia

z₁+z_2­

Imz=y

z₁

z₂

(0,0) Rez=x oś rzeczywista

zero zespolone

• FAKT: Równość liczb zespolonych w postaci algebraicznej:

Dwie liczby zespolone z₁ i z₂ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są sobie równe, tj.: z₁=z₂
Rez₁=Rez­_{2 ^} Imz­₁=Imz₂.

• FAKT: Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej:

Niech z₁=x₁+y₁i oraz z₂=x₂+y₂i :

1. dodawanie z₁ + z₂: z₁+z₂=(x₁+x₂)+(y₁+y₂)i

2. odejmowanie z₁ - z₂: z₁-z₂=(x₁-x₂)+(y₁-y₂)i

3. 
   iloczyn z₁∙z₂: z₁∙z₂=(x₁∙x₂-y₁∙y₂)+(x₁∙y₂+x₂∙y₂)i -1

Sprawdzenie: z₁∙z₂=(x₁+iy₁)∙(x₂+iy₂)=x₁x₂+ix₁y₂+iy₁x₂+i²y₁y₂=(x₁∙x₂-y₁∙y₂)+(x₁∙y₂+x₂∙y₂)i

4. iloraz
   :
   

• Definicja liczby sprzężonej:

Niech z=x+yi. Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z, oznaczamy symbolem
, nazywamy liczbę zespoloną postaci:

• FAKT: Własności sprzężenia liczb zespolonych:

Niech z, z₁ i z₂
C. Wtedy:

• 
  

• 
  

Dowód: z₁=x₁+iy₁,
=x₁-iy₁, z₂=x₂+iy₂,
=x₂-iy₂

c.n.d.

• 
  
  -1

Dowód: z₁∙z₂=(x₁+iy₁)∙(x₂+iy₂)=x₁x₂+ix₁y₂+iy₁x₂+i²y₁y₂=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+y₁x₂)

L=
=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+y₁x₂) -1

P=
=(x₁+iy₁)∙(x₂+iy₂)=x₁x₂+ix₁y₂+iy₁x₂+i²y₁y₂=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+y₁x₂)

L=P c.n.d.

• 
  , o ile z₂
  0

• z+
  =2Rez

Dowód: z=+iy,
=x-iy

z+
=x+iy+x-iy-2x=2Rez c.n.d.

• z-
  =2iImz

• z=
  
  z=x
  R

• z
  0
  
  
  0

• Im
  = -Im(z)

WNIOSEK:

• Definicja modułu liczby zespolonej:

Modułem liczby zespolonej postaci z=x+yi nazywamy liczbę rzeczywistą |z| określoną wzorem:

• FAKT: Własności modułu liczby zespolonej:

Niech z, z₁ i z₂
C. Wtedy:

• |z| > 0

• |z| = 0
  z=0

• |-z|=|z|

• 
  =|z|

• z ∙
  = |z|²

Dowód: z=x+iy,
=x-iy -1

z ∙
=(x+iy)∙(x-iy)=x²-i²y²=x²+y²=
=|z|²

• |z₁∙z₂| = |z₁| ∙ |z₂|

• 
  , o ile z₂
  0

• |z₁+z₂| < |z₁| + |z₂|

moduły

• 
  
  
  

wartość bezwzględna

• FAKT:

Dzielenie liczb zespolonych z₁ i z₂ wyraża się wzorem:
, o ile z₂
0.

• Definicja argumentu i argumentu głównego liczby zespolonej:

Argumentem liczby zespolonej z= x+iy, z
0, gdzie x,y
R, nazywamy każdą liczbę φ
R spełniającą układ równań:

Argument liczby zespolonej oznaczamy przez arg(z). Przyjmujemy dodatkowo, że argumentem liczby z=0 jest każda liczba φ
R.

Argumentem głównym liczby zespolonej z
0 nazywamy argument φ tej liczby spełniający nierówności: 0<φ<2π. Argument główny oznaczamy przez Arg(z). Przyjmujemy, że argumentem głównym liczby z=0 jest 0.

WNIOSEK: Każdy argument liczby zespolonej z
0 ma postać arg(z)=Arg(z)+2kπ, gdzie k
Z.

• FAKT:

Niech z
0 będzie dowolną liczbą zespoloną. Wtedy:

1. argument sprzężenia:

Arg
=2π-Arg(z)

2. argument liczby przeciwnej:

3. argument liczby odwrotnej:

Arg
=2π-Arg(z)

• POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ

• FAKT: Postać trygonometryczna liczby zespolonej:

Każdą liczbę zespoloną z=x+iy można przedstawić w postaci:

z = |z|(cosφ+isinφ) (1)

gdzie |z| oznacza moduł liczby zespolonej, a φ jej argument główny.

Wzór (1) nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Dowód: z=x+iy

z=|z|(cosφ+isinφ) c.n.d.

