2010/2011

Zadania z matematyki dla Towaroznawstwa

Zestaw V

1. Przez miejscowość A przebiega tor kolejowy (wzdłuż linii prostej). Zakład F znajduje się na uboczu i jest odległy o a km od toru. Odległość wynosi b km. Pod jakim kątem należy przeprowadzić drogę z zakładu do toru kolejowego, aby koszt przewozu ładunków z zakładu F do miejscowości A był jak najniższy wiedząc, że transport jednej tony towaru na odległość jednego km drogą jest w razy wyższy niż przewóz koleją?

F

a

B A

x

F ⁱ

b

2. Dana jest funkcja a) f(x)=2x³-x²+1, b) f(x)=1/x² Znaleźć przyrost oraz przyrost względny funkcji f(x) pomiędzy punktami x₀ i x₀+h gdzie x₀=10, h=0.1.

3. Dana jest funkcja: a) f (x)=x⁴+x-1, b) f(x)=3^x. Znaleźć przyrost oraz przyrost względny funkcji f(x) pomiędzy punktami x₀ i x₀+h, gdzie x₀ =5, h= 20%.

4. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:
   a)
   , b)
   , c) ln (1.02), d) e^-0,2. Obliczyć wartości danych wyrażeń przy pomocy kalkulatora i porównać otrzymane wyniki.

5. Zmierzono promień r kuli i obliczono jej objętość V. Z jakim błędem została wyznaczona objętość kuli, jeśli błąd pomiaru promienia wynosi
   ?

6. Pomiar objętości sześcianu dał wynik 1000 cm3. Błąd pomiaru wynosi 1cm³_.. Z jakim błędem możemy wyznaczyć pole powierzchni całkowitej sześcianu?

7. Pomiary blaszanego pudełka o kształcie cylindrycznym wykazały, że wysokość pudełka h i średnica dna 2r mają po 30 mm. Pomiary te były wykonane z dokładnością do 0.5%. Obliczyć

• błąd względny pola powierzchni pudełka

• błąd względny objętości pudełka

8. Browar sprzedaje piwo w puszkach cylindrycznych o wysokości
   i o promieniu podstawy
   . Wykorzystując pojęcie różniczki zupełnej oszacuj procentową zmianę objętości puszki spowodowaną planowaną zmianą jej wysokości o
   , a promienia o
   .

9. Funkcja kosztów całkowitych pewnego przedsiębiorstwa określona jest wzorem K(x) = 0.1x³+ 10x + +200. Przy jakiej wielkości produkcji koszt przeciętny wyprodukowania jednostki towaru jest równy kosztowi krańcowemu?

10. Cena p(x) jednostki towaru zależy od wielkości podaży x według wzoru p(x)=40-0.03x, dla
    . Wyznaczyć U'(x), gdzie U(x) = xp(x) jest funkcją utargu. Obliczyć przybliżony przyrost utargu, gdy podaż towaru wzrośnie z 200 do 201 jednostek.

11. W pewnym zakładzie koszt całkowity K mln zł jest następującą funkcją wielkości x produkcji mierzonej w tysiącach m²: K(x)=0.1x³+10x+25. Obliczyć najmniejszy koszt przeciętny produkcji jednego tys. m² artykułu. Przy jakiej wielkości produkcji jest on osiągalny? Jaki jest wtedy koszt krańcowy produkcji?

12. Koszt całkowity K(x) wyprodukowania x jednostek pewnego towaru oraz cena p(x) tego towaru, przy której popyt jest równy podaży, zostały określone wzorami: K(x) = 0.02x³+14x+800, p(x) = 50-0.01x². Przy jakiej wielkości produkcji utarg krańcowy będzie równy kosztowi krańcowemu?

13. W pewnym fikcyjnym przedsiębiorstwie funkcja kosztów przeciętnych jest następująca: K_p(x)=0.1x²-3x+40+1/x. Przy jakiej wielkości produkcji koszt krańcowy będzie najmniejszy?

14. Dana jest funkcja kosztów całkowitych pewnego przedsiębiorstwa K = f(x), gdzie x oznacza ilość jednostek produkowanego dobra. Wykazać, że koszt przeciętny osiąga wartość ekstremalną przy takiej ilości produkcji, przy której koszt krańcowy jest równy kosztowi przeciętnemu.

15. Cena p(x), jaką uzyskuje się, na pewnym rynku za jednostkę towaru, zależy od wielkości x jego podaży według wzoru: p(x) = 30-0.1x². Przy jakiej wielkości podaży utarg jest największy?

