Analiza I
Kolokwium, 22 listopada 2008
UWAGA: Każde zadanie oddajemy na oddzielnej kartce. Wszystkie kartki należy czytel-
nie podpisać imieniem, nazwiskiem, numerem potoku, numerem grupy oraz nazwiskiem
prowadzącego ćwiczenia. Prosimy o czytelne pisanie rozwiązań  prace nieczytelne nie
będą sprawdzane.
Zadanie 1: Znalez
ć kresy inf A oraz sup A następującego zbioru A

2n + k2
A = : k, n " N .
n! + k2
Zadanie 2: Obliczyć granice następujących ciągów
1 1
" " "1
+ +···+
n+1 n+2 2n
"
a.) an = ,
n

2
n2 1
b.) bn = n5n + 2n .
n
Zadanie 3: Niech a1 = a " (0, 1), an+1 = an - a3.
n
a.) Wykazać zbieżność i obliczyć granicę ciągu an.
" "
b.) Pokazać, że szereg a4 jest zbieżny i a4 < a.
n n
n=1 n=1
Zadanie 4: Zbadać zbieżność szeregu
"
"

n2 + 3 - n
" .
3
n + 1
n=1

Zadanie 5: Niech (C) będzie następującym warunkiem na ciąg xn

"µ>0 "N "n>N "n
Pokazać, że ciąg zbieżny spełnia warunek (C). Pokazać, że z warunku (C) nie wynika

zbieżność, a więc istnieje ciąg rozbieżny, spełniający warunek (C).