Mechanika płynów
Równania podstawowe
Dr Tomasz Wajman
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PA

E-mail: [e-mail]
Równania zachowania
Zachowania masy - równanie ciągłości
Zachowania pędu - drugie prawo Newtona
Zachowania krętu (momentu pędu)
Zachowania krętu (momentu pędu)
Zachowania Energii - pierwsza zasada
termodynamiki
Równanie ciągłości  równanie zach. masy
Przepływ niestacjonarny płynów ściśliwych
"Á "Á
r
"m = dt dV = dV dt
+"+"+" +"+"+"
n
"t "t
V V
z
vn
"m = - Á vndt dA = - Á vndA dt
+"+" +"+"
A A
r
V
V
v
v
"Á
"Á
dV + Á vndA = 0
+"+"+" +"+"
dA "t
V A
A
dV
r
"Á r
dV +
+"+"+" +"+"+"" Å"(Á v) dV = 0
y
"t
V V
x
r
"Á r
îÅ‚
r
r
+"+"+"ðÅ‚ "t + " Å"(Á v)Å‚Å‚ dV = 0
ïÅ‚ śł
Twierdzenie Greena
ûÅ‚
+"+"Á vn dA = +"+"+"" Å"(Á v)dV
V
A V
Równanie ciągłości  równanie zach. masy
r
"Á r
îÅ‚
+"+"+"ðÅ‚ "t + " Å"(Á v)Å‚Å‚ dV = 0
Forma caÅ‚kowa ïÅ‚ śł
ûÅ‚
V
Pochodna substancjalna
r
"Á r
r
dÁ "Á r
Forma różniczkowa + " Å"(Á v)= 0
= + v Å""Á
= + v Å""Á
"t
"t
dt "t
dt "t
r
r r r
"Á dÁ r
r r r
= - v Å""Á
" Å"(Á v)= Á " Å"v + v Å""Á
"t dt
r
dÁ r
+ Á " Å"v = 0
dt
Równanie ciągłości  równanie zach. masy
r
"Á r
+ " Å"(Áv)= 0
"t
r
"Á
r
PrzepÅ‚yw stacjonarny = 0 Ò!
" Å"(Áv)= 0
"t
"t
" " "
(Á vx )+ ( )
Á vy + (Á vz ) = 0
"x "y "z
r
r
Á = const. Ò!
Płyn nieściśliwy
" Å"v = 0
"vx "vy "vz
+ + = 0
"x "y "z
Równanie ciągłości  równanie zach. masy
Strumień masy w ustalonym przepływie przez kanał
r
n2
Á1
r
v2
Á2
A2
Á vn dA1 - Á2 vn dA2 = 0
+"+" +"+"
1 2
r
A1 A2
v1
r
n1 A1
&
m = Á1 vn dA1 = Á2 vn dA2
+"+" +"+"
1 2
A1 A2
1
Średnia normalna prędkość vn = &
m = Á1 vn A1 = Á2 vn A2
n
+"+"v dA
1 2
A
A
&
m = Á vn A = const.
&
Á1 = Á2 = Á Ò!
V = vn A = const.
Zasada zachowania pędu
Pochodna pędu płynu zawartego wewnątrz obszaru płynnego V
względem czasu (pochodna substancjalna) jest równa
sumie sił zewnętrznych działających na ten obszar
z
r
r
P =
dA
+"+"+"Á v dV
n
V
r
r
r
v
v
V
- siły masowe
m
+"+"+"
+"+"+"F Á dV
V
A
r
r
- siły powierzchniowe
n pndA
+"+"
dV
A
y
r
pA
r
ëÅ‚ öÅ‚
r r
d
x
ìÅ‚
pndA +
m
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ = +"+" +"+"+"F Á dV
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ V Å‚Å‚ A V
Zasada zachowania pędu
îÅ‚ Å‚Å‚
pxx Äyx Äzx
df
"= ïÅ‚ Äxy pyy Äzy śł
ïÅ‚ śł
r r
ïÅ‚
Äxz Äyz pzz śł
pn = n 
Wektor naprężenia ðÅ‚ ûÅ‚
Tensor naprężeń
powierzchniowych
r
r
Twierdzenie Greena
+"+"n  dA = +"+"+"" Å"  dV
A V
r
ëÅ‚ öÅ‚
d r r
ìÅ‚
pndA +
m
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ = +"+" +"+"+"F Á dV Ò!