Interpretacja geometryczna:

y=Imz

y z=x+iy

φ

x x=Rez

Przykład: Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone w postaci: z₁=
-i, z₂=i,

z₃=-3, z₄=1+i

y=Imz y=Imz

1 z₂

π

z₃

1 x=Rez -3 -2 -1 x=Rez

y=Imz

1 z₄

1 x=Rez

I ćwiartka	φ0
II ćwiartka	π - φ0
III ćwiartka	π + φ0
IV ćwiartka	2π - φ0

• FAKT:

Liczby zespolone z₁ = |z₁|(cosφ₁+isinφ₁) i z₂ = |z₂|(cosφ₂+isinφ₂) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe moduły i ich argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność 2π, tj.:

|z₁|=|z₂| _^ φ₁=φ₂+2kπ, k
Z

• FAKT:

Niech z₁ = |z₁|(cosφ₁+isinφ₁) i z₂ = |z₂|(cosφ₂+isinφ₂) będą liczbami zespolonymi. Wówczas:

z₁∙z₂=|z₁|∙|z₂|∙[cos(φ₁­+φ₂)+isin(φ₁+φ₂)] (2)

, o ile z₂
0

Dowód:

z₁∙z₂=|z₁|(cosφ₁+isinφ₁)∙|z₂|(cosφ₂+isinφ₂)= -1

=z₁∙z₂∙(cosφ₁cosφ₂+ cosφ₁isinφ₂+ isinφ₁cosφ₂+i²sinφ₁sinφ₂)=

= z₁∙z₂∙[cosφ₁cosφ₂- sinφ₁sinφ₂+i(cosφ₁sinφ₂+sinφ₁cosφ₂)]= |z₁|∙|z₂|∙[cos(φ₁­+φ₂)+isin(φ₁+φ₂)]

c.n.d.

UWAGA: Wzór (2) można uogólnić na dowolną liczbę czynników, tj.:

z₁∙z₂∙...∙z_n=|z₁|∙|z₂|∙...∙|z_n|∙[cos(φ₁­+φ₂+...+φ_n)+isin(φ₁+φ₂+...+φ_n)]

• FAKT: Wzór Moivre'a:

Niech z=|z|(cosφ+isinφ). Wówczas:

zⁿ=|z|ⁿ∙(cosφ+isinφ)

Przykład: Obliczyć:

• PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH

• Definicja pierwiastka liczby zespolonej:

Pierwiastkiem stopnia n
N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w spełniającą równość: wⁿ=z.

Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej oznaczamy przez
.

• FAKT: Wzór na pierwiastki z liczby zespolonej:

Każda liczba zespolona z = |z|(cosφ+isinφ) ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków ma postać:

gdzie:

(3)

dla k=0,1,2,...,n-1, przy założeniu, że φ jest dowolnym argumentem liczby zespolonej z.

WNIOSEK: Ze wzoru (3) wynika, że wszystkie pierwiastki z danej liczby zespolonej mają takie same moduły, a więc geometrycznie wszystkie leżą na okręgu o promieniu r=
.

y=Imz

w₂ w₁ z

w₃ w₀

x=Rez

w_n-1

Przykład: Wyznaczyć

z=-i

y=Imz

w_o

α=β=γ

α β

γ x=Rez

w₁ w₂

Przykład: Wyznaczyć

z=-8+8
i

y=Imz

w₁

w₀

x=Rez

w₂

w₃

UWAGA: Jeżeli dla danej liczby zespolonej trudno jest wyznaczyć jej argument, wtedy jej

pierwiastek możemy wyznaczyć w sposób bezpośredni.

Metoda ta jest efektywna szczególnie w przypadku pierwiastka stopnia drugiego.

Przykład: Wyznaczyć
.

z=-6+8i

• POSTAĆ WYKŁADNICZA LICZBY ZESPOLONEJ

• Definicja symbolu e^iφ:

Dla φ
R liczbę zespoloną cosφ+isinφ oznaczamy krótko przez e^iφ, tj. e^iφ
cosφ+isinφ.

• FAKT: Własności symbolu e^iφ:

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  , gdzie k
  Z

• 
  , dla pewnego k
  Z

• FAKT: Wzory Eulera:

Niech φ
R. Wówczas zachodzą następujące wzory:

• FAKT:

Niech
i
. Wówczas: z₁=z₂
|z₁|=|z₂| _^ φ₁=φ₂+2kπ, k
Z.

• FAKT: Działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej:

Niech
,
i
, gdzie φ₁, φ₂ i φ
R, |z₁|, |z₂| i |z|>0, k
Z.

• 
  

• 
  

• 
  , o ile z
  0

• 
  (wzór Moivre'a)

• 
  

• 
  , o ile z
  0

Przykład: Wykonać działania:
, jeśli

• ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ W ZBIORZE LICZB ZESPOLONYCH

Weźmy równanie:

zⁿ+a_n-1z^n-1+a_n-2z^n-2+...+a₁z+a₀=0 (4)

o współczynnikach a_i
C, i=0,1,...,n-1, którego dziedziną jest zbiór liczb zespolonych.

Własność 1: Równanie (4) ma w zbiorze liczb zespolonych dokładnie n pierwiastków

(nieskończenie różnych)

Własność 2: Jeżeli liczba z₀ jest pierwiastkiem równania (4) o współczynnikach rzeczywistych, tj.

a_i
R, i=0,1,...,n-1, to liczba zespolona
jest też pierwiastkiem tego równania.

Własność 3: Równanie (4) stopnia nieparzystego, o współczynnikach rzeczywistych ma, co

najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Przykład: Rozwiązać równania w płaszczyźnie zespolonej.

1. x²-2x+2=0

2. 
   

3. z⁵-z⁴+z-1=0

z⁴(z-1)+z-1=0

(z-1)(z⁴+1)=0
z₅=1

z⁴+1=0

z⁴=-1

---