Wykład 1 21.02.01

Mechanika płynów zajmuje się :

• równowagą płynów,

• ruchem płynów,

• mechanicznymi oddziaływaniami płynów na ciała w nich zanurzone i ściany ograniczające jego objętość.

Działy mechaniki :

• hydrostatyka,

• hydrokinematka,

• hydrodynamika.

Płyny ulegają odkształceniom postaciowym, gazy ulegają odkształceniom objętościowym, ciecze nie ulegają odkształceniom objętościowym.

Ciała stałe, ciecze, gazy wykazują budowę molekularną.

Płyn jako ośrodek ciągły :

• płyn rzeczywisty zastępuję model teoretyczny,

• w modelu teoretycznym zakłada się że płyn jest ośrodkiem ciągłym, pomija się budowę molekularną i chaotyczne ruchy cząsteczek,

• podstawową objętość płynu stanowi elementarna objętość płynu dV=dxdydz.

Siły działające w płynie :

Siły

wewnętrzne zewnętrzne

powierzchniowe masowe

siły masowe czynne siły bezwładności (d'Alemberta)

siły wewnętrzne - wywołane wzajemnym oddziaływaniem bezpośrednio sąsiadujących elementów mas leżących wewnątrz obszaru,

siły zewnętrzne - wynik działania mas nie należących do wydzielonego obszaru na poszczególne masy tego obszaru.

Pole sił powierzchniowych :

siły powierzchniowe zewnętrzne :

• 
  przyłożone na powierzchni płynnej

• jednostkowa siła powierzchniowa (naprężenie) :

P - wektor główny sił działających na element o powierzchni A

Pole sił masowych :

- siła masowa działająca na element płynu o masie m w objętości V,

- wektor jednostkowy siły masowej,

X,Y,Z - współrzędne siły jednostkowej,

Wymiar jednostkowej siły masowej :

Podstawowe własności płynów :

1. Gęstość :

- wg definicji makroskopowej dla cieczy niejednorodnych :

- interpretacja na poziomie mikroskopowym :

m - masa molekuły [kg], n - liczba molekuł [1/m³].

2. Gęstość właściwa : [m³/kg]

3. Ciężar właściwy : γ [N/m³]

- dla płynów niejednorodnych : G - ciężar płynu [N], V obj. [m³]

Dla gazów doskonałych

4. Ściśliwość płynów :

• zdolność
  
  do zmniejszenia objętości pod wpływem sił zewnętrznych

wielkość charakterystyczna - współczynnik ściśliwości : _p [m²/N],

odwrotność współczynnika ściśliwości - moduł sprężystości k=1/_p,

jeżeli :

to :

więc :

ciecze rzeczywiste są nieściśliwe

5. Rozszerzalność cieplna :

- zdolność do zwiększania objętości pod wpływem temperatury,

- wielkość charakteryzująca współczynnik rozszerzalności cieplnej _T [1/K],

6. Napięcie powierzchniowe : σ [N/m]

σ=P/l P - siła na granicy faz, l - długość przekroju na który działa siła P

7. Lepkość :

- własność płynu dzięki której pojawiają się siły ścinające - uwidacznia się w ruchu płynu,

- miara : dynamiczny współczynnik lepkości : = m²/s

kinematyczny współczynnik lepkości : =ρ [Ns/m²],

- prawa Newtona dla ruchu uwarstwionego :

 - naprężenie styczne; dv/dn - gradient prędkości

W zależności od kształtowania się naprężeń stycznych w płynie w przepływie warstwowym płyny dzielimy na :

• newtonowskie,

• nienewtonowskie.

Przepływ warstwowy to taki gdzie elementy płynu nie przemieszczają się prostopadle do głównego wektora prędkości.

Wykład 2 28.02.01

Podstawowe prawo równowagi płynu :

Siły masowe :

X,Y,Z - składowe jednostkowej siły masowej,

Siły powierzchniowe działające od ciśnienia są skierowane od płynu do powierzchni.

