Funkcje Analityczne II
Literatura Pomocnicza:
1. J.Chądzyński, Wstęp do Analizy Zespolonej, PWN
2. A.Birkholc, Analiza Matematyczna, Funkcje Wielu Zmiennych, PWN
3. F.Leja, Funkcje Zespolone, PWN
4. W.Rudin, Analiza Rzeczywista i Zespolona, PWN
1 Podstawowe terminy
Å»
Definicja. C = C *" {"} - płaszczyzna domknięta lub sfera Riemanna.
Zbiór C nazywamy czasem płaszczyzną otwartą.
Fakt 1.1 Jeżeli z1, z2 " C, to odległość pomiędzy odpowiadającymi im
punktami na sferze wynosi
|z1 - z2|
d(z1, z2) = .
1 + |z1|2 · 1 + |z2|2
Odległość na sferze pomiędzy punktem odpowiadającym z " C oraz
punktem w nieskończoności " wynosi
1
d(z, ") = .
1 + |z|2
Ponadto zawsze d(z1, z2) d" 1, oraz d(z, ") d" 1.
Fakt 1.2 Niech (zn) ‚" C.
(i) Jeżeli z " C, to
Å»
zn z w C Ô! zn z w C,
Å»
(ii) zn " w C Ô! |zn| ".
Å»
Definicja. Zbiory otwarte i spójne w C nazywamy obszarami.
1
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 2
Å»
Fakt 1.3 Jeżeli U ‚" C jest obszarem oraz z " U, to U \ {z} jest
obszarem.
Å»
Definicja. Niech A ‚" C. Zbiór spójny S ‚" A jest skÅ‚adowÄ… zbioru A,
gdy każdy zbiór spójny zawierający S i zawarty w A jest równy zbiorowi
S.
Å» Å»
Zbiór B ‚" C nie rozcina pÅ‚aszczyzny, gdy C \ B jest spójny.
Fakt 1.4 Obszar jest jednospójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest obszarem
który nie rozcina płaszczyzny.
Przykłady.
Å»
" ", C, D(z0, r), C nie rozcinają płaszczyzny
" Pierścień P (z0; r, R) = {z " C | r < |z - z0| < R}, gdzie 0 d" r <
R, rozcina płaszczyznę
" D(0, 100) \ (D(4, 1) *" D(-4, 1)) rozcina płaszczyznę
Å»
Twierdzenie 1.5 Niech U ‚" C bÄ™dzie niepustym wÅ‚aÅ›ciwym zbiorem
otwartym. Następujące warunki są równoważne:
(i) U nie rozcina płaszczyzny,
(ii) każda składowa U jest jednospójnym obszarem,
(iii) każda składowa U jest homeomorficzna z kołem jednostkowym,
Å»
(iv) każda składowa U ma w C spójny brzeg,
(v) jeżeli U ‚" C, to dla każdej zamkniÄ™tej drogi Å‚ zawartej w U oraz
każdego a " C \ U, Indł(a) = 0.
Definicja. Niech f " H(U), i niech z0 " C.
" Jeżeli z0 " U, to z0 nazywamy punktem regularnym funkcji f(z).
" Jeżeli z0 " U oraz D (z0, r) ‚" U dla pewnego r > 0, to z0 nazy-
wamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji f(z). Wtedy
"

f(z) = cj(z - z0)j dla z " D (z0, r).
j=-"
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 3
"
" Szereg cj(z - z0)j jest zbieżny w D(z0, r), i nosi nazw¸ cz¸
e eści
j=0
regularnej funkcji f(z) w punkcie z0.
"
" Szereg c-j(z - z0)-j jest zbieżny dla z = z0, i nosi nazw¸
e
j=1
cz¸ osobliwej funkcji f(z) w punkcie z0.
eści
Przykład. Dla f = cos(z) + sin(1/z), z0 = Ą jest punktem regular-
nym, z0 = 0 jest punktem osobliwym odosobnionym.
" Jeżeli c-1 = c-2 = · · · = 0 to mówimy, że z0 jest punktem pozornie
osobliwym, lub że f(z) ma w z0 osobliwość usuwaln¸
a.
Przykład. Funkcja sin(z)/z, która jest holomorficzna na C \ {0}, ma
w z0 = 0 osobliwość usuwaln¸
a.
" Jeżeli c-m = 0 oraz c-m-1 = c-m-2 = · · · = 0, to z0 nazywamy

