Zadanie 1
Zamkowa zbrojownia produkuje dwa rodzaje halabard: A i B, które stały się jej przebojem eksportowym. Jednostkowy zysk osiągany na halabardzie A równa się 1 dukatowi, a na halabardzie B 3 dukatom. W procesie produkcji wykorzystywane są dwa surowce o kluczowym znaczeniu: stal i drewno. Ich zużycie w kg na jedną halabardę A oraz B a także limity zapasów w magazynie zawiera tabela:
|
Halabarda A |
Halabarda B |
Zapas [t] |
Stal |
1 |
2 |
20 |
Drewno |
2 |
1 |
18 |
Podczas produkcji stali zużywa się rudę. Normy technologiczne wymagają 2 jednostek tego surowca na każdą sztukę A oraz na każdą sztukę B. Należy zużyć co najmniej 10000 jednostek rudy, aby uzyskać odpowiednią stal. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży obu rodzajów halabard do ościennych księstw.
Zadanie 2 (Jędrzejczak, Kukuła)
Rafineria ropy naftowej kupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2 w cenach odpowiednio: 7 i 14 zł za jednostkę przerobową. Proces technologiczny, odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty: benzynę, olej napędowy i odpady. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzymujemy 16 hl benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl odpadów. Z jednostki przerobowej ropy R2 otrzymujemy 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl odpadów.
Ile należy kupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48 000 hl benzyny oraz 20 000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie zakupu surowca. Zdolność przerobowa wieży rektyfikacyjnej, mierzona łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl.
Zadanie 3
Nowopowstająca sieć marketów ogłosiła przetarg na dostawę wózków. Zamówienie obejmuje wózki dwóch rodzajów: duże i małe. Firma, która wygrała przetarg zaoferowała cenę za swoje wyroby na poziomie odpowiednio 150 i 100 złotych. Do wyprodukowania wózków niezbędne są pręty stalowe. Na jeden duży wózek potrzeba ich 10 kg zaś na mały 8 kg. Zapas prętów poczyniony na poczet zamówienia wynosi 2,5 tony. Drugim niezbędnym surowcem jest tworzywo sztuczne. Zużywa się go 100 dag na wózek duży i 50 dag na mały, a zapas wynosi 200 kg. Kontrakt wymaga, aby dużych wózków było przynajmniej dwa razy tyle, co małych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny przychód przy wynegocjowanych cenach.
Zadanie 4
Trener przed zawodami podejmuje decyzję odnośnie zakupu odpowiednich odżywek dla zawodników. Do wyboru ma dwie: Vitarevival i Komandirskaja. Z uwagi na ograniczone zasoby finansowe, w jakie został wyposażony, szkoleniowiec musi dążyć do jak najniższych kosztów zakupu. Cena jednego opakowania Vitarevival wynosi 2 euro, a Komandirskaja 3 euro. Podstawą wyboru jest zawartość trzech składników: S1, S2 i S3. Ich zawartość w jednym opakowaniu odżywki podaje tabela:
|
Vitarevival |
Komandirskaja |
S1 |
2 |
2 |
S2 |
1 |
2 |
S3 |
3 |
6 |
Wiadomo, że organizm potrzebuje co najmniej 10 jednostek S1 i co najwyżej 14 jednostek S2 oraz co najwyżej 18 jednostek S3. Opracować plan zaopatrzenia zawodników minimalizujący łączne koszty zakupu.
Zadanie 5
Dwóch programistów pracuje nad kodem źródłowym modułu pewnego programu. Pierwszy z nich pisze 400 a drugi 300 linii kodu dziennie. Podczas pracy piją sporo kawy: odpowiednio 2 i 3 kubki dziennie. Aby utrzymać formę muszą wypić łącznie co najmniej 20 kubków. Za każdy dzień pracy dostają po 100 zł, przy czym ich całkowite wynagrodzenie nie może spaść poniżej 1500 zł i przekroczyć 4000 zł. Dodatkowo przygotowują procedury pozwalające włączyć tworzony przez nich moduł do większego systemu. Pierwszy przygotowuje 40 a drugi 60 linii dziennie. Łącznie procedury te mają zająć maksymalnie 700 linii. Ile dni potrzebuje pierwszy programista a ile drugi, aby napisać program przy założeniu, że długość otrzymanego kodu ma być jak najmniejsza?
Zadanie 6
Fabryka farb produkuje 3 typy farb A, B i C. Do ich wyrobu potrzeba 3 składników c1, c2, c3, których zapasy wynoszą odpowiednio 8000, 9000, 10000 kg. Wykorzystanie poszczególnych składników (w kg) do wszystkich typów prezentuje tabela:
|
A |
B |
C |
C1 |
1 |
2 |
1 |
C2 |
2 |
0 |
2 |
C3 |
0 |
2 |
1 |
Zamówienia na typ A oznaczają, że produkcja nie może spaść poniżej 1100 puszek. Jaka powinna być struktura produkcji aby fabryka osiągnęła maksymalny zysk jeżeli zysk jednostkowy na poszczególnych typach farb wynosi odpowiednio 3, 2, 5 PLN.
