Wykład 7

7. Praca i energia

1. Wstęp

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest określenie ruchu punktu, jeżeli znana jest siła działająca na ten punkt. W pierwszym kroku wyznaczamy przyspieszenie

a = F/m

Gdy m i F stałe to a też jest stałe i wtedy możemy prosto obliczyć prędkość

v = v₀ + at

i położenie

x = v₀t + at²/2

Zagadnienie jest bardziej złożone gdy F nie jest stała. Trzeba posługiwać się bardziej skomplikowaną matematyką (całkowanie). Mamy często do czynienia z takimi siłami np. siła grawitacji między dwoma ciałami zależy od ich odległości, siła wywierana przez rozciągniętą sprężynę zależy od stopnia rozciągnięcia.

Postępowanie pozwalające określić ruch punktu prowadzi nas do pojęcia pracy, energii i twierdzenia o pracy i energii. Zagadnienia związane z energią są tak istotne (szeroko rozumiana ekonomia, ekologia, zasoby energii itd.), że ich znajomość jest konieczna dla wszelkich rozważań zarówno ekonomicznych, technologicznych jak i społecznych. Problemy energii (jej różne formy ich konwersja itd.) będą odtąd przewijać się stale przez wykłady. Z energią związana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Będzie ona centralnym tematem większości działów fizyki omawianych na wykładach. W mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać w bardzo prosty sposób ruch ciał bez konieczności korzystania z zasad dynamiki Newtona.

2. Praca wykonana przez stałą siłę

W najprostszym przypadku, siła F jest stała, a punkt porusza się w kierunku działania siły. Wtedy

W = F·s = Fs cosα (7.1)

(Iloczyn dwóch wektorów daje liczbę).

Zastanówmy się czy kąt α może być różny od zera? Odpowiedź jest twierdząca, bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Oczywiście muszą działać jeszcze inne siły (np. ciężar, tarcie). Gdyby działała tylko jedna to i tak ciało nie musiałoby poruszać się w kierunku jej działania np. rzut ukośny (tylko grawitacja).

Wzór Fs cosα określa jedynie pracę wykonaną przy przemieszczaniu punktu przez jedną siłę. Pracę wykonaną przez inne należy obliczyć oddzielnie i potem je zsumować. Zwróćmy uwagę, że gdy α = 0 otrzymujemy pierwszy wzór Fs. Gdy α = 90° to z równania wynika, że W = 0.

Przykłady

(a) i (b) W = 0 bo α = 90°, (c) i (d) bo przesunięcie s = 0.

Jednostką pracy jest w układzie SI dżul (J), 1J = 1N·1m.

Często używa się jednostki elektronowolt 1eV = 1.6·10^-19 J.

Przykład 2

Sanki o masie 5 kg są ciągnięte ze stałą prędkością po poziomej powierzchni (rysunek). Jaka praca zostanie wykonana na drodze s = 9 m, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0.2, a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt 45° z poziomem?

Pracę obliczamy z zależności:

W = Fs cosα

Aby obliczyć pracę musimy znaleźć F. Z warunku stałej prędkości (w kierunku poziomym)

Fcosα - T = 0

a dla kierunku pionowego

Fsinα +R - mg = 0

Nacisk na podłoże (równy reakcji podłoża) wynosi mg - Fsinα, więc siła tarcia wynosi

T = μ (mg - Fsinα)

Te równania pozwalają wyliczyć F (eliminując T).

F = μmg/(cosα+μsinα)

więc praca

W = Fs cosα = μmgs cosα/(cosα+μsinα)

3. Praca wykonana przez siłę zmienną

Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F(x), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia x₁ do położenia x₂. Jak skorzystać ze wzoru W = Fs cosα czyli co podstawić za F, skoro wartość jej zmienia się (rysunki poniżej)?

Zaczynamy od przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie na n jednakowych odcinków Δx (rysunek poniżej). Wewnątrz takiego przedziału przyjmujemy (to jest to przybliżenie), że siła jest stała (prawie) i możemy teraz policzyć pracę na tym odcinku Δx: ΔW_i = F_iΔx, gdzie F_i jest wartością siły na tym odcinku. Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej (geometria) liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchni prostokątów o szerokości Δx i wysokości F_i. Następnie możemy zsumować prace na kolejnych odcinkach (zsumować pola prostokątów) i otrzymać pracę całkowitą.

Żeby poprawić to przybliżenie dzielimy przedział (x₁, x₂) na więcej (mniejszych) odcinków Δx (patrz kolejny rysunek).

I teraz znowu powtarzamy procedurę sumowania. Przybliżenie jest lepsze bo siła ma prawie stałą wartość wewnątrz "małych" przedziałów Δx (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą).

Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy) Δx → 0.

Stosujemy tę samą procedurę obliczając

(7.2)

To jest definicja całki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powierzchni pod krzywą (w zadanym przedziale - granicach). Odpowiada to też z definicji liczeniu wartości średniej co zgadza się z intuicyjnym podejściem: W = F_średnia(x₂ - x₁)

Trzeba więc albo umieć rozwiązać całkę (albo poszukać w tablicach) lub umieć obliczyć pole powierzchni pod krzywą co może być czasem łatwe.

Np. rozważmy sprężynę zamocowaną jednym końcem do ściany i rozciąganą siłą F tak, że jej koniec przemieszcza się o x.

Siła wywierana przez sprężynę jest siłą przywracającą równowagę i wynosi F = -k x.

Aby rozciągnąć sprężynę musimy przyłożyć siłę równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną. Tak więc F = k x.

Teraz obliczmy pracę

Możemy też wprost obliczyć pole pod wykresem F(x).

Pole powierzchni jest polem trójkąta i wynosi

P = (1/2) x·kx = (1/2) kx²

i zgadza się z wynikiem uzyskanym z obliczenia całki.

To był przypadek jednowymiarowy. Przypadek 2 i 3-wymiarowy są w zasadzie swej rozpatrywane podobnie ale matematycznie trudniejsze.

4. Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii

W przykładzie z sankami mieliśmy do czynienia z ruchem bez przyspieszenia. Oznaczało to, że wypadkowa siła działająca na ciało wynosi zero. Teraz rozważmy przypadek gdy ciało porusza się pod wpływem niezrównoważonej siły. Najprostszy przypadek to stała siła czyli ruch ze stałym przyspieszeniem. Jaką pracę wykonuje ta siła przy przemieszczeniu ciała na odległość x?

Zakładamy, że kierunek siły F i przyspieszenia a pokrywa się z kierunkiem osi x. Dla stałego przyspieszenia mamy

oraz

co w połączeniu daje

Wykonana praca jest równa

(7.3)

Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną.

Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt materialny jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.

W = E_k - E_k0 (7.4)

To jest twierdzenie o pracy i energii.

Gdy nie ma zmiany wartości prędkości to nie ma zmiany energii kinetycznej tzn. nie jest wykonywana praca (np. siła dośrodkowa). Z twierdzenia powyższego wynika, że jednostki pracy i energii są takie same.

5. Moc

Rozważmy czas w jakim wykonywana jest praca. Często interesuje nas szybkość wykonania pracy a nie jej wartość. To jest właśnie moc.

Moc średnia: P_średnia = W/t

Moc chwilowa: P = dW/dt

Oczywiście gdy moc jest stała w czasie to P_średnia = P.

Jednostką mocy jest wat. 1W = 1J/1s.

Dla celów praktycznych używa się kW (kilowatów) lub KM (koni mechanicznych przy czym 1 KM ≈ (3/4) kW.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

7-2

7-6

---