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ V Å‚Å‚ A V
r r
ëÅ‚ öÅ‚
d r
ìÅ‚
Forma całkowa
m
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ = +"+"+"" Å"  dV + +"+"+"F Á dV
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ V Å‚Å‚ V V
Zasada zachowania pędu
- płyn nielepki
r
ëÅ‚ öÅ‚
r r
d
PÅ‚yn lepki:
ìÅ‚
pndA +
m
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ = +"+" +"+"+"F Á dV
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ V Å‚Å‚ A V
r r
ëÅ‚ öÅ‚
d r
ìÅ‚
m
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ = +"+"+"" Å"  dV + +"+"+"F Á dV
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ V Å‚Å‚ V V
íÅ‚ V Å‚Å‚ V V
r
ëÅ‚ öÅ‚
r r
d
ìÅ‚
PÅ‚yn nielepki:
m
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ = -+"+"n p dA + +"+"+"F Á dV
ìÅ‚ ÷Å‚
r r
dt
íÅ‚ V Å‚Å‚ A V
pn = -n p
r r
ëÅ‚ öÅ‚
d r
ìÅ‚
m
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ = -+"+"+""p dV + +"+"+"F Á dV
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ V Å‚Å‚ V V
Zasada zachowania pędu
 płyn nielepki
r
ëÅ‚ öÅ‚
r r
d
ìÅ‚
m
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ = -+"+"n p dA + +"+"+"F Á dV
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ V Å‚Å‚ A V
ëÅ‚ öÅ‚
d r " r r
ìÅ‚
Á v vn dA
Ruch nieustalony:
+"+"+" +"+"+" +"+"
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ a" +"+"+"Á v dV + +"+"
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
dt "t
dt "t
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ V Å‚Å‚ V A
ëÅ‚ öÅ‚
d r r
ìÅ‚
Á v vn dA
Ruch ustalony:
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ a" +"+"
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ V Å‚Å‚ A
r
r r
Á v vn dA = pn dA +
m
+"+" +"+" +"+"+"F Á dV
A A V
Zasada zachowania pędu
Sformułowanie d Alamberta - Suma sił bezwładności i sił zewnętrznych,
które działają na element płynu w każdej chwili czasu musi być równa zero.
r r
ëÅ‚ öÅ‚
d r dv
dv
Siła
ìÅ‚
Á dV
Á dV Ò!
+"+"+" +"+"+"Á v dV ÷Å‚ a" +"+"+"
ìÅ‚ ÷Å‚
bezwładności
dt dt
dt
V íÅ‚ V Å‚Å‚ V
r
r
r
r
dv r
dv r
Á dV = pndA +
m
+"+"+" +"+" +"+"+"F Á dV
dt
V A V
PÅ‚yn lepki:
r
r r
dv
Á dV =
m
+"+"+" +"+"+"" Å"  dV + +"+"+"F Á dV
dt
V V V
r
r
dv r
Á dV = -
m
+"+"+" +"+"n p dA + +"+"+"F Á dV
dt
V A V
PÅ‚yn nielepki:
r
r r
dv
Á dV = -
m
+"+"+" +"+"+""p dV + +"+"+"F Á dV
dt
V V V
Zasada zachowania pędu
- forma ró\
niczkowa
r
r r
dv
Á dV =
m
+"+"+" +"+"+"" Å"  dV + +"+"+"F Á dV
dt
V V V
r
r r
dv
ëÅ‚
÷Å‚
+"+"+"íÅ‚ dt
+"+"+"ìÅ‚ dt Á - " Å"  - Fm ÁöÅ‚ dV = 0
íÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚
V
r
r r
dv
Á - " Å"  - Fm Á = 0
dt
r
r r
dv
Á = " Å"  + Á Fm
dt
Zasada zachowania pędu
- forma ró\
niczkowa
PÅ‚yn nielepki
PÅ‚yn lepki
 Równanie Eulera
r
r
r r
r r
dv
dv 1
Á = " Å"  + Á Fm
= - "p + Fm
dt
dt Á
"Ä
Å„Å‚
Å„Å‚
dv "p "Ä
dvx "pxx "Äxy "Äxz
dv "p
dvx "p
Å„Å‚
Å„Å‚Á
+ + + Á X
ôÅ‚Á dt = = - + Á X
ôÅ‚
"x "y "z
dt "x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dvy "Äyx "pyy "Äyz
ôÅ‚Á dvy = - "p
+ + + Á Y
+ Á Y
òÅ‚Á dt =
òÅ‚
"x "y "z
dt "y
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dvz "p
dvz "Äzx "Äzy "pzz
Á = + + + Á Z
ôÅ‚
ôÅ‚Á dt = - + Á Z
"z
dt "x "y "z ół
ół
Zasada zachowania krętu
r
ëÅ‚ öÅ‚
r r
d
r
ìÅ‚
pndA +
m
+"+"+"Á v dV ÷Å‚ = +"+" +"+"+"F Á dV
+"+"+"Á v dV
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
V
íÅ‚ V Å‚Å‚ A V
r
îÅ‚ Å‚Å‚
r r d r r r r r
(r
+"+"+"(r × v) ÁdV
ïÅ‚ śł
+"+"+"(r × v) ÁdV = +"+"(r × pn ) dA + +"+"+"Á × Fm) dV
V
dt
ðÅ‚ V ûÅ‚ A V
r
r
îÅ‚ Å‚Å‚
d r r r dv
SformuÅ‚owanie ëÅ‚ öÅ‚
ïÅ‚ śł
+"+"+"(r × v) ÁdV = +"+"+"ìÅ‚r × ÷Å‚ ÁdV
d Alamberta
dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ V ûÅ‚ V
r
r
r r r r
dv
ÁdV = (r
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"+"ëÅ‚r × öÅ‚ +"+"(r × pn) dA + +"+"+"Á × Fm) dV
dt
íÅ‚ Å‚Å‚
V A V