14. Zasady zachowania dla punktu i układu
punktów materialnych:
pędu, krętu, energii, zasada d Alemberta.
r r
pęd (ilość ruchu) punktu materialnego
p = mÅ
z
pochodna względem czasu pędu
r
r
d(mÅ)
równa jest sile działającej na
Å = F
Å
Å
Å
m
dt
dany punkt
F
y
O
przyrost pędu równy jest
t2
r
x
v v
m(Å2 -Å1)= Fdt
impulsowi (popędowi) siły
+"
t1
działającej na ten punkt
Jeśli na punkt materialny nie działa żadna siła (lub działają siły
równoważące się) to jego pęd pozostaje stały.
r
r r
kręt (moment pędu) punktu materialnego
KO = r × mÅ
r
r r
z r r
r r r
dKO dr d(mÅ)
= × mÅ + r × = r × F = MO
dt dt dt
Å
Å
Å
Å
m
pochodna względem czasu krętu KO punktu
F
r
materialnego względem nieruchomego biegu-
na O równa jest momentowi MO względem
y
O
x
tegoż bieguna siły zewnętrznej F działającej
na dany punkt
Jeżeli moment względem wybranego nieruchomego
bieguna O wypadkowej sił działających na punkt
materialny równy jest zeru, wówczas kręt punktu
wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały
KO=const
1
2
mÅ
Ek = energia kinetyczna
2
Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym
przedziale czasu równy jest sumie prac, które wykonały w tym
samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt
( (
"Ek = Ek2) - Ek1) = W1,2
W zachowawczym (potencjalnym) polu sił praca sił pola
równa jest różnicy energii potencjalnych
W1,2 = E(1) - E(2)
p p
Gdy punkt materialny porusza siÄ™ w
( (
Ek1) + E(1) = Ek2) + E(2)
p p
zachowawczym polu sił, suma jego
energii kinetycznej i potencjalnej,
(1 (2)
Em) = Em
zwana energią mechaniczną, jest stała.
Jeśli na punkt działają siły niezachowawcze (niepotencjalne) to
przyrost energii mechanicznej punktu równy jest pracy tych sił
(2) (1
Em - Em) = W
2
Układ punktów materialnych
n
r r
z
p = Åi pÄ™d ukÅ‚adu punktów materialnych
"m
i
i=1
Åi m1 Å1
Å Å
Å Å
Å Å
mi
F1
pochodna względem czasu pędu
r
układu punktów materialnych
Fi
n r
dp
y
O
= Fi
" równa jest sumie wszystkich sił
x
dt
mn i=1
zewnętrznych działających na
Ån Fn
Å
Å
Å
punkty tego układu
ZASADA ZACHOWANIA P
DU
Jeśli na układ punktów materialnych nie działają siły
zewnętrzne, to pęd układu pozostaje stały.
r n
r r
KO = × miÅi
"r kręt układu punktów materialnych
i
i=1
z
pochodna względem czasu
Åi m1 Å1
Å Å
Å Å
Å Å
krętu układu punktów
mi r1 F1
materialnych względem
r
ri
r
dKO n r
= × Fi
Fi "r dowolnego nieruchomego
i
dt
y bieguna równa jest sumie
O i=1
x
rn mn
momentów wszystkich sił
zewnętrznych względem
Ån Fn
Å
Å
Å
tegoż bieguna
ZASADA ZACHOWANIA KR
TU
Jeżeli momenty wszystkich sił zewnętrznych układu punktów
materialnych względem nieruchomego bieguna są równe zeru,
to kręt układu względem tego bieguna pozostaje stały.
3
Zadanie 1/14
CzÅ‚owiek o masie m siedzi na wózku o masie M1 poruszajÄ…cym siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å1. W
pewnej chwili przeskakuje na wózek o masie M2 poruszajÄ…cy siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å2 odbijajÄ…c
siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å wzglÄ™dem pierwszego wózka. Obliczyć prÄ™dkoÅ›ci wózków po
przeskoczeniu człowieka. Opory toczenia się wózków pominąć.
m
Å1 Å2
M2
M1
Zadanie 2/14
m
Klocek o masie m ustawiono na równi
nachylonej pod kątem ą i pchnięto z
wysokoÅ›ci h z prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å0. JakÄ…
h
odległość l przebędzie klocek po
Ä…
poziomym odcinku toru do chwili
zatrzymania się, jeśli współczynnik
l
tarcia o podÅ‚oże wynosi µ?.
