zPA wyk 3 9.03.2000

Modele matematyczne układu dynamicznego

Typy problemów:

Zbadanie obiektu automatyki - poznanie obiektu : Własności statyczne i dynamiczne

Wykonanie projektu automatyki lub udoskonalenie obiektu istniejącego

Jednoznaczność wym

Rozwiązanie A iB sprowadza się do indetyfikacji obiekru

Atrybutem indetyfikacji jest jednoznaczność, co wymaga zasrosowania opisu matematycznego obiektu.

Model -opis (wyobrażenia )obiekt (procesu) rzeczywistego różne sposoby opisu .

Model matem. - to model :

sformalizowany za pomoca aparatu matematycznego

produkt abstrakcyjny

Układ dynamiczny to układ :

według Kaczorka : opisany przez trójkę : s:= ({T,W,B}, gdzie :

1. T - zbiór chwil czasowych

1. W - zbiór wartości sygnałów (wartość sygnałów tworzą przestrzeń)

1. B - zbió trajektorii w:=T W spełniających przawa rządzące obiektem (określają zachowanie obiektu)

1. Motel matematyczy układu dynamicznego - sdormalizowanu model układu dynamicznego . Podstawyformalizowany tworzą spostrzezenia:

Własności obiektów dynamicznych mogą być opisane przy pomocy modeli(sformalizowanycg)

dalopisu właności dynamicznuch różnuch obiekrów synamicznycg poszukucje się taki samuch wspólnych metos.

Układ dynamiczny nazywamy :

• Układe mciagłym jeśli T =R , gdzue R - zbiór liczb rzczywuistych., czyli czas jest mmienną ciągła

• Układem dyskretnym - jeśli T =C , gdzie C -zbiór licz całkowitych, czyli czs jets zmienną dyskretną.

• Istnieje wiele klas modeli matematycznych układów dynamicznych .Jedną --> [Author:(null)] z tych jest model układ wejściowo - wyjściowy .

Rys. Model układu dynamicznego

Własności (niektórych) obiektów dynamicznych :

Przebiegi sygn. Układu dyn, w czasie zależną nie tylko od aktualnych wartości wymuszeń także od wymuszeń , które były w przeszłości ,

Aby układ był układem dynamicznym musi zawierać co najmniej jedną zmienną stanu,

Niekiedy do opisu układu dynamicznego wystarczą opisy wejść i wyjść bez jawnego wprowadzania zmiennych stanu,

Przechowują energię

Model matematyczny układu statycznego - sformalizowany model układu ,którego przebiegi sygnałów są niezależne od czasu.

Rys. Model układu statycznego

Własności :

między wyjściem a wejściem obowiązuje zależność funcyjna nieazależna od czasu 2 Y=F(U,Z)

2. Charakterystyka statyczna jesnoznacznie opisuje układstayczny.

układ statyczny nie ma zmiennech stanu,

ukłasy statyczne to układu rozpraszające energię.

Stan układu:

Najmniej liczny zbiór wielkości dostarczających ilość inoramci, które wystarcz

Zewzględu na budowę układu dynamicznych dzielimy :

układy dynamiczne olelementach skupionych - takie układy w których wyróżnia się skączoną liczną składowych elementów dynamicznych.

Ukady dynamiczne o elemnetach rozłożonych - takie układy w którychnie można wyróżnić odrębnych elementów tzn. , że układ nie może być alanlizowany jako układ złożony z elementów skladowych,

Układy liniowe i nieliniowe - definicje i podstawowe różnice między tymi układami

Układy statyczne i dynamiczne mogą być liniowe lub nieliniowe

Zasada super pozycji :

Odpowiedz układu na wymuszenie będące sumą pewnej liczby składowych jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne składowe.

SPOSOBY OPISU UKADÓW STATYCZNYCH I DYNAMICZNYCH :

Statyczne

• liniowe

• Rówanie algbriczne liniowe

• R1 *i +R2*i = u

• nieliniowe

równ. Alge. Nieliniowe

R1*i+R2(i) *i = u

Oporność R2 zależna nieliniowo od prądu

Dynamiczne

• Liniowe

• równanie liniowe

• różniczkow

• całkowe

• różnicowe

• Ldi(t)/dt + R *i(t) = u(t)

• L i R - współczynniki stałe

• Nieliniowe

Równania nielinowe

różniczkowe

całkowe

różnicowe

Ldi(t)/dt + R(t) * R(t) *i(t) =u(t)

R(t) - współczynnik zależy nile liniowo od czasu np. R(t) = r*e^t

Zasady i zastosowanierachunku operatorowego a autoamtyce

W większości przypadków punktem wyjścia do oceny własności dynamicznych układów liniwych jest liniowe równanie różniczkowe. Równanie powstajena podstawieopisu zjawisk fzycznych dotyczących danego układu.

Postać ogólan równania jest następujaca :

A=a_n * dⁿy(t)/dtⁿ + a_n-1d^n-1y(t)/dt^n-1 + ... a1dy(t)/ dt +a0y(t)=

= b_m d^mu(t)/dt^m + b_m-1d^m-1u(t) /dt^m-1 ... j.w...

Ocena własności liniowych układu dynamicnego :

na podstawie równania różniczkowego nie zawsze jest wygoda , ponieważ zakłada rozwiazanie tego równania ,

może zostać osiągnięta bez konieczności rozwiązania równań różniczkowych.

Możliwość B zakłada wprowadzenie wyrażeń uzyskanych w drodze przekształceń całkowitych tzw. transformacji równania różniczkowego. Do takich przekształceń należy przekształcenie Laplace'a.

Przekształcenie Laplace'a przyporządkowuje określonej funcji czasu f(t) transformatę operatorową F(s) jako funkcję zmiennej zesolonej S.

Transformatę F(s) = Całka 0 do nieskończonośći f(t) e^-st dt = L(pisane){f(t)}

Znając transformatę F(s) można obliczyć oryginał tj. funkcję f(t) drogą przkształcenia odwrotnego:

f(t) = L^-1 {F(s)} = całka c - j*omega do c+ j* omega F(s)e^st ds

Rys. zastosowanie rachunku operatorowego w automatyce

Obiekt fizyczny - opis układu wielkości będące funkcjami czasu (równania różniczkowe przekształcenie laplace'a t s L/: t s Badanie własności obiektu dynamicznego (rachunek operatorowy ) wyrażebie z funkcjami zmiennej zespolonej s t L^-1 :st obiekt fizyczny.

Z takich kals to kalsa modeli we - wy .

do oceny zachownia się u

---