biegunem m krotnym lub biegunem rz¸ m.
edu
" Jeżeli cz¸ osobliwa zawiera nieskoÅ„czenie wiele wyrazów, to z0
eść
nazywamy punktem istotnie osobliwym funkcji f(z).
Przykład.
cos z 1 1 1 1
f(z) = = - + z2 - z4 - · · ·
z2 z2 2! 4! 6!
ma 2-krotny biegun w z0 = 0.
1 1 1 1
f(z) = sin = - + - · · ·
z z 3! z3 5! z5
ma punkt istotnie osobliwy w z0 = 0.
Definicja. Funkcja f jest meromorficzna w punkcie z0 " C, jeżeli z0
jest punktem regularnym, pozornie osobliwym lub biegunem funkcji f.
Krotnością (rzędem) funkcji meromorficznej f w punkcie z0 (niezero-
wej w pewnym sąsiedztwie punktu z0) nazywamy taką liczbę całkowitą
m, że
"

f(z) = aj(z - z0)j , am = 0

j=m
w sÄ…siedztwie punktu z0.
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 4
Fakt 1.6 Funkcja f (niezerowa w pewnym sÄ…siedztwie punktu z0) jest
meromorficzna w punkcie z0 i ma krotność m wtedy i tylko wtedy, gdy
f(z) = (z - z0)mg(z) ,
gdzie g jest holomorficzna w pewnym sÄ…siedztwie punktu z0 oraz g(z0) =

0.
Fakt 1.7 Jeżeli f jest meromorficzna i niezerowa w pewnym sąsiedztwie
kołowym punktu z0, to 1/f też jest meromorficzna w punkcie z0.
Fakt 1.8 Jeżeli punkt z0 jest punktem regularnym, to jest on m-krotnym
zerem funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy z0 jest m-krotnym biegunem
funkcji 1/f.
Jeżeli z0 jest m-krotnym biegunem funkcji f, to 1/f można przedłu-
żyć do funkcji mającej w z0 m-krotne zero.
Twierdzenie 1.9 (Casorati-Weierstrass) Załóżmy, ze z0 jest punk-
tem istotnie osobliwym funkcji f. Wtedy zbiór wartości przyjmowanych
przez f w dowolnym sąsiedztwie kołowym punktu z0 jest gęsty w C, tzn.
" r > 0 " µ > 0 "w " C " z " D (z0, r) : |f(z) - w| < µ .
Wniosek 1.10 Jeżeli z0 jest punktem istotnie osobliwym funkcji f, to
funkcja f nie ma granicy w z0.
Jeżeli z0 jest pozornie osobliwy, to istnieje limzz f(z) " C.
0
Jeżeli z0 jest biegunem, to limzz f(z) = ".
0
Definicja. Funkcja f jest meromorficzna na zbiorze otwartym U ‚" C,
jeżeli każdy punkt z U jest punktem regularnym, pozornie osobliwym,
lub biegunem funkcji f. (Więc f może nie być określona na całym
zbiorze U.) Piszemy wtedy f " M(U).
Przykład.
sin z
f(z) =
z(z - 1)
jest meromorficzna na C.
Definicja. Niech A ‚" C bÄ™dzie dowolnym podzbiorem. Powiemy, że
funkcja f jest meromorficzna na A, jeżeli istnieje otwarty zbiór U ƒ" A
oraz F " M(U) taka, że F |A = f.
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 5
M(U) ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia, jest pier-
Å›cieniem i C-algebrÄ… (tzn. dla f, g " M(U), Ä…, ² " C: Ä…f + ²g "
M(U), f · g " M(U)).
Ćwiczenie 1.11 Jeżeli f " M(U) nie znika tożsamościowo na żadnej
składowej U, to 1/f " M(U).
Więc jeżeli U jest obszarem, to M(U) jest ciałem.
Ćwiczenie 1.12 Jeżeli U jest obszarem oraz f " M(U) przyjmuje war-
tość zero na ciągu punktów mającym granicę należącą do U, to f jest
wszędzie równa zero na U.
Ćwiczenie 1.13 (Twierdzenie o identyczności) Jeżeli U jest obsza-
rem oraz f, g " M(U) przyjmują te same wartości na ciągu punktów
mającym granicę należącą do U, to f a" g na U.
2 Gałąz
argumentu i logarytmu funkcji
Następujące warunki są równoważne:
" A " R jest argumentem liczby z = 0