16. Cena zbytu danego wyrobu jest ustalona i równa p zł/jedn. Koszt całkowity K(x) (zł) produkcji jest zależny od wielkości (x jedn.) produkcji według wzoru: K(x)=0.1x²+10x+40. Przy jakiej wielkości produkcji zysk przeciętny na jednostce wyrobu jest największy?

17. Obliczyć elastyczność funkcji

a) f(x)=3x²+x-2

b) f(x)=5/(3x+2)

c) f(x)=

d) f(x)=ax+b, gdzie a, b = const.

19. Obliczyć elastyczność funkcji a) f(x)=3 ln x przy x₁=10, x₂=100 b) f(x)=e^2x przy x =0.1.

20. Dane są funkcje f(x) i g(x) określone dla x>0, różniczkowalne w obszarze istnienia oraz przyjmujące w nim wartości dodatnie. Znaleźć wzór wyrażający elastyczność:

a) f(x) + g(x) b) f(x) - g(x) c) f(x) * g(x) d) f(x) / g(x)

21. Niech funkcja kosztów przeciętnych pewnego przedsiębiorstwa wyraża się wzorem:

k_p(x)=0.1x²-3x+40+1/x (x>0).

Znaleźć elastyczność a) kosztu przeciętnego, b) kosztu całkowitego. Jaki związek zachodzi pomiędzy elastycznością kosztu całkowitego i elastycznością kosztu przeciętnego?

22. Wyznaczyć elastyczność funkcji f w danym punkcie x₀, jeśli:

1. f(x) = 2x²+ 5x + 3, x₀ = 1, x₀ = 2, x₀ = 10;

2. f(x) = x²/(1 + x) , x_o= 4, x_o= 10, x_o= 20;

3. f(x) = e^2x , x₀ = 0.1, x₀ = 1, x₀ = 3;

4. f(x) =
   , x₀ = 0.2, x₀ = 1, x₀ = 3.

Podać interpretację otrzymanych wyników.

23. Funkcja kosztów przeciętnych pewnego przedsiębiorstwa jest określona wzorem

k_p(x)= 0.1x² - 3x + 10 + 1/x, x > 0. Obliczyć elastyczność kosztu przeciętnego i kosztu całkowitego w punkcie x_o = 10.

24. W jakim punkcie elastyczność funkcji f(x) = 1 + x jest równa 0.1?

25. Wyznaczyć elastyczność funkcji utargu w punkcie x_o = 16, jeśli wiadomo, że cena towaru zależy od wielkości podaży x, gdzie
    , według wzoru p(x)=30-0.1x. Podać interpretacje otrzymanego wyniku.

26. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie o odciętej x_o jeśli:

a) f(x)=x², x_o=2,

b) f(x)=3x²-1, x_o=1,

c) f(x)=e^1-x, x_o=1,

d) f(x) = ln(1 + x²), x_o= 0.

27. Wyznaczyć punkt, w którym prosta styczna do paraboli y =0.5 x² jest równoległa do prostej

2x - y + 3 = 0.

28. W fikcyjnym przedsiębiorstwie koszt całkowity wyprodukowania x ton danego wyrobu wyraża się wzorem: K(x)=0.0001x³-0.1x²+40x+1. Przy sprzedaży wytworzonej produkcji zakład może uzyskać cenę p(x) (tys. zł za tonę) zależną od wielkości podaży x według wzoru: p(x)=88-0.1x. Przy jakiej wielkości produkcji zysk przedsiębiorstwa będzie największy?

29. Sprawdzić, że równanie
    ma dokładnie jeden pierwiastek w przedziale (3,4) oraz obliczyć go z dokładnością do 0.01.

30. Znaleźć pierwiastki równań:

a)
z dokładnością do 0.001;

b)
z dokładnością do 10^-5;

c)
w przedziale
z dokładnością do 10^-5,

d)
z dokładnością do 0.0001

31. Obliczyć wartość
    z dokładnością do 0.001, posługując się rozwinięciem funkcji
    w szereg Maclaurina.

32. Znaleźć rozwinięcie w szereg Maclaurina dla funkcji




2. f(x)=sin(x)

3. f(x)=cos(x)

4. 
   

5. 
   

6. f(x)=ln(1+x)

7. f(x)=sinh(x)

8. f(x)=cosh(x)




34. Obliczyć
    z dokładnością do 0.001, korzystając z rozwinięcia funkcji
    w szereg Maclaurina.

2

---