Siły na ścianę o powierzchni dydz :

Suma sił w kierunku osi X :

Analogicznie dla pozostałych kierunków.

Warunek równowagi płynu d'Alemberta :

Suma sił działających w kierunku każdej osi kartezjańskiego układu współrzędnych jest równa 0.

Dla osi X :

Analogicznie dla pozostałych osi.

Sumujemy :

elementarna zmiana ciśnienia w płynie jest równa elementarnej zmianie sił masowych.

Równowagą cieczy w jednorodnym polu grawitacyjnym :

Szukamy C : dla warunków brzegowych na powierzchni cieczy :

Stąd ciśnienie w dowolnym punkcie :

γh - ciśnienie hydrostatyczne

gdzie :

h = z - z₀

h - zagłębienie punktu M pod zwierciadłem

Jeżeli p₀=p_a (ciśnienie atmosferyczne) p=p_a+γh

to ciśnienie p nazywamy ciśnieniem bezwzględnym,

różnicę p-p_a nazywamy ciśnieniem względnym.

Klasyfikacja ciśnień :

p - ciśnienie bezwzględne,

p_a - ciśnienie atmosferyczne = 1013 hPa,

p_n - nad ciśnienie,

p_p - pod ciśnienie.

Jeżeli p > p_a to p - p_a = p_n > 0

Jeżeli p < p_a to p - p_a = p_p < 0

metra słupa wody

1 bar = 10⁵ Pa

Ciśnienie jest skalarne tzn. we wszystkich kierunkach działa z tą samą wartością.

Własności ciśnienia :

• stałe we wszystkich kierunkach,

• 
  prawo Pascala : w zamkniętym naczyniu zmiana ciśnienia w dowolnym jego punkcie powoduje zmianę ciśnienia w całej cieczy o tę samą wartość.

P₂=P₁F₂/F₁

Przykład : Dane :

P,D,d,m,H, γ

P_x = ?

Nie dzielimy przez 2, bo ciśnienie     w każdym kierunku jest stałe.

Urządzenia do pomiaru ciśnienia :

• piezometr : cienka rurka połączona z obszarem badanym.

zbiornik ciecz impulsowa w rurce

nadciśnienie panujące w zbiorniku

Wykład 3 07.03.01

• manometr jednoramienny :

• mierzy nadciśnienie,

• podłączony do obszaru wypełnionego gazem (nie cieczą),

• 
  warunek równowagi względem poziomu zwieciadła cieczy manometrycznej w zbiorniku :

a/A - przełożenie manometru

• manometr Recknagla :

• manometr różnicowy z rurką pochyłą,

• 
  do pomiaru małych ciśnień,

• 
  warunek równowagi względem poziomu zwierciadła cieczy manometrycznej w zbiorniku :

• manometr cieczowy typu MUR :

• ρ_{i ­­}- ciecz impulsowa,

• ρ_m - ciecz manometryczna,

• 1 - zawory odcinające,

• 2 - zawory odpowietrzające,

• 3 - zawór wyrównawczy,

• 4 - zawór spustowy.

Równowaga względna w naczyniu wirującym dookoła osi pionowej :

• 
  równowaga względna - stan w którym płyn pozostaje w spoczynku względem naczynia, a naczynie znajduje się w ruchu obrotowym

• ciecz w ruchu obrotowym podlega siłom :

• grawitacji : m*g,

• odśrodkowej : mω²r.

Wykład 4 14.03.01.

g - przyspieszenie ziemskie - jednostkowa siła masowa,

przyspieszenie kątowe można rozłożyć :

Równanie powierzchni swobodnej :

całkując :

dla warunków brzegowych :

Powierzchnia swobodna - (powierzchnia o p=const - powierzchnia ekwipotencjalna) - jest to powierzchnia zwierciadła. Kształt można wyznaczyć z równania :

Równanie paraboloidy obrotowej :

Dla dowolnego punktu :

całkując :

dla warunków brzegowych :

Punkt A(0,0,0) :

Punkt B(R,0) :

Punkt C(R,H) :