" z = (cos A + i sin A)|z|
" z/|z| = cos A + i sin A
" z/|z| = ei A
Definicja. Niech U ‚" C, oraz niech f : U C\{0} bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a. Ga-
łęzią argumentu funkcji f na zbiorze U nazywamy każdą funkcję ciągłą
A : U R taką, że
f(z)
ei A(z) a" .
|f(z)|
Fakt 2.1 Jeżeli A = A(z) jest gałęzią argumentu, to
L(z) = ln |f(z)| + i A(z)
jest gałęzią logarytmu funkcji f na zbiorze U, tzn. jest taką funkcją
ciągłą L : U C, że
eL(z) a" f(z) .
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 6
Ćwiczenie 2.2 Jeżeli L = L(z) jest gałęzią logarytmu funkcji f, to
A(z) = Im L(z) jest gałęzią argumentu tej funkcji.
Fakt 2.3 Dwie gałęzie argumentu (odp. logarytmu) funkcji f na zbiorze
spójnym U różnią się o całkowitą wielokrotność 2Ą (odp. 2Ą i).
f
Lemat 2.4 Jeżeli f jest holomorficzna oraz ma holomorficzną funk-
f
cję pierwotną, to w U istnieje gałąz
logarytmu funkcji f będąca funkcją
holomorficznÄ….
Twierdzenie 2.5 Jeżeli f jest funkcją holomorficzną w jednospójnym
obszarze U nie przyjmującą nigdzie wartości zero, to w U istnieje gałąz

logarytmu f będąca funkcją holomorficzną.
Wniosek 2.6 W tym przypadku każda gałąz
logarytmu jest holomor-
ficzna.
Fakt 2.7 W zbiorze otwartym jednospójnym U ‚" C \ {0} istnieje L(z)
1
- gałąz
logarytmu funkcji z. Ponadto L (z) = .
z
(Jeżeli U nie jest jednospójny, ale żadna droga zamknięta zawarta w
U nie nawija się wokół zera, to teza też jest spełniona.)
Twierdzenie 2.8 Jeżeli f jest funkcją holomorficzną w jednospójnym
obszarze U nie przyjmującą nigdzie wartości zero, to dla dowolnej liczby
"
k
naturalnej k w zbiorze U istnieje gałąz
k-tego pierwiastka f będąca
funkcją holomorficzną, tzn. istnieje taka funkcja p(z) " H(U), że
[p(z)]k a" f(z) .
f (z)
1
Wtedy p (z) = p(z).
k f(z)
3 Homografie
Definicja. Jeżeli a, b, c, d " C oraz ad - bc = 0, to funkcję

az + b
h(z) =
cz + d
nazywamy homografiÄ….
Jeżeli c = 0, wtedy a = 0, d = 0 oraz

a
b
h(z) = z +
d d
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 7
jest przekształceniem liniowym. Jeżeli dodatkowo założymy, że h(") =
Å» Å»
", to zdefiniujemy przekształcenie h : C C.
Jeżeli c = 0 oraz dodatkowo założymy, że


d a
h - = ", h(") = ,
c c
Å» Å»
to również h : C C.
Å» Å»
W obu przypadkach homografia definiuje przekształcenie C C.
Ćwiczenie 3.1 Każda homografia jest homeomorfizmem (i dyffeomor-
Å» Å»
fizmem) C C.
Fakt 3.2 Każde przekształcenie liniowe h(z) = az + c jest złożeniem
jednokładności, obrotu, i przesunięcia.
1
Definicja. Przekształcenie h(z) = nazywamy inwersją.
z
Twierdzenie 3.3 Każda homografia jest złożeniem skończonej ilości
przekształceń liniowych i inwersji.
Lemat 3.4 Jeżeli B = b1 + i b2, z = x + i y, to
Å»
Bz + Bz = 2 b1x - 2 b2y.
Å»
Lemat 3.5 Jeżeli A " R, to Azz = A(x2 + y2).
Å»
Twierdzenie 3.6 Jeżeli A, C " R, B " C oraz |B|2 - AC > 0, to
Å»
Azz + Bz + Bz + C = 0
Å» Å»
jest ogólnym równaniem prostej, gdy A = 0, lub okręgu gdy A = 0.

