Rozdzial 3
Normy wektorów i macierzy
W tym rozdziale zakladamy, że
K Ä…" C.
3.1 Ogólna definicja normy
Niech È : Km,n [0, +") bedzie przeksztalceniem spelniajacym warunki:
(i) "A " Km,n È(A) = 0 Ð!Ò! A = 0,
(ii) "A " Km,n "u " K È(u " A) = |u| · È(A),
(iii) "A, B " Km,n È(A + B) d" È(A) + È(B)
(nierówność trójkata albo subaddytywność).
Każde takie przeksztalcenie È nazywamy norma w Km,n i oznaczamy
È(A) = A .
Norma jest miara  wielkości macierzy. Dlatego
A - B
uznajemy za miare odleglości miedzy macierzami A i B.
Powiemy, że norma jest monotoniczna gdy warunek |A| d" |B| (tzn. gdy
|ai,j| d" |bi,j| "i, j) implikuje A d" B . Jeśli norma w Kn,n spelnia
A " B d" A · B , "A, B " Kn,n,
to mówimy, że norma jest submultiplikatywna.
21
22 ROZDZIAL 3. NORMY WEKTORÓW I MACIERZY
3.2 Normy wektorów
3.2.1 Normy p-te
Wektory w Kn sa szczególnymi macierzami. W tym przypadku, ważnymi
przykladami norm sa normy Schura, zdefiniowane dla danej p, 1 d" p d" ",
jako
1/p
n
x = |xi|p dla 1 d" p < ",
p
i=1
x = max |xi|.
"
1d"id"n
Nietrudno zauważyć, że x = limp" x , "x " Kn.
" p
Warunki (i) i (ii) normy sa trywialnie spelnione przez normy Schura.
Warunek (iii) latwo sprawdzić dla p = 1, ". Dla p = 1 mamy bowiem
n n n
x + y = |xi + yi| d" |xi| + |yi| = x + y ,
1 1 1
i=1 i=1 i=1
a dla p = "
x + y = max |xi + yi| d" max |xi| + max |yi| = x + y .
1 " "
1d"id"n 1d"id"n 1d"id"n
(W obu przypadkach zastosowaliśmy nierówność trójkata |u + v| d" |u| + |v|
dla liczb zespolonych u i v.) Dla innych wartości p warunek (iii) jest dużo
trudniej pokazać. Dlatego ograniczymy sie tu jedynie do przypadku p = 2.
Lemat 3.1 (Nierówność Schwarza)
Dla dowolnych u, v " Kn mamy
|uH " v| d" u · v .
2 2
Dowód. Dla t " K mamy
2
0 d" u + v " t = (u + v " t)H · (u + v " t)
2
Å»· Å»
= uH " u + t t " vH " v + uH " v " t + vH " u " t
2 2
= u + |t|2 · v + |t| · |uH " v| · É(Õ+È) + É-(Õ+È) ,
2 2
gdzie t = |t| · ÉÈ, uH " v = |uH " v| · ÉÕ, É = cos 1 + 1
· sin 1.
3.2. NORMY WEKTORÓW 23
Biorac teraz È = -Õ mamy
2 2
0 d" u + 2|t| · |uH " v| + |t|2 · v ,
2 2
a biorac È = Ä„ - Õ mamy
2 2
0 d" u - 2|t| · |uH " v| + |t|2 · v .
2 2
Stad dla dowolnej Ä " R otrzymujemy
2 2
0 d" u + 2Ä|uH " v| + Ä2 v .
2 2
Ponieważ prawa strona ostatniej nierównoÅ›ci jest, jako funkcja Ä, trójmianem
kwadratowym o wartościach nieujemnych, to
2 2
0 e" " = 4 |u " v|2 - u · v ,
2 2
co implikuje |uH " v| d" u · v i koÅ„czy dowód.
2 2
Na podstawie nierówności Schwarza mamy teraz
2 2 2
u + v = u + v + uH " v + vH " u
2 2 2
2 2
= u + v + 2 (uH " v)
2 2
2 2
d" u + v + 2|uH " v|
2 2
2 2
d" u + v + 2 u v
2 2
2 2
= ( u + v )2 ,
2 2
czyli nierówność trójkata dla · .
2
3.2.2 Pożyteczne (nie)równości
Nietrudno pokazać nastepujace nierówności laczace normy p-te Schura dla
p = 1, 2, ". Mianowicie, dla każdego u " Kn mamy
u d" u d" n · u ,
" 1 "
"
u d" u d" n · u ,
" 2 "
"
u d" u d" n · u ,
2 1 2
24 ROZDZIAL 3. NORMY WEKTORÓW I MACIERZY
przy czym ostatnia z tych nierówności jest konsekwencja nierówności Schwa-
rza,
1/2 1/2
n n n n
"
u = |ui| = |ui| · |1| d" |ui|2 12 = n · u .