Punkt D :

Parcie hydrostatyczne - jest to siła powierzchniowa wywierana przez ciecz na pozostające z nią w kontakcie ciała :

Ciśnienie bezwzględne w dowolnym punkcie cieczy w polu grawitacyjnym :

parcie elementarne :

parcie całkowite :

moment statyczny pola F :

jeżeli ciśnienie na zewnątrz ściany = p₀ :

parcie hydrostatyczne :

Przykład : wyznaczyć parcie hydrostatyczne na dno i ściany naczynia :

Wyznaczanie siły parcia na ściany metodą graficzną w oparciu o rozkład ciśnienia hydrostatycznego :

P=V - objętość bryły parcia której podstawą jest rozkład hydrostatyczny

Parcie hydrostatyczne płaskie poziome nie zależy od objętości cieczy zawartej w zbiorniku a jedynie od pola przekroju tej powierzchni i wysokości słupa cieczy w zbiorniku.

Wykład 5 21.03.01.

Wyznaczanie punkty przyłożenia parcia hydrostatycznego :

Moment wypadkowego parcia jest równy sumie momentów elementarnych.

y_N - odległość środka parcia od osi X,

I_X - moment bezwładności pola F względem osi X

Wg Steinera : I_X=I_S+y_s²F,

z_N - zagłębienie środka parcia :

x_N - odległość środka parcia od osi Y :

I_XY - moment odśrodkowy figury

Parcie na powierzchnie zakrzywione :

dF_Z - rzut elementarnej powierzchni na płaszczyznę YZ,

dF_X - rzut elementarnej powierzchni na płaszczyznę XY,

Parcie :

z_S - zagłębienie środka rzutu figury na płaszczyznę pionową od zwierciadła wody.

z*dF_X=dV, V - objętość bryły zawartej pomiędzy powierzchnią zakrzywioną a płaszczyzną zwierciadła wody.

Kierunek działania wyznaczamy z równania :

Przykład :

Wyznaczyć parcie na ściany i dno zbiornika walcowego o promieniu R zakończonego półkulą.

Parcie hydrostatyczne :

Uwzględniając nadciśnienie p_o :

Wykład 6 28.03.01.

Równowaga ciał pływających :

Równowagę oceniamy oddzielnie w przypadku ciał pływających przy całkowitym zanurzeniu i ciał pływających przy zanurzeniu całkowitym.

Równowaga ciał całkowicie zanurzonych :

Ciało pozostaje w spoczynku poziomym bo wypadkowa sił wzdłuż osi x jest równa zero.

Składowa pionowa :

Siła wyporu przyłożona w środku geometrycznym ciała zanurzonego :

Warunek równowagi (spoczynku) :

W-G=0 => W=G

Momenty sił M_G i M_W będą powodowały powrót ciała do

pozycji wyjściowej - równowaga trwała.

Moment sił wywracający - utrata równowagi

- równowaga nietrwała

Równowaga obojętna

Oceny ciała pływającego w całkowitym zanurzeniu po jego wychyleniu od pionu dokonujemy na podstawie położenia środka ciężkości i środka geometrycznego.

Ciała częściowo zanurzone :

Prawo Archimedesa :

Siła wyporu jest co do wartości równa

ciężarowi wypartej przez to ciało cieczy.

S_w' - rzeczywisty środek wyporu,

S_W - to byłby środek wyporu

gdyby nie nastąpiła zmiana

kształtu obszaru zanurzonego

S_C - nie ulega przesunięciu.

W' i G dają moment prostujący

Po wychyleniu z położenia równowagi ciało znajduje się pod wpływem pary sił G i W' oraz momentu obrotowego M₀

M₀' - moment siły W' względem osi X równy sumie momentów M₀ i M_K (pochodzi od siły wyporu klinów W_K względem osi X).