Å»
Definicja. Okręgiem uogólnionym w C nazywamy każdy okrąg w C,
lub prostą w C z dołączonym punktem ".
Twierdzenie 3.7 Homografia przekształca okrąg uogólniony na okrąg
uogólniony.
1
Fakt 3.8 Inwersja w = jest wzajemnie jednoznacznym przekształ-
z
1
Å» Å»
ceniem C C. Odwzorowaniem odwrotnym do inwersji w = jest
z
1
inwersja z = .
w
Więc każda homografia jest wzajemnie jednoznacznym przekształce-
Å» Å»
niem C C, odwzorowanie odwrotne do homografii jest też homografią
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 8
4 Twierdzenie Rouchégo
Lemat 4.1 Niech f będzie funkcją meromorficzną w obszarze U. Jeżeli
f a" 0, to f /f jest meromorficzna i ma jednokrotne bieguny dokładnie
w tych punktach, które są zerami lub biegunami funkcji f.
W każdym z tych punktów resz f jest równe krotności funkcji f w
0
f
punkcie z0.
Niech &! ‚" C bÄ™dzie takim zbiorem zwartym, że "&! jest skoÅ„czonÄ…
sumą rozłącznych dróg Jordana.
Załóżmy, że f jest funkcją meromorficzną na &! nie mającą zer ani
biegunów na "&!.
Ćwiczenie 4.2 Zbiór zer i biegunów należących do &! jest skończony.
Lemat 4.3 Niech M będzie sumą krotności zer funkcji f (tylko tych
należących do &!), a N sumą krotności biegunów.
Wtedy

1 f (z) dz
= M - N .
2Ä„i f(z)
"&!
Twierdzenie 4.4 (Rouché) Jeżeli f, g " H(&!) oraz
|g(z)| < |f(z)| dla z " "&! ,
to funkcja f ma skończoną ilość zer w &! \ "&! oraz suma f + g ma w
&! \ "&! tyle samo zer co funkcja f, z uwzględnieniem ich krotności.
Twierdzenie 4.5 (Zasada argumentu) Niech &! ‚" C bÄ™dzie takim
zbiorem zwartym, że "&! jest skończoną sumą rozłącznych dróg Jordana
Å‚1 + · · · + Å‚s.
Załóżmy, że f jest funkcją meromorficzną na &! nie mającą zer ani
biegunów na "&!. Zbiór zer i biegunów należących do &! jest skończony.
Niech M będzie sumą krotności zer funkcji f (tylko tych należących do
&!), a N sumą krotności biegunów.
"
Wtedy ²k = f ć% Å‚k, dla 1 d" k d" s, sÄ… takimi drogami, że 0 " ²k,
wiÄ™c indeks Ind² (0) punktu 0 wzglÄ™dem drogi ²k jest dobrze okreÅ›lony.
k
Ponadto
s

M - N = Ind² (0) .
k
k=1
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 9
5 Zasada Ekstremum
Definicja. Niech f będzie funkcją holomorficzną w otwartym otoczeniu
punktu z0 oraz niech w0 = f(z0). Funkcja f przyjmuje w z0 wartość
w0 m-krotnie, gdy funkcja f(z) - w0 ma w tym punkcie m-krotne zero.
(Ponieważ f(z0) - w0 = w0 - w0 = 0, więc zawsze m e" 1.) Wtedy
f (z0) = · · · = f(m-1)(z0) = 0, f(m)(z0) = 0 .

