Pytania egzaminacyjne z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki

1. Podać wzory De Morgana oraz inne znane własności działań na zdarzeniach. np. A∩(B∪C) =?

2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Co to s* permutacje, wariacje, kombinacje elementów zbioru (poda* właściwe wzory)?

3. Poda* definicję aksjomatyczną prawdopodobieństwa oraz własności z niej wynikające. Udowodnić własność: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) (zamiast tej mogą tu być także inne własności).

4. Co to są zdarzenia wykluczające się - def. (zapis symboliczny)? Wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

5. Niezależność dwu zdarzeń A, B - definicja. Niezależność trzech zdarzeń A, B, C - definicja.

6. Dopisać prawe strony wzoru P(A∩B∩C) = ? ; gdy:

a) zdarzenia A,B,C - są niezależne b) bez założenia niezależności

7. Podać wzór na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne) z dowodem. Jakie założenia muszą spełniać występujące tu zdarzenia lub ich prawdopodobieństwa (tzw. zupełny układ zdarzeń) ? Wzór Bayesa - dowód.

8. Rozkład zmiennej losowej typu skokowego - def. Rozkład Poissona i Bernoulliego oraz ich związek (dla dużych n ). Przykład zmiennej o rozkładzie Poissona.

9. Rozkłady typu ci*g*ego. Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa. Rozkład jednostajny i wykładniczy. Przykład.

10. Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej ( wartość oczekiwana, wariancja, moda, mediana, kwanty rzędu p) -definicje.

11. Posługując się własnościami wartości oczekiwanej i wariancji pokazać, że jeżeli zmienna losowa X ma wartośc oczekiwaną E(X)= m i wariancję D²(X)=
    >0 , to zmienna losowa
    jest standaryzowana.

12. Poda* def. wariancji. Opierając się na własnościach warto*ci oczekiwanej (poda* je) wykazać że
    i wskazać miejsca, gdzie zosta*y one wykorzystane? Co to jest odchylenie standardowe - interpretacja ?

13. Rozkład normalny - gęstość i dystrybuanta (wzory, wykres) . Zmienna losowa X ma rozkład N(1,2) . Co oznaczają występujące tu parametry ? Obliczyć P( X > -1 ).

14. Zmienna losowa dwuwymiarowa (X,Y). Dystrybuanta, rozkłady brzegowe i warunkowe.

15. Co to jest kowariancja i współczynnik korelacji ? Interpretacja.

16. Niezależność zmiennych losowych. Relacja między niezależnością a brakiem korelacji.

17. Wartość oczekiwana warunkowa - def. Linie regresji I-go rodzaju. Kiedy średnie odchylenie kwadratowe E[Y - g(X)]² zmiennej losowej Y od pewnej funkcji g(X) zmiennej losowej X jest najmniejsze, (jaka to funkcja) ?

18. Proste regresji II- go rodzaju (def., wzory, interpretacja ) .

19. Estymacja punktowa - pojęcie estymatora parametru Q zm. losowej (cechy) X. Klasyfikacja estymatorów (zgodny, nieobciążony .....).

20. Podać znane statystyki podstawowe (np. średnia z próby, wariancja z próby...) i określi* do szacowania (estymowania), jakich parametr*w rozkładu badanej cechy X one służą.

21. Co to znaczy, że estymator jest zgodny - definicja. Sformułować prawo wielkich liczb Chińczyna i na jego podstawie uzasadnić, że średnia z próby
    jest zgodnym estymatorem wartości oczekiwanej badanej cechy X.

22. Sformułować twierdzenie Lindeberga-Levy'ego. Jeśli zmienne losowe
    są niezależne o jednakowych rozkładach z parametrami
    oraz
    dla i=1,2, … to, jaki rozkład ma (w przybliżeniu) statystyka
    (dla dużych n).

23. Interpretacja (na przykładzie wart. oczekiwanej) przedziału ufności dla parametru Q (zm. losowej X) przy danym poziomie ufności 1 - α . Podać wzór na przedział ufności dla wartości oczekiwanej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym
    przy nieznanym
    (mogą być inne wzory z tej serii).

24. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dysponując statystyką testową
    oraz ustalonym poziomem istotności α zdefiniować tzw. zbiór krytyczny (odrzuceń)
    hipotezy H. Jeśli stwierdzimy, że
    jaką decyzję podejmujemy odnośnie weryfikowanej hipotezy H ?

Literatura:

1. Krysicki W., Bartos J. i in.: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. t. I.i II PWN Warszawa 2004

2. Plucińska A., Pluciński E. : Probabilistyka. WNT Warszawa 2000

3. Grzegorzewski P., Borecka K., i in.: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. WSISiZ Warszawa 2002

4. Kordecki W. : Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2003

Pytania na zielono można opuścić.

---