Nr ćwiczenia: 102	Data: 21.03.2014	Imię i nazwisko: Garczyński Oskar Gajewski Kamil	Wydział Fizyki Technicznej		Semestr: drugi	Grupa: 2 nr lab: 2
Prowadzący:		Przygotowanie:		Wykonanie:		Ocena:

Temat ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.

1. Podstawy teoretyczne

Wyznaczenie moduł sztywności można dokonać stosując metodę statyczną lub dynamiczną. Metoda statyczna przeznaczona jest dla cienkich prętów i drutów a dynamiczna dla znacznych przekrojów.

W ćwiczeniu wykorzystamy metodę dynamiczną gdyż badany drut ma niewielki przekrój. Jest on swym górnym końcem przymocowany do nieruchomego uchwytu, zaś na dolnym przymocowany jest wibrator. Wibrator składa się z dwóch skrzyżowanych płaskowników na których są przymocowane kołki umożliwiające nakładania obciążeń.

Skręcając wibrator o pewien kąt powodujemy wystąpienie w drucie momentu sił sprężystości. Działający moment stara się przywrócić stan równowagi. Zwolniony wibrator zacznie wykonywać ruch drgający czyli harmoniczny o okresie

gdzie: I- moment bezwładności, D - moment kierujący.

Moment kierujący wyznaczamy z zależności

Wyznaczenie momentu bezwładności nieobciążonego wibratora jest trudne, dlatego staramy się weliminować tę wielkość poprzez umieszczenie tzw. obciążenia wstępnego. Wówczas moment bezwładności zwiększy się o I₁, a wzór przyjmie postać

Przekształcając powyższe zależności można się pozbyć I a tym samym wyznaczyć moment kierujący który przedstawia poniższy wzór

Ostateczne równanie modułu skręcenia przyjmuje postać

gdzie: l - długość drutu, r - promień drutu, T - okres drgań wibratora nieobciążonego lub obciążonego wstępnie, T₁ - okres drgań wibratora obciążonego znanymi masami.

Dodatkowy moment bezwładności można uzyskać poprzez nakładanie walców (obciążeń) o znanych masach na odpowiednie kołki. Znając odległości walców od osi wibratora d oraz ilość walców N, a także ich masę zgodnie z twierdzeniem o osiach równoległych Steinera można wyznaczyć moment bezwładności układu zgodnie z zależnością:

I₁=NI₀+Nmd²

gdzie: I₀ - moment bezwładności pojedynczego walca względem jego osi symetrii.

2. Wyniki pomiarów

Długość drutu: 160 ± 0,1 [cm]

Średnica drutu (d): 0,99 ± 0,01 [mm]

Waga [g] +-1g	Δm	Średnica [mm] +-1mm	Δd	Średnia arytmetyczna średnicy	Średnia arytmetyczna wagi	Odchylenie standardowe Średniej arytm.
94	0	31,8	0,025	31,775 mm	0,094 kg	Waga: 0,405144 Średnica: 0,0664295
91	3	31,2	0,575
95	1	32,0	0,225
93	1	32,0	0,225
95	1	31,7	0,075
93	1	31,8	0,025
96	2	31,9	0,125
94	0	32,0	0,225
92	2	31,6	0,175
94	0	31,8	0,025
94	0	31,6	0,175
95	1	31,9	0,125

Okres drgań T₀ = 4,21s

Odległości kołków wibratora od jego środka:

d₁= 43mm

d₂= 92 mm

d₃= 143 mm

Wyznaczanie okresu wahań obciążonego wibratora dla kilku rozkładów mas:

(10 okresów)

A) odważniki nr 1,2,3,4 - 1 minuta 30 sekund= 90s

B) odważniki nr 1,5,2,6,3,7,4,8 - 1 minuta 43 sekundy=103s

C) odważniki (wszystkie zawieszone) - 1 minuta 48 sekund=108s

Średni przybliżony czas 1 okresu obciążonego wibratora = 10s.

