1. Świat zjawisk fizycznych, skalary i wektory w fizyce, wielkości pochodne i pierwotne

Fizyka jako nauka zajmująca się prawidłowościami i relacjami występującymi w naszym otoczeniu pozwala na zrozumienie, a raczej przybliżenie zrozumienia, funkcjonowania otaczającego nas świata. Poznawanie to odbywa się zasadniczo w dwóch kierunkach. Jeden dotyczy ekspansji poznawania w skali kosmosu i ogromnych przedziałów czasowych, drugi zaś związany jest z poznawaniem obiektów w skali mikro i odpowiadających mu niezmiernie małym przedziałom czasowym. Pojmowanie tych światów (makro i mikro) ułatwiają wprowadzane modele fizyczne przybliżane przez zjawiska występujące w otoczeniu człowieka.

Rys.1 Rozmiary, masy i czasy życia obiektów we Wszechświecie.

Przykładem może tu być model orbitalny (powłokowy) wykorzystywany zarówno do opisu Układu Słonecznego jak i modelu atomu czy jądra atomowego. Oprócz dwóch parametrów jakimi są rozmiary liniowe i czas, należy też wspomnieć o kolejnym, a mianowicie o masie obiektów i związanej z nią energią. Korelacje między rozmiarami, masą i czasem w potocznych ujęciach przedstawia rysunek 1. Na linii (linia ukośna) trendu pojawiają się kolejno: cząstki elementarne, atomy, mikroorganizmy, człowiek, Ziemia, Układ Słoneczny, Galaktyka i Wszechświat. Odejście od głównego trendu prowadzi do nietypowych stanów materii takich jak: czarna dziura ze skrajnie dużą gęstością masy i przestrzeń kosmiczna ze skrajnie małą gęstością masy.

W tym miejscu odsyłam co bardziej dociekliwych i odważnych czytelników do rozdziału 16 poświęconemu elementom kosmologii.

Uświadomienie sobie miejsca człowieka we Wszechświecie prowadzi z jednej strony do rozbudzenia zainteresowań związanych z jego budową i funkcjonowaniem, z drugiej zaś strony budzi pokorę wobec ogromu (wielkości mas, odległości oraz przedziałów czasu) oraz bogactwa obserwowanych zjawisk. Nieodparty ciąg umysłu ludzkiego do poznawania otaczającego nas świata prowadził przez tysiąclecia do rozwoju ludzkości. Jest to szczególnie widoczne w ostatnich latach, gdy rozwój fizyki i innych nauk ścisłych doprowadził do dynamicznego postępu technicznego i towarzyszących mu zmian w takich dziedzinach jak: biologia, medycyna, technika, informatyka i inne. Nikt dziś nie wyobraża sobie życia (a właściwie nie chce sobie wyobrazić takiego kataklizmu) bez komputerów i sieci internetowej. Ich powstanie umożliwił szybki rozwój elektroniki a w konsekwencji informatyki. Dzisiaj wszyscy zgodzą się, że najcenniejszym „towarem” jest informacja i jej szybki przekaz. Odzwierciedlenie tego faktu widoczne jest nie tylko w naukach ścisłych, ale i w innych naukach, takich jak ekonomia czy nauki humanistyczne. U podstaw wielkiego skoku cywilizacyjnego (nie tylko XX wieku) stoją geniusz i żmudna praca (niejednokrotnie nie doceniana za życia jednostki) fizyków, matematyków i innych przedstawicieli nauk ścisłych.

Spróbujmy teraz określić fizykę jako naukę, czyli zbiór faktów i prawidłowości występujących między nimi. Fizyka to podstawowa nauka przyrodnicza zajmująca się badaniem fundamentalnych i uniwersalnych (na danym etapie) właściwości materii i zjawisk w otaczającym nas świecie. Własności te wiążą się ściśle z podstawowymi oddziaływaniami między elementarnymi składnikami materii obdarzonymi pewnymi własnościami ogólnymi (np. masą czy ładunkiem). Badania tych oddziaływań i ich własności prowadzą do formułowania praw fizycznych (ilościowych związków przyczynowo-skutkowych) i bardziej ogólnych zasad zachowania. Dlatego też językiem (narzędziem) fizyki jest matematyka. Odgrywa ona ogromną rolę przy planowaniu, opracowywaniu wyników eksperymentów i tworzeniu syntezy w postaci modeli lub teorii fizycznych.