1 2
i=1 i=1 i=1 i=1
Dodatkowo zauważamy, że nierówności tych nie można poprawić. Na przy-
klad, dla pierwszego wersora e1 mamy e1 = 1 "p, a dla 1 = [1, 1, . . . , 1] "
p
"
Kn mamy 1 = n 1 = n 1 .
1 2 "
Kula jednostkowa w Kn (ze wzgledu na norme · ) nazywamy zbiór
wektorów
K = { u " Kn : u d" 1} .
Z podanych powyżej nierówności wynika w szczególności, że
K1 ‚" K2 ‚" K",
gdzie Kp jest kula jednostkowa w normie p-tej Schura.
Zauważmy jeszcze, że normy p-te sa monotoniczne oraz, że dla dowolnej
macierzy permutacji P " Kn,n i wektora x " Kn
P " x = x ,
p p
tzn. norma p-ta wektora jest niezmiennicza ze wzgledu na przestawienia
kolejności jego wspólrzednych.
3.3 Normy macierzy
3.3.1 Normy p-te
Normy p-te macierzy sa definiowane (indukowane) przez normy p-te wek-
torów w nastepujacy sposób:
A " x p
A = sup
p
x
0 =x"Kn p
= sup { A " x : x " Kn, x = 1} .
p p
Zauważmy, że używamy tego samego oznaczenia dla norm wektora jak i ma-
cierzy. Jest to uzasadnione, gdyż norma p-ta macierzy jest uogólnieniem
3.3. NORMY MACIERZY 25
normy p-tej wektora. Dla A = [u1, . . . , um]T " Km,1 = Km mamy bowiem
m
A = sup|t|=1 A " t = ( |ui|p)1/p. (Tutaj t " K!)
p p
i=1
Wprost z definicji wynika, że normy indukowane macierzy spelniaja wa-
runek zgodności (z norma wektorowa), tzn.
"A " Km,n "x " Kn A " x d" A · x .
p p p
Normy te sa również submultiplikatywne,
"A " Km,l "B " Kl,n A " B d" A · B .
p p p
Rzeczywiście, dla x " Kl mamy
(A " B) " x = A " (B " x) d" A · B " x p
p p p
d" A · B · x ,
p p p
skad
(A " B) " x p
sup d" A · B .
p p
x p
x = 0
Dla macierzy permutacji P " Km,m i Q " Kn,n mamy
P " A " QT = A ,
p p
co oznacza, że przestawienie kolumn i wierszy macierzy nie zmienia jej p-
tej normy. Rzeczywiście, ponieważ przestawienie wspólrzednych nie zmienia
normy p-tej wektora, mamy
P " A " QT " x p A " QT " x p A " y p
sup = sup = .
x p QT " x p y = 0 y p
x = 0 x = 0
3.3.2 Pożyteczne (nie)równości
Dla niektórych p, norme można wyrazić w sposób pozwalajacy ja latwo ob-
liczyć.
Lemat 3.2 Dla dowolnej macierzy A = (ai,j) " Km,n
(a) A = max1d"id"m n |ai,j|,
"
j=1
(b) A = max1d"jd"n m |ai,j|.
1
i=1
26 ROZDZIAL 3. NORMY WEKTORÓW I MACIERZY
Dowód. (a) Dla x = [x1, . . . , xn]T " Kn mamy
n n
A " x = max ai,j · xj d" max |ai,j| · |xj|
"
1d"id"m 1d"id"m
j=1 j=1
ëÅ‚ öÅ‚
n
íÅ‚
d" x · max |ai,j|Å‚Å‚ .
"
1d"id"m
j=1
j
Z drugiej strony, wez
my x" = (x") taki, że x" = É-Õ , 1 d" j d" n, gdzie Õj
j j
j
jest argumentem liczby as,j, tzn. as,j = |as,j|ÉÕ , a s jest tym indeksem i,
n
dla którego suma |ai,j| jest najwieksza. Wtedy x" = 1 oraz
"
j=1
n n n
j j
A " x" e" as,j · x" = |as,j|ÉÕ É-Õ = |as,j|,
"
j
j=1 j=1 j=1
a stad A e" max1d"id"m n |ai,j|.
"
j=1
(b) Dla dowolnego x mamy
m n m n
A " x = ai,j · xj d" |ai,j| · |xj|
1
i=1 j=1 i=1 j=1
n m m
= |xj| · |ai,j| d" max |ai,j| · x .