Jeżeli :

To :

Ponieważ :

m - wysokość metacentryczna

m<0 a>I_X­/V - równowaga chwiejna

m=0 a= I_X­/V - równowaga obojętna

m>0 a< I_X­/V - równowaga trwała

V - objętość zanurzona,

a - odległość środka ciężkości ciała i środka geometrycznego części zanurzonej,

I_X - moment bezwładności,

Za I_X podstawiamy I_MIN -jest to moment bezwładności tej osi której moment jest najmniejszy,

Wykład 7 4.04.01.

Kinematyka płynów

Kinematyka płynów :

• geometryczny opisem ruchu płynów, bez wnikania w pole sił powodujących przepływ,

• wykorzystanie zasady analizy matematycznej, co wymaga przyjęcia założenia że płyn jest ośrodkiem ciągłym pod względem masy i odkształceń postaciowych jak i objętościowych,

• masa i odkształcenia traktowane są jako ciągłe funkcje czasu,

• założenie ciągłości masy ruchy wszystkich elementów płynu są od siebie zależne,

• założenie ciągłości odkształceń elementów płynu powstanie obok pola prędkości ruchu postępowego, pola prędkości obrotowych i pola prędkości odkształceń.

Zadania kinematyki :

• określenie pola prędkości v,

• określenie pola przyspieszeń a,

dla dowolnego elementu w dowolnym czasie.

Znajomość pola prędkości i przyspieszeń => wyznaczenie pola ciśnień p i gęstości.

Parametry ruchu płynów :

• prędkość,

• przyspieszenie,

• ciśnienie.

Klasyfikacja przepływów :

Przepływ :

• 
  nieustalony (niestacjonarny) - parametry przepływu zależą od czasu i współrzędnych położenia,

• 
  ustalony (stacjonarny) - parametry przepływu nie zależą od czasu lecz jedynie od położenia,

Przepływ trójwymiarowy :

• nieustalony,

• ustalony,

Przepływ dwuwymiarowy :

• płaski - między dwiema równoległymi płaszczyznami, do których wektory prędkości są równoległe,

• osiowosymetryczny - /v= v(r,z,t)/ wszystkie elementy płynu leżące na tym samym okręgu poruszają się z taką samą prędkością (np. przepływy w rurociągu, dyfuzory, dysze o przekroju kołowym, osiowy przekrój brył obrotowych).

Przepływ jednowymiarowy : parametry ruchu zależą od jednej współrzędnej /położenia/ - stosowany w obliczeniach hydraulicznych.

Analityczny opis przepływów :

• metoda Lagrange'a - analiza wędrowna,

• metoda Eulera - analiza lokalna.

Metoda Lagrange'a :

• rozpatrujemy ruch elementów płynu wzdłuż ich toru,

• elementy płynu charakteryzuje się za pomocą współrzędnych jakie posiadł w chwili t=t₀.

Jest to metoda teoretyczna, gdyż ciężko jest śledzić konkretny element płynu.

Opisanie za pomocą równoważnego układu równań analitycznych :

Jeżeli t jest zmienną, to równania te stanowią równanie toru elementu płynu, który w chwili t=t₀ przechodził przez punkt P₀(a,b,c).

Jeżeli t jest stałą a współrzędne są zmiennymi to równania opisują przestrzenny rozkład elementów płynu w danej chwili t.

Wyróżniony element płynu

przebędzie drogę :

z prędkością :

wektorowe pole prędkości :

wektorowe pole przyspieszeń :

gdzie :

Metoda Eulera :

• polega na badaniu zmian, jakim w czasie przepływu podlega prędkość elementu płynu, przepływający przez wybrany w obszarze poruszającego się płynu punkt,

• opis parametrów zgodny ze sposobem prowadzenia bezpośrednich pomiarów,

• 
  pole prędkości :

czyli :

współrzędne Eulera :

• 
  wektor przyspieszeń pochodna zupełna wektora prędkości pochodna substancjalna :

• 
  - zmiana wektora prędkości wiąże się ze zmianą położenia dx, a zmiana położenia następuje podczas zmiany czasu dt.

pochodna pochodna

lokalna unoszenia

Pochodną substancjalną wyznacza się analogicznie dla pozostałych parametrów przepływu, zarówno dla wielkości wektorowych jak i skalarnych.

