PRZEBIEG ĆWICZENIA :

Celem ćwiczenia było obserwowanie i analiza trajektorii fazowych typowych układów dynamicznych.

1. Analiza portretów fazowych układów liniowych.

W celu otrzymania punktów osobliwych należy dobrać współczynniki a0 i a1 do równania: 2 2

(d x / d t) - a1( dx / dt) - a0 x = 0

Aby owe współczynniki dobrać należy wyznaczyć pierwiastki równania:

2

  a1  a0 = 0

W równaniu wyznaczamy   sqrt ( a1· a1 - 4a0 ) i pierwiastki :

 = ( a1 - sqrt ) / 2

2 = ( a1 + sqrt ) / 2

Rozpatrujemy teraz kolejno sześć rodzajów punktów osobliwych :

Ponieważ stanowisko , na którym wykonujemy ćwiczenie ma ograniczenia w stosunku co do wartości a0 i a1 , mogą one przyjmować jedynie wartości całkowite z przedziału < -7 ; 7 >.

1. Portrety fazowe z węzłem stabilnym sporządzono dla następujących równań:

2        (1)	2        (2)	2        (3)
   ≥ 0  ,   0 a0 = - 1 a1 = - 7	   ≥ 0  ,  0 a0 = - 3 a1 = - 4	 = 0  < 0 a0 = - 1 a1 = - 2

Portrety fazowe dla powyższych równań przedstawia rys.1

Niebieski kolor przedstawia rodzinę charakterystyk równania (1) dla różnych wartości początkowych.

Kolor czerwony przedstawia rodzinę charakterystyk równania (2) dla różnych wartości początkowych.

Kolor czerwony z przerywaną niebieską linią przedstawia rodzinę charakterystyk równania (3) dla różnych wartości początkowych , które określają układ będący na granicy stabilności.

Punkt osobliwy jest w tym przypadku węzłem stabilnym.

2. Portret fazowy z węzłem niestabilnym sporządzono dla równania :

2

     

 = 1 > 0   ,   

 ,  > 0 a0 = - 2 , a1 = 3

Otrzymana rodzina charakterystyk jest portretem fazowym układu liniowego z węzłem niestabilnym, co można było zauważyć w czasie obserwacji pracy rejestratora , jak również analizując otrzymane trajektorie . Przedstawia je rys.2 .

c)Portret fazowy dla wartości  ,  mających różne znaki sporządzono dla równania :

2

      = 4 > 0    ,   

     a0 = 1 , a1 = 0

Wykreślone trajektorie wskazują na niestabilny charakter układu przy powyższych nastawach parametrów. Punkt osobliwy w tym przypadku nosi nazwę siodła .

Trajektorie ( każda dla innych wartości początkowych ) zostały przedstawione na rys.3 .

d)Portret fazowy o ognisku stabilnym otrzymano dla równania :

2

       mającego zespolone pierwiastki :

     i ,      i dla  = - 4 < 0

a0 = - 2 , a1 = - 2

Aby punktem osobliwym było ognisko stabilne, pierwiastki równania muszą spełniać warunek : Re , Re < 0. Jak widać pierwiastki powyższy warunek spełniają a portret fazowy układu dynamicznego z ogniskiem stabilnym ilustruje rys.4 .

e)Portret fazowy układu o ognisku niestabilnym wyznaczono dla równania :

2

       mającego pierwiastki :

    ( sqrt3 )i , 2 = 1 - ( sqrt3 )i dla  = - 12 < 0

a0 = -4 , a1 = 2

Części rzeczywiste pierwiastków równania spełniają warunek Re , Re > 0 , więc mamy do czynienia z układem liniowym o ognisku niestabilnym.

Charakterystyki układu przyjmują różne wartości początkowe a przedstawia je rys.5 .

f)Portret fazowy układu o punkcie osobliwym zwanym środek wykonano na podstawie równania:

2

     o pierwiastkach  = 2i ,  = - 2i

a0 = - 4 , a1 = 0      

Pierwiastki równania spełniają warunek : Re , Re = 0 co oznacza, że równanie opisuje układ na granicy stabilności o punkcie osobliwym zwanym środek

Portret fazowy ukazują charakterystyki na rys.6 .

2.Analiza cyklów granicznych w układach nieliniowych .

Celem drugiego punktu ćwiczenia było dobranie charakterystyki nieliniowej f ( x2 )

oraz współczynnika a1 w równaniach współrzędnych fazowych :

dx1 / dt = x2 dx2 / dt = a1x2 + a f ( x2 )

tak , by uzyskać cykle graniczne: stabilny i niestabilny. Podczas ćwiczenia podano przykładowe wartości współczynników.

a) Cykl graniczny stabilny otrzymano dla współczynników a0 = -2, a1 = -1, a = -3.

Na rys.7 widać , że krzywa całkowa nie podchodzi do punktu równowagi i rozpoczyna się na zewnątrz cyklu granicznego. Otrzymany cykl jest cyklem stabilnym.

2. Cykl graniczny niestabilny zachodzi dla współczynników a0 = 0, a1 = - 2, a = 1.

Ze względu na niedostępność odpowiedniej skali dokładny odczyt cyklu granicznego niestabilnego był niemożliwy. Wiadomo jednak ,że krzywa całkowa w przypadku cyklu niestabilnego rozpoczyna się wewnątrz cyklu.

