ROZDZIA 1 l Poj¸ przestrzeni metrycznej ecie Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja Á : X × X
[0, "), spe lniajaca nastepujace trzy warunki
M1: Á(x, y) = 0 Ô! x = y, M2: Á(x, y) = Á(y, x), M3: Á(x, z) d" Á(x, y) + Á(y, z), dla dowolnych x, y, z " X, nazywamy przestrzenia metryczna i oz-
naczamy symbolem (X, Á). Funkcje Á nazywamy metryka w X, elemen- ty zbioru X punktami, a wartoÅ› ć Á(x, y) odleg miedzy punk- loÅ›cia
tami x, y w przestrzeni metrycznej (X, Á). Warunek M3 zwie sie nie-
równościa trójkata.
JeÅ›li rozważamy przestrzeÅ„ metryczna z ustalona jedna metryka Á,
to zamiast pisać (X, Á), bedziemy po prostu pisać X .
Åšrednica niepustego podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, Á) jest liczba diam A = sup{Á(x, y) : x, y " X}, jeÅ›li rozważany kres górny istnieje; mówimy wtedy, że zbiór A jest ograniczony. W przeciwnym wypadku piszemy diam A = ". Przyk 1.1. PrzestrzeÅ„ dyskretna. W dowolnym zbiorze lad niepustym X można okreÅ›lić metryke Á01 przyjmujaca wartość 0 na
każdej parze punktów równych oraz 1 na pozosta parach punktów. lych PrzestrzeÅ„ metryczna (X, Á01) nazywamy przestrzenia dyskretna.
Przyk 1.2. PrzestrzeÅ„ unormowana. lad PrzestrzeÅ„ unormowana jest to przestrzeÅ„ liniowa X (dla prostoty nad R), w której okreÅ›lona jest norma · wektorów, tj. funkcja · : X [0, ") majaca nastepujace w lasnoÅ›ci:
(1) x = 0 Ô! x = 0 (2) Ä…x = |Ä…| x (3) x + y d" x + y dla dowolnych wektorów x, y " X i skalara Ä… " R. PrzestrzeÅ„ taka oznaczamy symbolem (X, · ). Przy pomocy normy okreÅ›lamy latwo metryke Á w X wzorem Á(x, y) = x - y .
1 2 1. POJECIE PRZESTRZENI METRYCZNEJ ¸ Przyk najczeÅ›ciej spotykanych w matematyce przestrzeni unor- ladami
mowanych sa przestrzenie euklidesowe, przestrzeń Hilberta l2 lub róż- nego rodzaju przestrzenie funkcyjne. Niektóre z nich omówione sa
poniżej. Przyk 1.3. Przestrzeń euklidesowa. lad Jest to n-wymiarowa przestrzeń unormowana Rn z norma euklide-
sowa dana wzorem
n
x e = (xi)2, i=1 gdzie x = (x1, . . . , xn) " Rn. Wobec tego metryka euklidesowa w Rn dana jest wzorem
n
Áe(x, y) = x - y e = (xi - yi)2. i=1 Zauważmy, że odleg euklidesowa dwóch punktów oznacza geome- lość trycznie d odcinka prostoliniowego miedzy nimi. lugość
Przyk 1.4. W przestrzeni liniowej Rn rozważa sie czesto dwie lad
inne normy: n (1) x s = |xi|, i=1 (2) x m = max{|x1|, . . . , |xn|}, gdzie x = (x1, . . . , xn) " Rn, prowadzace odpowiednio do metryk
(1) Ás(x, y) = x - y s, (2) Ám(x, y) = x - y m. Obie metryki sa równoważne metryce euklidesowej, o czym bedzie
mowa w dalszej czesci. Ich interpretacja geometryczna jest jasna.
Áe(x, y) gdy 0, x, y s¸ wspó a lliniowe, Ác(x, y) = x e + y e w przeciwnym razie. Można podawać wiele interpretacji fizycznych, w których punkty ma- terialne moga sie poruszać wy po promieniach wychodzacych z lacznie
centrum 0 i wtedy metryka Á w sposób naturalny mierzy odleg lość c punktów. Przemawia do wyobrazni przyk miasta (lub kopalni), w lad którym wszystkie ulice (chodniki) schodza sie promieniÅ›cie do rynku
(centralnego szybu). Metryke Ác nazywa sie czasem metryka centrum
lub metryka jeża z kolcami, bedacymi promieniami wychodzacymi z
0. 1. POJECIE PRZESTRZENI METRYCZNEJ 3 ¸ Przyk 1.6. metryka rzeka. Na p lad laszczyznie okreÅ›lamy od- leg punktów x = (x1, x2), y = (y1, y2): lość
Áe(x, y) gdy x1 = y1, Ár(x, y) = |x2| + |x1 - y1| + |y2| w przeciwnym razie. Taka odleg staje sie naturalna w dżungli amazoÅ„skiej, gdzie je- lość
dynymi dostepnymi szlakami sa proste ścieżki wydeptane przez zwie-
rzeta do rzeki (prosta x2 = 0) i sama rzeka.