Tor i linia prądu :

Tor - droga jaką zakreśla element płynu w ruchu.

W metodzie Lagrange'a tor opisują równania 1-3 po wyeliminowaniu czasu.

W metodzie Eulera tor opisują równania różniczkowe trajektorii :

Linia prądu - jest to linia do której w danej chwili w każdym jej punkcie wektory prędkości elementu płynu, leżących na tej linii są styczne.

• linie prądu nie mogą się krzyżować,

• wyrażone dla dwóch różnych chwil na ogół się nie pokrywają.

Różniczkowe równania linii prądu.

Warunek styczności :

K - kontur - powierzchnia zawarta w obszarze linii prądu ale nie będąca linią prądu, to zbiór linii prądu tworzących powierzchnię, a poprowadzone przez każdy punkt konturu nazywamy rurką prądu, płyn wewnątrz to struga. Jeżeli ogranicza dowolną skończoną powierzchnię to rurkę prądu uogólniamy do powierzchni prądu. Strumień - płyn zawarty wewnątrz powierzchni prądu.

Przykład :

Dla przepływu płaskiego nieustalonego opisanego funkcjami v_x=x+t, v_y=y+t, określić :

• linię prądu przechodzącą w t=0 przez punkt A(1,1),

• tor tego elementu płynu, który w chwili t=0 znajdował się w punkcie A

Równanie linii prądu :

całkując :

dla :

zatem równanie linii prądu przechodzącego w chwili t=0 przez punkt A to :

x = y

Wykład 9 18.04.01.

Struktura pola prędkości płynu

Elementarny ruch dowolnego elementu płynu złożony jest z :

• prostego przesunięcia (postępowego),

• obrotu elementu,

• odkształcenia objętościowego (zmiana długości boków i objętości elementu),

• odkształcenia postaciowego elementu (zmiana kątów kształtu elementu).

Odpowiednio odróżnia się :

• prędkość ruchu postępowego,

• prędkość wirowania,

• prędkość odkształcania.

Prędkość odkształceń kątów elementu płynu :

Zmiana kształtu wynika ze zmiany prędkości w kierunku osi x.

Średni kąt obrotu (względem osi z) :

Prędkość kątowa odkształcenia postaciowego elementu to średni kąt obrotu krawędzi odniesiony do jednostki czasu :

W płaszczyźnie O_xy :

W płaszczyźnie O_yz :

W płaszczyźnie O_xz :

Prędkości kątowe odkształcenia objętościowego :

Prędkości kątowe obrotu i odkształcenia po pomnożeniu przez odpowiedni wymiar liniowy elementu wyrażają odpowiednio prędkość wirowania lub prędkość odkształcenia.

Równanie linii wirowej (linii prądu) :

Rotacja wektora prędkości :

Rotacją wektora prędkości v nazywa się następującą zależność :

Zależność pomiędzy składowymi rotacji a składowymi prędkości kątowej chwilowego obrotu xyz jest następująca :

Równanie ciągłości płynu :

Przepływ trójwymiarowy nieustalony płynu nieściśliwego : v=f(x,y,z,t); p=f(x,y,z,t).

Strumień masy - masa przepływająca w jednostce czasu przez daną powierzchnię.

Jednostkowa zmiana strumienia

Jeżeli zapiszemy to jako równanie analityczne : strumień * pole powierzchni * czas = masa

Suma przyrostów masy w objętości elementu w czasie dt :

Przyrost masy wynika ze zmiany gęstości po czasie dt.

Zmiana masy w elemencie płynu wskutek zmiany gęstości :

Pochodne cząstkowe strumieni :

Równanie ciągłości przepływu nieustalonego płynu ściśliwego :

Zmiany gęstości w zależności od położenia

I równanie w czasie

div - dywergencja prędkości = zmiana wektora prędkości (pochodna substancjalna).