3.Analiza układu nieliniowego zawierającego element z histerezą.

Celem ćwiczenia było dobrać tak współczynniki a , a1 , a0 w równaniach:

dx1 / dt = x2

dx2 / dt = a0 x1 + a1 x2 + a f ( x2 )

aby otrzymać zjawisko ruchu ślizgowego.

Dobrane współczynniki mają wartości : a0 = 0 , a1 = 1 , a = 3

Otrzymane charakterystyki przedstawia rys.8 .

WNIOSKI :

1.Wnioski dotyczące I - szej części ćwiczenia.

W pierwszej części ćwiczenia przeprowadziliśmy badanie trajektorii fazowych liniowych układów dynamicznych. Przy pomocy doboru odpowiednich współczynników a0 i a1 otrzymaliśmy portrety fazowe odpowiadające sześciu podstawowym punktom osobliwym.

W podpunkcie a) zmieniając warunki początkowe otrzymano rodzinę charakterystyk dla węzła stabilnego, w przypadku trzech różnych równań. Przewidywania co do kształtu charakterystyk potwierdziły się . Wszystkie przebiegi , niezależnie od wartości początkowych zbiegły się w początku układu współrzędnych , który jest punktem osobliwym układu. Porównując charakterystyki równania (1) i

równania (3) , które opisuje układ będący na granicy stabilności widzimy , że trajektoria równania (3) jest niemalże linią prostą . Kształty otrzymanych trajektorii , nie tylko w tym punkcie , zależą zatem od współczynników równania opisującego układ. Otrzymany układ jest układem stabilnym.

W następnej kolejności ( podpunkt b) w analogiczny sposób uzyskano rodziny charakterystyk dla układu posiadającego węzeł niestabilny. Z powodu właściwości

płaszczyzny fazowej nie było możliwe uzyskanie trajektorii w pobliżu punktu osobliwego , czyli początku układu współrzędnych. Obserwując jednak powstałe trajektorie można z całą pewnością stwierdzić , iż otrzymane trajektorie posiadają węzeł niestabilny, gdyż niezależnie od warunków początkowych wszystkie trajektorie zmierzały do nieskończoności. Trzecim portretem fazowym uzyskanym w ćwiczeniu ( podpunkt c) był portret fazowy układu niestabilnego z punktem osobliwym określanym mianem siodło. Analizując otrzymane charakterystyki można zauważyć symetrię względem obu osi układu współrzędnych. Obiekt w pierwszej części przebiegu charakterystyki zbliża się do punktu stabilności , lecz później oddala się od niego co wskazuje na niestabilność układu.

Wyżej wymienione portrety fazowe zostały uzyskane dla wartości własnych rzeczywistych , następnie zostały sporządzone portrety fazowe dla sprzężonych zespolonych wartości własnych.

Pierwszą uzyskaną trajektorią było uzyskanie układu stabilnego ( podpunkt d ) o punkcie osobliwym zwanym ogniskiem stabilnym. Niezależnie od wartości początkowych charakterystyki wykazywały zbliżanie się do punktu stabilności.

Podobne charakterystyki można zaobserwować badając układ o ognisku niestabilnym ( podpunkt e ) . Dla różnych wartości początkowych punkt trajektorii oddalał się od środka układu współrzędnych , który jest tutaj punktem osobliwym.

Kolejny portret ( podpunkt f ) przedstawia układ stabilny o punkcie osobliwym zwanym środek. W tym przypadku wartości własne nie mają części rzeczywistej, a jedynie część urojoną .Taki układ nie jest ani stabilny, ani niestabilny. Znajduje się on na granicy stabilności.

2.Wnioski dotyczące II - giej części ćwiczenia.

W drugiej części ćwiczenia badany był układ posiadający element nieliniowy.

W zależności od dobranych współczynników otrzymano portret fazowy z cyklem granicznym stabilnym i niestabilnym. W przypadku cyklu stabilnego krzywa całkowa nie dochodzi do punktu osobliwego , lecz przechodzi w krzywą zamkniętą.

Rozpoczyna się ona na zewnątrz krzywej. Krzywa obrazująca cykl graniczny niestabilny zaczyna się wewnątrz krzywej zamkniętej. W przypadku gdy współczynnik członu nieliniowego ma wartość dodatnią wówczas otrzymamy cykl graniczny niestabilny, natomiast jeśli ma wartość ujemną wówczas otrzymamy cykl stabilny.

3.Wnioski dotyczące III - ciej części ćwiczenia.

W trzeciej części ćwiczenia analizowano układ nieliniowy zawierający element z histerezą . Otrzymane zjawisko nosi nazwę ruchu ślizgowego.

Na podstawie obserwacji przeprowadzonych podczas ćwiczenia można stwierdzić, że dysponując portretem fazowym układu można jednoznacznie określić jego stabilność , tzn. Czy jest on stabilny , niestabilny ,bądź czy jest na granicy stabilności Charakterystyki układów sporządzone podczas ćwiczenia potwierdziły przewidywania teoretyczne.

5

---