3. Obliczenia

Rozkład mas A

I_A= (1/2* 0,094*(0,0159)^2) +(1/2* 0,091*(0,0156)^2)+ (1/2* 0,095*(0,016)^2)+ (1/2* 0,093*(0,016)^2)= 0,00004701895 [kg*m²]

I= 4*0,09325*(0,143)²= 0,007627477

I₁=0,00004701895 + 0,007627477 = 0,00767449595 [kg*m²]

Rozkład mas B

I_B=0,00004701895+ (1/2* 0,095*(0,01585)^2) +(1/2* 0,093*(0,0159)^2)+ (1/2* 0,096*(0,01595)^2)+ (1/2* 0,094*(0,016)^2)=0,00009495288375 [kg*m²]

I₂=0,00009495288375+0,007627477+4*0,09450*(0,092)²= 0,01092182188375 [kg*m²]

Rozkład mas C

I_C=0,00009495288375+ (1/2* 0,092*(0,0158)^2) +(1/2* 0,094*(0,0159)^2)+ (1/2* 0,094*(0,0158)^2)+ (1/2* 0,095*(0,01595)^2)= 0,0001421355925 [kg*m²]

I₃= 0,0001421355925+0,007627477+0,003199392+4*0,09375*(0,043)²=0,0116623795925 [kg*m²]

Średni błąd ΔI

Δm=1g=0,001kg

Δd=0,1cm=0,001m

ΔR=0,1cm= 0,001m

gdzie R- promień walca

d- średnica walca

ΔI= Δm (R²/2 + d²) + m(R ΔR + 2d Δd)= 0,000 008602981953 [kg*m²]

Moduł sztywności

G₁= 75564267815,38462 [N*m^-2*rad^-1]

G₂= 83613307647,93905 [N*m^-2*rad^-1]

G₃= 71426188279,12533 [N*m^-2*rad^-1]

Ostatecznie:

I= 0,001009 ±0,000009 kg*m²

Średnia arytmetyczna modułu sztywności

= 7,6867921247483*10¹⁰[N*m^-2*rad^-1]

≈7,69*10¹⁰[N*m^-2*rad^-1]

Średnia arytmetyczna masy walców

 = 93.83333 [g]

Odchylenie standardowe średniej średnicy walców

 

= sqrt(1/(12-1)•((31.8-31.775)² +(31.2-31.775)² +(32-31.775)² +(32-31.775)² +(31.7-31.775)² +(31.8-31.775)² +(31.9-31.775)² +(32-31.775)²+(31.6-31.775)² +(31.8-31.775)² +(31.6-31.775)² +(31.9-31.775)²)) =
=sqrt(1/11•((0.00063)+(0.33062)+(0.05063)+(0.05063)+(0.00562)+(0.00063)+(0.01563)+(0.05063)+(0.03062)+(0.00063)+(0.03062)+(0.01563))=
= sqrt(0.05295) ≈ 0.23012

0.23012/3,46410=0,06643

Odchylenie standardowe masy walców

sqrt(1/(12-1)•((94-93.83333)²+(91-93.83333)²+(95-93.83333)²+(93-93.83333)²+(95- 93.83333)²+(93-93.83333)²+(96-93.83333)²+(94-93.83333)²+(92-93.83333)²+(94-93.83333)²+(94-93.83333)²+(95-93.83333)²)) =
=sqrt(1/11•((0.02778)+(8.02776)+(1.36112)+(0.69444)+(1.36112)+(0.69444)+(4.69446)+(0.02778)+(3.3611)+(0.02778)+(0.02778)+(1.36112))
= sqrt(1.9697) ≈ 1.40346

1.40346/3,46410=0,40514

Odchylenie standardowe modułu sztywności

sqrt(1/(3-1)•((75564267815.38461-76867921247.483)²+(83613307647.93906-76867921247.483)²+(71426188279.12534-76867921247.483)²)) 
= sqrt(1/2•((1699512271021908000)+(45500237691457490000)+(29612457698910736000))
= sqrt(38406103830695070000) ≈ 6197265835.08365

6197265835.08365/1,73205= 3577994766,36567 (≈3,6*10⁹)

4. Dyskusja błędów

W trakcie wykonywania doświadczenia pojawiły się błędy przypadkowe, których nie dało się uniknąć. Konieczne było zastosowanie stopera a dokładność pomiaru przy jego użyciu i przy uwzględnieniu czynnika ludzkiego była dość niska w porównaniu np. do pomiaru przy użycia czujnika fotoelektrycznego. Duży wpływ miał również błąd pomiaru średnicy druta. Nie bez znaczenia były także różnice w wychylaniu wibratora co powodowało otrzymanie niedokładnych okresów drgań.

5. Wnioski

Otrzymana średnia wartość modułu skręcania (7.69*10¹⁰) dla stali jest nieznacznie inna niż podawana przez tablice fizyczne(G
). Różnica ta spowodowana jest błędami pomiarowymi.

Moment bezwładności układu jest sumą poszczególnych momentów bezwładności walców w układzie.

Wzrasta on proporcjonalnie do sumy ich mas i w zależności od odległości od osi obrotu.

---