Zmienne decyzyjne |
Rozwiązanie |
Min. cj |
Max. cj |
Status |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funkcja celu (max): |
||||
Ograniczenie |
Wartość zmiennej swobodnej |
Wycena dualna |
Min. RHS |
Max RHS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zadanie 7
Akwarysta amator rozważa zakup pokarmu dla rybek. Pod uwagę bierze trzy marki: Rybex, Babyshark i DXVC15. Dla właściwego rozwoju pupilów hobbysty znaczenie ma zawartość pewnych składników odżywczych oznaczonych jako S1, S2 i S3. W poniższej tabeli znalazły się: zawartość składników w każdym rodzaju pokarmu oraz cena jednego dekagrama.
|
S1 |
S2 |
S3 |
Cena [zł] |
Rybex |
5 |
0 |
3 |
5 |
Babyshark |
1 |
2 |
4 |
4 |
DXVC15 |
3 |
1 |
5 |
3,5 |
Rybkom należy dostarczyć co najmniej 10 jednostek S1 oraz 9 S3. Zawartość S2 powinna być nie większa niż 20 jednostek, ale jednocześnie nie może go być mniej niż 8 jednostek. Opracować plan zakupów pokarmów, tak aby łączny koszt zakupu był minimalny.
Zmienne decyzyjne |
Rozwiązanie |
Min. cj |
Max. cj |
Status |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funkcja celu (min): |
||||
Ograniczenie |
Wartość zmiennej swobodnej |
Wycena dualna |
Min. RHS |
Max RHS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zadanie 8
Importer planuje wprowadzenie na rynek herbaty powstającej z mieszanki trzech różnych gatunków tego krzewu. W przeliczeniu na 1 tonę sprowadzenie herbaty 1-go gatunku kosztuje 250 zł, 2-go gatunku 210 zł a 3-go gatunku 300 zł, przy czym koszt zakupu nie powinien przekroczyć 8000 zł. Herbata musi przejść obróbkę w specjalnych komorach oraz charakteryzować się określoną zawartością garbników. Czas obróbki i zawartość garbników w zależności od gatunku podaje tabela:
|
Herbata 1 |
Herbata 2 |
Herbata 3 |
Czas przebywania w komorze [min] |
30 |
60 |
18 |
Zawartość garbnika [mg/100g] |
15 |
13 |
20 |
Dostępny czas pracy komory wynosi 200 godzin. Walory smakowe wymagają, aby garbnika w mieszance znalazło się co najmniej 350 mg/100g. Gotowy do sprzedaży produkt ma wyróżniać się specyficznym aromatem, który zapewnia obecność herbaty 1-go gatunku. Jej 100g zawiera 15 mg stosownej substancji zaś w mieszance powinno znaleźć się co najmniej 120 mg aromatu na 100g. Opracować plan zakupu poszczególnych gatunków zapewniający minimum kosztów.
Zmienne decyzyjne |
Rozwiązanie |
Min. cj |
Max. cj |
Status |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funkcja celu (min): |
||||
Ograniczenie |
Wartość zmiennej swobodnej |
Wycena dualna |
Min. RHS |
Max RHS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zadanie 9
Student ma rozwiązać podczas sprawdzianu 3 zadania. Decydujące znaczenie ma czas ich rozwiązania, który powinien być jak najkrótszy (tak, aby pozostał jeszcze czas na zinterpretowanie wyników). Wiadomo, że na cały sprawdzian przewidziano 60 minut. Rozwiązanie pierwszego zadania powinno zająć nie więcej niż 30 minut, lecz potrwa przynajmniej 20 minut. Rozwiązanie zarówno zadania drugiego jak i trzeciego zajmie za każdym razem co najmniej 10 minut. Ile czasu należy przeznaczyć na poszczególne zadania?
Zmienne decyzyjne |
Rozwiązanie |
Min. cj |
Max. cj |
Status |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funkcja celu (min): |
||||
Ograniczenie |
Wartość zmiennej swobodnej |
Wycena dualna |
Min. RHS |
Max RHS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zadanie 10
Otwarto nową fabrykę zajmującą się montażem telewizorów. Podstawowy asortyment produkcji stanowią tradycyjne telewizory 21 i 27 calowe oraz telewizory LCD. Jednostkowy zysk ze sprzedaży oraz czas pracy specjalistycznej linii montażowej (mającej kluczowe znaczenie dla produkcji) podaje tabela:
|
Telewizor 21 cali |
Telewizor 27 cali |
Telewizor LCD |
Czas pracy [min] |
30 |
60 |
45 |
Zysk z 1 szt. [zł] |
250 |
400 |
500 |
Limit pracy linii montażowej to 8000 godzin. Zarząd oczekuje, że zysk ze sprzedaży w analizowanym okresie nie spadnie poniżej 100 000 zł. Z analiz rynku wynika, że udział telewizorów 21 calowych powinien wynieść przynajmniej 20% ogólnej wielkości produkcji, lecz tego modelu należy wytworzyć nie więcej niż 1000 sztuk. Z uwagi na wcześniejsze zamówienia należy wyprodukować co najmniej 500 szt. odbiorników 27 calowych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży (zakładamy, że sprzedana zostanie cała produkcja).