Twierdzenie 5.1 Jeżeli f przyjmuje w z0 wartość w0 m-krotnie, to
" r0 " 0 < r < r0 " · > 0 takie, że
(i) f-1(w0) )" D(z0, r) = {z0},
(ii) dla każdego w " D (w0, ·), #(f-1(w) )" D(z0, r)) = m.
Twierdzenie 5.2 Jeżeli f " H(U) nie jest stała na żadnej składowej
zbioru otwartego U, to dla każdego zbioru otwartego U ‚" U, obraz
f(U ) jest otwarty w C.
Wniosek 5.3 (Zasada Ekstremum) Jeżeli zbiór U jest otwarty oraz
funkcja holomorficzna f " H(U) nie jest stała na żadnej składowej
zbioru U, to w żadnym punkcie zbioru U
" część rzeczywista funkcji f(z)
" część urojona funkcji f(z)
nie osiÄ…ga ekstremum, zaÅ›
" |f(z)|  moduł funkcji f(z)
nie osiaga maksimum.
Jeżeli ponadto f(z) nie przyjmuje wartości zero w żadnym punkcie
zbioru U, to moduł funkcji, czyli |f(z)|, nie osiąga też minimum w
żadnym punkcie zbioru U.
Wniosek 5.4 Jeżeli &! jest zbiorem zwartym oraz f " H(&!),to
" część rzeczywista funkcji f(z)
" część urojona funkcji f(z)
" |f(z)|  moduł funkcji f(z)
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 10
osiąga maksimum (oraz minimum w dwóch pierwszych przypadkach) wy-
łącznie w punktach należących do "&! = &! \ int(&!).
Podobnie minimum |f(z)|, o ile f nie przyjmuje wartości zero w
żadnym punkcie zbioru int(&!).
Twierdzenie 5.5 (O lokalnym odwracaniu funkcji) Jeżeli f jest ho-
lomorficzna w z0 oraz f (z0) = 0, to istnieje zbiór otwarty U0 z0 oraz

zbiór otwarty V0 w0 = f(z0) takie, że f : U0 V0 jest odwzorowa-
niem odwracalnym (nawet homeomorfizmem), ponadto f-1 : V0 U0
jest klasy C".
Ćwiczenie 5.6 f-1 : V0 U0 jest holomorficzna.
6 Twierdzenie Hurwitza
Twierdzenie 6.1 (Hurwitz) Niech (fn)" będzie ciągiem funkcji ho-
n=1
lomorficznych w zbiorze U zbieżnym jednostajnie do funkcji f (która
wtedy musi być holomorficzna).
Jeżeli f ma w punkcie z0 m-krotne zero, to w każdym dostatecznie
małym kole o środku w z0 prawie wszystkie funkcje fn mają dokładnie
m zer (z uwzględnieniem ich krotności).
Fakt 6.2 Niech (fn)" będzie ciągiem funkcji holomorficznych i różno-
n=1
wartościowych w obszarze U zbieżnym jednostajnie do funkcji f.
Wtedy f jest stała lub różnowartościowa.
Powyższe twierdzenia są spełnione również wtedy, gdy ciąg (fn) jest
niemal jednostajnie zbieżny.
Definicja. Ciag funkcji fn określonych na otwartym zbiorze U jest
¸
niemal jednostajnie zbieżny do funkcji f, gdy
" zbioru zwartego K ‚" U, " > 0
" N " z " K " n e" N |fn(z) - f(z)| < .
Wniosek 6.3 Ci¸ funkcji fn jest niemal jednostajnie zbieżny do f
ag
wtedy i tylko wtedy, gdy fn jest jednostajnie zbieżny do f na każdym
zbiorze zwartym K ‚" U.
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 11
Twierdzenie 6.4 (Tw. Weierstrassa) Załóżmy, że fn " H(U) oraz
fn f niemal jednostajnie.