Dwie ostatnie metryki okaża sie nierównoważne metryce euklideso-
wej. Przyk 1.7. Na sferze S2 = { x " R3 : x e = 1 } okreÅ›lamy lad odleg geodezyjna Á(x, y) jako d nied la lość lugość luższego luku ko wiel-
kiego od x do y. Przyk 1.8. Przestrzeń Hilberta lad "
l2 = { (x1, x2, . . . ) " R " : (xi)2 < "}. i=1 Jest to przestrzeń unormowana z norma
"
x = (xi)2, i=1 gdzie x = (x1, x2, . . . ) " l2. Można ja uważać za nieskończenie wymia-
rowy odpowiednik przestrzeni euklidesowych. Przyk 1.9. Kostka Hilberta Q. Jest to podzbiór przes- lad trzeni l2 postaci 1 Q = { (x1, x2, . . . ) : |xi| d" }, i z metryka określona takim samym wzorem, jak w l2.
Przyk 1.10. PrzestrzeÅ„ B(X, Y ). lad JeÅ›li X jest dowolnym zbiorem niepustym, a (Y, Á) przestrzenia metryczna, to w zbiorze B(X, Y ) wszystkich funkcji f : X Y ograni-
czonych, to znaczy takich, że diam f(X) < ", wprowadzamy metryke
Ásup(f, g) = sup{Á(f(x), g(x)) : x " X} (metryka ta zwana jest metryka zbieżnoÅ›ci jednostajnej). W przy-
padku, gdy Y jest przestrzenia unormowana, z norma · , również
B(X, Y ) staje sie w naturalny sposób przestrzenia unormowana, można
bowiem dodawać funkcje i mnożyc je przez skalary rzeczywiste, a norme
4 1. POJECIE PRZESTRZENI METRYCZNEJ ¸ funkcji f okreÅ›la wzór f sup = sup{ f(x) : x " X}. Odleg funk- lość cji w tej metryce szacuje różnice miedzy ich wartoÅ›ciami.
Przyk 1.11. Przestrzeń C1. lad Określamy C1 = { f : [0, 1] R : f jest ciag }. Jest to la
1 przestrzeń unormowana z norma f 1 = |f(x)|dx. Odleg dwóch lość 0
funkcji w metryce otrzymanej z tej normy jest polem obszaru pomiedzy
ich wykresami. Przyk 1.12. Przestrzeń zmiennych losowych lad W rachunku prawdobodobieństwa rozważa sie zbiór X zmiennych
losowych określonych na przestrzeni zdarzeń elementarnych E, w której dane jest prawdopodobieństwo P . W X mamy naturalna relacje rów-
noważnoÅ›ci: f <" g Ô! P ({ x " X : f(x) = g(x) }) = 0.
Relacja ta utożsamia zmienne losowe równe prawie wszedzie, tzn. równe
z prawdopodobieństwem 1. W zbiorze X klas abstrakcji relacji <" wprowadzamy metryke wzorem:
Á([f], [g]) = sup >0 P ({ x " X : |f(x) - g(x)| e" }). Odleg ta szacuje prawdopodobieÅ„stwo zdarzeÅ„, że zmienne losowe lość f, g różnia sie o pewna wielkość dodatnia.
ĆWICZENIA 5 Ćwiczenia (1) Sprawdzić, że normy i metryki opisane przyk w rozdziale 1, ladach rzeczywiście spe warunki definicji normy i M1 M3 definicji lniaja
metryki. (2) Sprawdzić, czy nast¸ ¸ funkcje s¸ metrykami w podanych zbio- epujace a rach: (a) Á (p, q) = min(1, Á(p, q)), gdzie p, q " (X, Á). Á(p,q) (b) Á(p, q) = , gdzie p, q " (X, Á). Ć 1+Á(p,q) 1 1 (c) Á(m, n) = |m - |, m, n " N. n