1
1d"jd"n
j=1 i=1 i=1
Z drugiej strony, dla x" takiego, że x" = 0 dla j = s, x" = 1 dla j = s, gdzie

j j
m
s jest tym indeksem j dla którego suma |ai,j| jest najwieksza, mamy
i=1
m
x" = 1 oraz A " x = |ai,s|, a stad A e" max1d"jd"n m |ai,j|.
1 1 1
i=1 i=1
Z powyższego lematu latwo widać, że
AT = AH = A ,
" " 1
AT = AH = A .
1 1 "
Szczególna role odgrywa norma druga · , ze wzgledów, które beda jasne
2
póz
niej. Niestety, nie wyraża sie ona w tak prosty sposób jak · i · .
1 "
W odróżnieniu od tych ostatnich, norma druga ma jednak dodatkowa ważna
wlasność; mianowicie, dla dowolnej A " Km,n
AT = AH = A .
2 2 2
3.3. NORMY MACIERZY 27
Równość ta wynika bezpośrednio z faktu, że
A = sup sup yH " A " z ,
2
z y
gdzie suprema wziete sa po z " Kn i y " Km takich, że z = 1 = y .
2 2
Rzeczywiście, dla dowolnych y i z o jednostkowych normach mamy
|yH " A " z| d" y · A " z = A " z d" A ,
2 2 2 2
przy czym w pierwszej nierówności zastosowaliśmy nierówność Schwarza. Z
drugiej strony, dla z o jednostkowej normie i takiego, że A " z = 0 mamy

2
A " z (A " z)H " A " z
2
A " z = = d" sup yH " A " z ,
2
A " z 2 A " z 2
y =1
2
gdzie podstawiliśmy y = A " z/ A " z .
2
3.3.3 Norma Frobeniusa
Norme Frobeniusa (albo Euklidesowa) macierzy A " Km,n definiujemy jako
ëÅ‚ öÅ‚1/2
m n
íÅ‚
A = |ai,j|2Å‚Å‚ .
F
i=1 j=1
Zaleta normy · jest jej latwa  obliczalność , natomiast wada, że nie jest
F
to norma indukowana przez żadna norme wektorowa.
Zwiazek miedzy norma Frobeniusa i norma druga pokazuje nastepujacy
lemat.
Lemat 3.3 Dla dowolnej A " Km,n mamy
A d" A d" min(m, n) · A .
2 F 2
Dowód. Wykorzystujac nierówność Schwarza, dla dowolnego x " Kn o
jednostkowej normie drugiej mamy
ëÅ‚ öÅ‚2
2
m n m n
2
íÅ‚
A " x = ai,j · xj d" |ai,j| · |xj|Å‚Å‚
2
i=1 j=1 i=1 j=1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
m n n
íÅ‚
d" |ai,j|2Å‚Å‚ íÅ‚ |xj|2Å‚Å‚ = A ,
F
i=1 j=1 j=1
28 ROZDZIAL 3. NORMY WEKTORÓW I MACIERZY
a stad A d" A .
2 F
Z drugiej strony, przedstawiajac A jako
A = [a1, a2, . . . , an] , aj " Km,
mamy A e" A " ej = aj , gdzie ej jest j-tym wersorem. Stad
2 2 2
n
1 1
2 2 2
A e" · aj = · A ,
2 2 F
n n
j=1
"
czyli A d" n · A . Ale również
F 2
" "
A = AT d" m · AT = m · A ,
F F 2 2
co kończy dowód.
Zauważymy jeszcze jedna wlasność norm p-tych macierzy. Niech macierz
A bedzie dana w postaci blokowej,
A = [A1, A2, . . . , As] .
Wtedy
s
Ak = sup Ak " xk = sup Aj " xj
p p
xk =1
p xk =1,xj= 0,j=k j=1

p
p
d" sup A " x = A .
p p
x =1
p
Podobnie, jeśli
îÅ‚ Å‚Å‚
A1
ïÅ‚ śł
A2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A =
.
ïÅ‚ śł
.
ðÅ‚ ûÅ‚
.
At
to
t
p p
Ak = sup Ak " x d" sup Aj " x p
p p p
x =1 x =1
p p
j=1
p p
= sup A " x = A .
p p
x =1
p
Stad dostajemy wniosek, że jeśli A jest w postaci blokowej to dla każdego
bloku Ai,j mamy
Ai,j d" A , 1 d" p d" ".
p p
Oczywiście, ta wlasność zachodzi również dla normy Frobeniusa.