Fizyka jest ściśle związana z innymi naukami przyrodniczymi. Doprowadziło to do powstania nauk takich jak: geofizyka, astrofizyka, biofizyka, chemia fizyczna, biologia molekularna, fizyka medyczna. Fizyka jest tez motorem napędowym i zapleczem teoretycznym dla techniki.

Wstęp matematyczny

Poniżej przypomniane zostaną wybrane wiadomości z matematyki mające istotne znaczenie dla posługiwania się językiem przyrody. W otaczającym nas świecie mamy głównie do czynienia z wielkościami fizycznymi posiadającymi tylko wartość (nie zależną od kierunku w przestrzeni) i nazywanymi skalarami oraz z wielkościami, do opisu których wymagane jest także (oprócz wartości) podanie punktu zaczepienia, kierunku oraz zwrotu i nazywanymi wektorami. Przykładami skalarów są: masa, czas, energia, moc, ładunek, potencjał, rezystancja, strumień indukcji. Do wielkości wektorowych zaliczamy np.: prędkość, przyspieszenie, pęd, siłę, natężenie i indukcję pola wektorowego.

Wektor
możemy rozłożyć na składowe we współrzędnych prostokątnych na wektory
Ostatnie składowe odpowiadają wektorom w kierunku osi x, y i z (rysunek2). Wprowadzimy teraz wersory, czyli wektory jednostkowe w kierunkach osi x, y i z oraz oznaczymy je jak na rysunku:
Ponieważ są to wektory o wartości równej 1 możemy je zdefiniować w następujący sposób:

,
,
.

Wykorzystując powyższe równania możemy zapisać wektor
w postaci:

lub skrótowo: (w_x, w_y, w_z).

Rys.2 Rozkład wektora na składowe we współrzędnych prostokątnych

Przypomnimy teraz podstawowe działania na wektorach. Wektory możemy dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę oraz mnożyć wektory przez siebie (iloczyn skalarny lub wektorowy). Dodanie wektorów
i
polega na dodaniu odpowiednio ich współrzędnych x-owych, y-owych i z-owych. Otrzymujemy równanie:

.

Skrótowo można to zapisać za pomocą znaku sumy Σ:

.

Mnożenie wektora przez skalar polega na wymnożeniu jego wszystkich składowych przez tą samą liczbę:

.

Mnożenie wektorów przez siebie może w wyniku dawać skalar i mówimy wtedy o iloczynie skalarnym lub wektor i mówimy wtedy o iloczynie wektorowym. Iloczyn skalarny wektorów
i
to taka operacja matematyczna, która tej parze wektorów przyporządkowuje liczbę (skalar) c taki, że jego wartość jest równa:

,

gdzie α jest kątem między wektorami. Ponieważ funkcja cosinus jest parzysta to iloczyn wektorowy jest przemienny:

.

Wartość jednego z wektorów pomnożona przez cosα jest równa długości rzutu tego wektora na kierunek drugiego wektora. Tak więc sens geometryczny iloczynu skalarnego jest taki, że jest to iloczyn długości jednego z wektorów i długości rzutu drugiego na kierunek pierwszego. Warto w tym miejscu zauważyć, że w przypadku wersorów iloczyn skalarny tych samych wersorów jest równy 1 a różnych 0.

dla
(cos 0 = 1),

dla
(cos 90^o=0).

We współrzędnych prostokątnych możemy iloczyn skalarny zapisać:

.

Mając wyliczony iloczyn skalarny (ze współrzędnych) i znane długości wektorów można obliczyć cosinus kąta między nimi:

.

Iloczyn wektorowy wektorów
i
to taka operacja matematyczna, która tej parze wektorów przyporządkowuje wektor
taki, że:

• jego wartość jest równa: c = u·w·sinα ,

• 
  i
  ,

• zwrot wektora
  określamy z reguły śruby prawoskrętnej,

• wektor
  jest funkcja kąta α.