Zadanie 3/14
W górÄ™ równi nachylonej pod kÄ…tem Ä… pchniÄ™to klocek z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowÄ… Å0. JakÄ…
drogę przebędzie on do chwili zatrzymania się i z jaką prędkością powróci do miejsca, z
którego zostaÅ‚ wypchniÄ™ty, jeÅ›li współczynnik tarcia o równiÄ™ wynosi µ? Przeprowadzić
dyskusjÄ™ rozwiÄ…zania.
m
Zadanie 4/14
Klocek o masie m zsuwa się bez prędkości
Ä…
l
początkowej wzdłuż równi nachylonej pod
kÄ…tem Ä… przebywajÄ…c drogÄ™ l do chwili
uderzenia w sprężynę o sztywności k. Jaką
drogę l1 przebędzie klocek po odbiciu się
od sprężyny, jeśli współczynnik tarcia o
l1
równiÄ™ wynosi µ? MasÄ™ sprężyny pominąć.
k
Przeprowadzić dyskusję wyniku.
4
m
Zadanie 5/14
A
Z wierzchołka gładkiej półkuli o promieniu r zsuwa
Ä…0
r
się z pomijalnie małą prędkością początkową punkt
materialny o masie m. Znalez
ć kąt ą0 określający
położenie punktu, w którym oderwie się on od
powierzchni półkuli.
Zadanie 6/14
A
Ciężar o masie m może ślizgać się po pionowym pręcie AB, którego
sztywność na rozciąganie równa jest k1.Koniec B pręta opiera się o
m
śrubową sprężynę o sztywności k2. Obliczyć największe wydłużenie
pręta h przy spadku ciężaru z wysokości H bez prędkości
początkowej. Masę pręta i sprężyny pominąć.
k1 H
B
Zadanie 7/14
k2
Na końcu nie odkształconej nici o sztywności c, która może przenieść
maksymalną siłę Q, zaczepiono ciężar o masie m i puszczono bez
prędkości początkowej. Jaka jest minimalna wartość m, przy której
nić zerwie się i jaka będzie prędkość ciężaru w chwili zerwania nici?
Zadanie 8/14
Å0
Skoczek o masie m odbija siÄ™ od Å‚awki z
prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å0 i zjeżdża ze skoczni o
wysokości h. Obliczyć reakcję podłoża na
h
Á
narty w punkcie A jeśli promień krzywizny
toru w tym miejscu wynosi Á. Tarcie i opór
powietrza pominąć.
A
Zadanie 9/14
W celu pomiaru prędkości Špocisku l
Ä…
karabinowego o masie m oddano strzał w
tzw. wahadło balistyczne, które odchyliło
Å
się od pionu o kąt ą Obliczyć prędkość
pocisku, jeśli wiadomo, że masa wahadła
m M
równa jest M, zaś jego długość wynosi l.
5
Zadanie 10/14
Sprężynę o sztywności k i długości swobodnej A
l zamocowano w punkcie A i połączono z
tuleją B mogącą ślizgać się bez tarcia po
k
l
poziomej prowadnicy. TulejÄ™ wychylono do
punktu C i puszczono bez prędkości
B
C
D
poczÄ…tkowej. Jaka bÄ™dzie jej prÄ™dkość ÅD przy
przejściu przez punkt D? Dany jest wymiar a
m
a
oraz masa tulei równa m.
Zadanie 11/14
Z jakiej wysokości h należy puścić bez
prędkości początkowej punkt materialny,
aby:
r
a) nie oderwał się od toru w najwyższym
h
punkcie pętli o promieniu r,
O
b) oderwał się od pętli i przeszedł dokładnie
przez jej środek O.
Opory ruchu pominąć.
Å1
Zadanie 12/14
m1 m1 m2
Punkt materialny o masie m1 przywiÄ…zany do
S1
Å2
nierozciągliwej, nieważkiej nici porusza się po
S2
okręgu w płaszczyz
nie poziomej. W pewnej
chwili punkt ten zderza siÄ™ i skleja z punktem
o masie m2, który przed zderzeniem był
r
nieruchomy. Obliczyć, w jakim stosunku
zmieniło się napięcie nici.
Zadanie 13/14
Kulka o masie m przywiÄ…zana do
nierozciÄ…gliwej nici porusza siÄ™ po
y
gładkiej, poziomej płaszczyz
nie. Drugi
m
koniec nici wciÄ…gany jest do otworu w
płaszczyz
nie ze stałą prędkością u.
Õ(t)
Å0
u
Wyznaczyć równanie ruchu kulki Õ(t)
x
jeżeli w chwili początkowej odległość
R
kulki od otworu równa była R, zaś rzut jej
prÄ™dkoÅ›ci na kierunek transwersalny Å0.
u
6