Dla ruchu ustalonego płynu ściśliwego ρ  0

Dla ruchu ustalonego płynu nieściśliwego ρ = const.

Sens fizyczny dywergencji wektora prędkości :

Podstawowe równanie opisujące ciągłość przepływu ruchu nieustalonego :

Dywergencja wektora prędkości określa względną zmianę szybkości zmiany objętości płynu :

Dla przepływu ustalonego płynu nieściśliwego dV/dt=0 to divv=0

Natężenie przepływu :

Objętość płynu przepływająca w jednostce czasu lub masa przepływająca w jednostce czasu.

Objętościowe natężenie przepływu :

Jeżeli ρ=ρ(x,y,z,t) to posługujemy się masowym natężeniem przepływu :

Dla płynu nieściśliwego :

Dynamika :

Różniczkowe równanie ruchu Eulera płynu doskonałego :

Płyn doskonały - pozbawiony lepkości.

Siły masowe czynne :

Siły masowe bezwładności :

Zasada d'Alemberta :

Suma rzutów sił na dany kierunek równa jest zero

Analogicznie dla osi y i z

Ogólne równanie ruchu Eulera :

Ruch ustalony pf(t)

Potencjał :

W polu grawitacyjnym :

Całkując :

Równanie Bernouliego :

Równanie Bernouliego obowiązuje tylko dla przepływu ustalonego dla cieczy nieściśliwej /założenie że ρ=const/. Przedstawia ono sumę energii potencjalnej i kinetycznej jednostki ciężaru przepływającej cieczy :

Energia na jednostkę ciężaru :

Wysokość E_k jednostki ciężaru

przepływającej cieczy :

Wysokość ciśnienia zwiększająca

wartość E_P przepływającej cieczy :

Wartość energii całkowitej w każdym przekroju jest stała.

Równanie ciągłości strumienia :

Równanie ciągłości strumienia :

Fv=const F₁v₁=F₂v₂

Q=Fv

Wysokość p₀ to wysokość ciśnienia statycznego.

Wysokość prędkości to wysokość ciśnienia dynamicznego.

Suma ciśnień statycznych i dynamicznych to ciśnienie całkowite w strumieniu.

Rurka Pitota :

Rurka Prandtla :

k - współczynnik poprawkowy uwzględniający dokładność wykonania rurki na zaburzenia przepływu.

Zwężka Venturiego :

Dwa pierścienie z otworami na zbierają ciśnienie z całego obwodu przekroju.

Wykład 13 16.05.01.

Równanie Bernouliego jako całka różniczkowego równania ruchu Eulera.

Przemiana adiabatyczna :

Jeżeli :

Stąd :

Różniczkując :

Podstawiając :

Równanie Bernouliego opisujące przepływ gazu podlegającego przemianie adiabatycznej przyjmuje postać :

Przepływ w przewodach zamkniętych.

• przepływ ustalony,

• przepływ cieczy lepkiej nieściśliwej,

• obowiązuje półempiryczna forma równania Bernouliego.

Półempiryczna forma równania B. umożliwia zbilansowanie energii w dwóch rozpatrywanych przekrojach 1 i 2.

Warunek przepływu ustalonego.

Ruch ten nazywamy uwarstwionym (laminarnym). Płyn porusza się ze stałą prędkością w poszczególnych warstwach.

Kryterium przepływu laminarnego stanowi liczba Reynoldsa :

Przepływ laminarny - brak wektora turbulencji

Przepływ turbulentny.

Przepływ turbulentny dzielimy na 3 strefy przepływu :

I - strefa rur hydraulicznie gładkich, -  = f(Re)

II - strefa przejściowa ruchu burzliwego, -  = f(Re,)

III - strefa kwadratowej zależności strat hydraulicznych od prędkości przepływu. -  = f()

Ustalany na podstawie chropowatości bezwzględnej ścian przewodu oraz grubości warstwy podlaminarnej.

Chropowatość bezwzględna - średnia wysokość występków nad powierzchnię przewodu.

Dzieląc ją przez średnicę, obliczamy chropowatość względną.