Zauważmy, że w⋅sinα jest długością wysokości w równoległoboku wyznaczonym przez wektory
i
. Oznacza to, że wartość (długość) wektora
jest równa wartości pola powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach
i
.

Mając współrzędne wektorów
i
można wyliczyć współrzędne wektora
przy pomocy wyznacznika:

=
=
.

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że iloczyn wektorowy wektorów równoległych jest równy 0 (sin 0^o = 0). Iloczyn wektorowy nie jest też przemienny [sin(-α) = - sinα]. Stąd:

.

Aby nie zniechęcić czytelnika zostaną teraz przedstawione niektóre cechy wielkości pochodnych i pierwotnych występujących w fizyce. Łączą się one z matematycznymi pojęciami pochodnej i całki, choć na tym etapie nie wymagają ich dogłębnego przestudiowania. Wielkość fizyczną (np. szybkość v - skalar) pochodną w stosunku do danej wielkości fizycznej (np. s droga liczona w układzie toru) możemy traktować jako szybkość zmian tej drugiej w funkcji zmiennej niezależnej (np. t). Rysunek 3 przedstawia wykres zależności drogi od czasu s(t).

Rys. 3 Ilustracja interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji

Na rysunku zaznaczono dwa punkty o współrzędnych (t₁, s₁) i (t₂, s₂) oraz odpowiadające im różnice Δs i Δt. Te ostanie dwie wartości pozwalają wyliczyć iloraz różnicowy Δs/Δt równy tangensowi α₁, czyli współczynnikowi kierunkowemu siecznej przechodzącej przez powyższe punkty. Sens fizyczny tego ilorazu różnicowego wyraża szybkość średnią ciała. Jeśli punkt drugi będziemy przesuwać w kierunku pierwszego (t₂→t₁) to wartość ilorazu różnicowego będzie zmierzać do wartości równej tgα, czyli współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji s(t) dla t=t₁. Wielkość tą nazywamy w tym przypadku szybkością chwilową ciała w momencie t₁. Mówimy, że szybkość definiujemy jako pochodną drogi po czasie i zapisujemy:

.

Tak więc nachylenie stycznej do wykresu s(t) w punkcie t₁ jest miarą pochodnej wielkości zależnej s (funkcji s(t)) względem wielkości niezależnej t. Czyli szybkość v jest pochodną drogi s po czasie t. W drugą stronę s jest wielkością pierwotną do v po czasie t. Policzymy teraz drogę s, czyli wartość funkcji pierwotną do v w przedziale od t₁ do t₂. Rysunek 4 przedstawia zależność szybkości od czasu i sposób liczenia drogi.

Rys.4 Sposób liczenia drogi w przedziale od t₁ do t₂ .

Wycinamy cienki pasek powierzchni Δs tak aby można było przyjąć stałą wartość szybkości v. W tym przedziale pole powierzchni Δs będzie równe:

Δs= v Δt .

Wartość całkowitej powierzchni pod wykresem v(t) obliczymy sumując przyczynki Δs_i w przedziale od t₁ do t₂. Chcąc obliczyć dokładną wartość pola powierzchni pod krzywą v(t) musimy przeprowadzić podział na nieskończenie małe elementy ds. (ds to Δs→0), a następnie przeprowadzić ich nieskończone sumowanie. Proces matematyczny odpowiadający tej procedurze nazywamy całkowaniem i zapisujemy:

.

Pole powierzchni pod krzywą jest więc miarą wielkości pierwotnej w stosunku do wielkości będącej tu zmienną zależną.

Relacje między wielkościami pierwotnymi i pochodnymi obrazuje rysunek 5. Obrazuje on również stopniowanie tych pojęć. Zaznaczono na nim pochodną po czasie z szybkości (drugą pochodną z drogi po czasie) jaką jest przyspieszenie.

Rys. 5 Wielkości pochodne i pierwotne w fizyce

W rozdziale 3 przypomnimy sobie, podobnie do szybkości, definiowaną wielkość wektorową nazywaną prędkością. Jest ona definiowana jako pochodna wektora położenia po czasie.

---