Zmienne decyzyjne |
Rozwiązanie |
Min. cj |
Max. cj |
Status |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funkcja celu (max): |
||||
Ograniczenie |
Wartość zmiennej swobodnej |
Wycena dualna |
Min. RHS |
Max RHS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zadanie 11
Złożono zamówienie na 4 części po cenach odpowiednio: 85, 90, 70, 80 zł. Do produkcji potrzebny jest półfabrykat, którego zapas wynosi 1000 kg. Jednostkowe zużycie (w kg) tego półfabrykatu wynosi dla poszczególnych części: 5, 2, 3, 2. Łącznie części 1 i 3 należy wytworzyć co najmniej 25 sztuk. Części 2 i 4 należy wyprodukować łącznie co najmniej 20 sztuk. Części 4 ma powstać nie więcej niż 50% łącznej sumy części 1, 2 i 3. Opracować plan zamówienia gwarantujący jak najniższy koszt jego realizacji.
Zmienne decyzyjne |
Rozwiązanie |
Min. cj |
Max. cj |
Status |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funkcja celu (min): |
||||
Ograniczenie |
Wartość zmiennej swobodnej |
Wycena dualna |
Min. RHS |
Max RHS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zadanie 12
Pewne wydawnictwo planuje wprowadzić na rynek 2 tytuły nowych autorów. Zysk planowany na pierwszym z nich wyniesie 20 zł a na drugim 30 zł. Całkowity zysk ze sprzedaży książek wynieść ma przynajmniej 30 tys. zł. Udział nakładu pierwszej z książek nie powinien przekroczyć 20% sumy nakładów obydwu tytułów. Zgodnie z polityką firmy autor dostaje 2 zł od każdego sprzedanego egzemplarza, ale zarząd na poczet tych wydatków przygotował 10000 zł. i nie ma zamiaru zwiększyć tej kwoty. Jeden egzemplarz książki pierwszej wymaga zużycia 100 arkuszy wydawniczych papieru zaś jeden egzemplarz książki drugiej wymaga zużycia 125 arkuszy papieru. Zakupiono 5 ton papieru (1 tona wystarcza na wydrukowanie 100 000 arkuszy). Zakładamy, że wszystkie egzemplarze zostaną sprzedane. Opracować plan wydawniczy zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży.
Zadanie 13
Zbudować plan produkcji maksymalizujący przychód ze sprzedaży trzech produktów A, B, C (zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana). Przychód jednostkowy obliczany jest jako suma kosztów produkcji pojedynczego produktu oraz nakładanej marży. W procesie produkcji kluczowe znaczenie mają 2 surowce S1 i S2 oraz dostępny czas pracy maszyn. Jednostkowe wartości kosztów, marży czasu pracy i zużycia surowców podaje tabela:
Produkt |
Koszt [zł] |
Marża [zł] |
S1 [kg] |
S2 [litr] |
Czas pracy [min] |
A |
11 |
3 |
8 |
3 |
5 |
B |
8 |
2 |
1 |
0 |
10 |
C |
15 |
2 |
5 |
4 |
6 |
Zapas surowca S1 wynosi 3,3 t, surowca S2 100 hl. Normy technologiczne wymagają, aby S2 zużyć co najmniej 20 hl. Dostępny limit czasu pracy maszyn wynosi 500 godzin.
Zadanie 14
Hurtownia sprzętu AGD ma w swojej ofercie między innymi pralki dwóch wiodących na rynku producentów. Sprzedawane one są odpowiednio po 1100 i 1200 zł/szt. Planuje się, że łącznie pralek obu producentów uda się sprzedać przynajmniej 200 sztuk, przy czym żaden z producentów nie dostarczy więcej niż 300 sztuk. Aby zainteresować klientów przewidziano akcję promocyjną o całkowitym budżecie wynoszącym 3600 zł. Na jedną pralkę producenta pierwszego przypadnie 20 zł na promocję a drugiego 10 zł. Opracować plan sprzedaży pralek obu producentów charakteryzujący się maksymalnym przychodem.
Zadanie 15 (Jędrzejczak, Kukuła)
Tartak otrzymał zamówienie na wykonanie co najmniej 300 kompletów belek. Każdy komplet składa się z 7 belek o długości 0,7 m oraz 4 belek o długości 2,5 m. Jak zrealizować zamówienie, aby łaczny odpad powstający w procesie cięcia dłużyc o długości 5,2 m był minimalny? Ile wyniesie wielkość odpadu przy optymalnym cięciu dłużyc?