W zależności od rodzaju przepływu zmienia się wielkość strat hydraulicznych.

Przeszkody :

dyfuzor konfuzor

Laminarny :

Burzliwy (równanie Collebrooke'a - White'a) :

Strefa II :

Strefa I :

Blassius :

Prandtl - Karman :

Przewody krótkie - w nich straty miejscowe są nieporównywalnie małe w stosunku do strat na długości.

W przypadku gdy straty te nie stanowią więcej niż 10-15 % strat na długości w obliczeniach pomijamy wyznaczanie strat liniowych a uwzględniamy je w głównym bilansie energii, powiększając lub wprowadzając pojęcie długości zastępczej przewodu o jaką należałoby ją powiększyć ażeby wyznaczone na jej podstawie straty na długości równoważyły straty w przewodach.

Charakterystyka hydr. przewodu :

Interpretacja graficzna równania Bernouliego.

Powinna obejmować podanie poziomu odniesienia i podanie wartości ciśnień piezometrycznych, energi rzeczywistej i energii dyspozycyjnej

Wykres Ancony piszemy tylko dla przewodu, a nie w zbiorniku.

Spadek hydrauliczny :

Mechanika Płynów - Wykład 1

- 6 -

n  

v+dv

dn v



n 

dv/dn

dx

z

y x

dz

dy

0 x

z₀ z

p₀ - ciśnienie zewnętrzne

h M(x,y,z) H

z

g p₀ Hγ

p_n p_p

p p_a

p p_a

p₀

γ₁

γ₂

P₁ P₂

D

C

T₁

T₂

F₁

F₂

P P

P

m

D

d

H

P_x P

P_a

P₀

H γ Δh

p₁

p₂

0 0 h₁ H

h₂

a

γ_m=ρ_mg

A

p₁

p₂ l

h₂ h₁ H

α

A

p_a p_b

2

1

1 H

• ρ_i

h

H₂

H₁

ρ_m

4

z

ω

r

M ω²x

z₀

_­ ω²y x

g

y

z

ω

r

M ω²x

z₀

_­ ω²y x

g

y

r ²x

M

²x ²r

z

C

D

z₀ A B

_­ x

y

p₀



z_S z_N z dP z

P

x

y

dF

F

y x

x_N y_N

p_a

c h

h/2

b

a

p₀



z_S z_N z dP z

P

x

y

dF

F

y x

x_N y_N

dF_X

0 D C x

z_S z

A dP_Z dP

F_Z dF_Z dP_X

B

dF

h

p_o

H

γ

γ_s S

P_x P_x

G

F_R

P_Z

W W'

S_G S_G'

S_C S_C'

G G'

W W'

S_C S_C'

S_G S_G'

G G'

W W'

S_C S_C'

S_G S_G'

G G'

Oś pływania

W

S_G

S_W

G



m M dW_K

ysin

y y

dF a W W'

S_c

S_W G S_W'

e₁ e₂

z

P₀(t₀)

r₀

r P(t₀+t)

k c z

i j a x y

b

x y

z

v

ds

K

k

i j y

x

y

d

y

d

v_y

v_x x

x

z

v_yρ

dy

v_xρ

dz

dx

v_zρ

x

y

dF

• v

F

(p+dp/dz*dz)dxdy

z

pdxdz

pdydz z (p+dp/dx*dx)dydz

x

z

(p+dp/dy*dy)dxdz pdxdy

x

y

Linia energii dyspozycyjnej

Linia ciśnień piezometrycznych

p₁

z₁ linia położenia p₂

z₂=0

powierzchnia porównawcza

v₀ v₁0

p₀ p₁max

p₀ p₁

v₀ γ v₁

γ_m H

p₀

v₀

1

2

p₀ p₁

H

0 1

p₀ p₁ d

D

v₀ v₁

3⁰

h₁ h₂

H

Rdzeń przepływu (jądro)

Warstwa podlaminarna

Linia energii dyspozycyjnej

Linia ciśnień piezometrycznych

---