Egzamin poprawkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)
0 1
x
dx e
a) b) dx
1 + ctg x x3
-1

[2p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę tgnx dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [8p.] a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach
"
3
y = e3x, y = e-2x i y = e
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Korzystając z własności całek z funkcji nieparzystej lub parzystej uzasadnić równość
Ą Ą
x sin x dx x sin x dx
= 2
1 + cos2 x 1 + cos2 x
-Ą 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [8p.] a) Sprawdzić, czy funkcja u = e3x+4y sin(5z) spełnia równanie
uxx + uyy + uzz = 0
[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną funkcji dwóch zmiennych obliczyć przybliżoną wartość
wyrażenia
(0, 97)1,05 + (1, 05)0,97
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x4 + y3 + 32x - 9y.
x y
[2p.] b) Obliczyć lub pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) = sin w punkcie (0, 0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .y. . . . .x. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
5. [8p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = -3 - x2 + y2, x2 + y2 = 2y
i płaszczyzną z = 0. Wykonać rysunek opisanej bryły.
[2p.] b) Wyprowadzić wzory na współrzędne biegunowe.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć całkę

y2zdxdydz
V
gdzie obszar V ograniczony jest płaszczyznami 3x + z = 3, 2x + y = 2 i płaszczyznami układu
współrzędnych. Wykonać rysunek obszaru V .