Wtedy f " H(U), oraz fn f niemal jednostajnie.
Twierdzenie 6.5 (Hurwitz) Niech (fn)" będzie ciągiem funkcji ho-
n=1
lomorficznych w zbiorze U zbieżnym niemal jednostajnie do funkcji f
(która wtedy musi być holomorficzna).
Jeżeli f ma w punkcie z0 m-krotne zero, to w każdym dostatecznie
małym kole o środku w z0 prawie wszystkie funkcje fn mają dokładnie
m zer (z uwzględnieniem ich krotności).
Fakt 6.6 Niech (fn)" będzie ciągiem funkcji holomorficznych i różno-
n=1
wartościowych w obszarze U zbieżnym niemal jednostajnie do funkcji f.
Wtedy f jest stała lub różnowartościowa.
7 Rodziny normalne
Twierdzenie 7.1 (Arzeli, Ascoli) Załóżmy, że K jest przestrzenią
zwartą. Niech S będzie rodziną jednakowo ciągłych funkcji K C,
tzn.
" µ > 0 " ´ > 0 " f " S " x, x " K :
d(x, x ) < ´ Ò! |f(x) - f(x )| < µ ,
które są wspólnie ograniczone, tzn.
" M > 0 " x " K " f " S : |f(x)| < M .
Wówczas każdy ciÄ…g (fn) ‚" S posiada podciÄ…g jednostajnie zbieżny
na K.
Definicja. Niech R ‚" H(U). Rodzina R jest rodzinÄ… normalnÄ…, jeżeli
z każdego ciągu funkcji należących do R można wybrać podciąg niemal
jednostajnie zbieżny na U.
Rodzina R jest niemal ograniczona na U, jeżeli dla każdego zbioru
zwartego K ‚" U istnieje staÅ‚a M = M(K) taka, że
" z " K " f " R |f(z)| < M.
Fakt 7.2 Jeżeli rodzina R ‚" H(U) jest niemal ograniczona oraz K ‚"
U jest zbiorem zwartym, to z każdego ciagu funkcji należących do R
można wybrać podciąg jednostajnie zbieżny na K.
Twierdzenie 7.3 (Stieltjes-Osgood, Montel) Każda rodzina R ‚"
H(U) niemal ograniczona na U jest normalna.
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 12
8 Lemat Schwarza
Twierdzenie 8.1 (Lemat Schwarza) Niech f " H(D(0, R)). Jeżeli
f(0) = 0 oraz |f(z)| d" M dla z " D(0, R), to
(i) |f (0)| d" M/R,
(ii) |f(z)| d" (M/R)|z| dla z " D(0, R).
W nierównościach (i) lub (ii) zachodzi równość dla pewnego z0 = 0

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ¸ " R takie, że funkcja f ma postać
f(z) = (M/R)ei¸z.
9 Odwzorowania konforemne
Fakt 9.1 Jeżeli U ‚" C jest otwarty oraz f : U C jest holomorficzna
i różnowartościowa, to dla każdego z " U mamy f (z) = 0.

Fakt 9.2 Jeżeli U ‚" C jest otwarty oraz f : U C jest holomorficzna
i różnowartościowa, to W = f(U) jest otwarty oraz f-1 : W U jest
holomorficzna.
Wniosek 9.3 Jeżeli f jest holomorficzna w punkcie z0 oraz f (z0) = 0,

to w pewnym kole D(w0, ·) (gdzie w0 = f(z0)) istnieje holomorficzna
funkcja odwrotna f-1 taka, że (f-1) (w0) = 1/f (z0).
Definicja. Niech U, W ‚" C bÄ™dÄ… zbiorami otwartymi. Funkcja
h : U W odwzorowuje konforemnie U na W , gdy h jest różnowarto-
ściową funkcją holomorficzną.
Mówimy wtedy, że h jest odwzorowaniem konforemnym.
Wniosek 9.4 h-1 : W U jest też odwzorowaniem konforemnym.
Ponadto h : U W jest homeomorfizmem.
Fakt 9.5 Jeżeli U ‚" C jest zbiorem otwartym nie rozcinajÄ…cym pÅ‚asz-
czyzny oraz U = C, to istnieje odwzorowanie konforemne zbioru U na

taki zbiór W ‚" C, że C \ W ma niepuste wnÄ™trze.
Niech K = D(0, 1) = {z " C | |z| < 1} oznacza koło jednostkowe o
środku w zerze i promieniu 1.
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 13
Fakt 9.6 Jeżeli U ‚" C jest otwarty oraz C\U ma niepuste wnÄ™trze, to
istnieje podzbiór otwarty W ‚" K i odwzorowanie konforemne h : U
W .
Fakt 9.7 Jedynymi odwzorowaniami konforemnymi K na K sÄ… homo-
grafie postaci
z - a
h(z) = ei¸ ,
1 -

z
gdzie ¸ " R oraz |a| < 1.
Fakt 9.8 Jeżeli h : K K jest odwzorowaniem konforemnym, takim
że h(0) = 0, to h(z) = ei¸z.
Lemat 9.9 Jeżeli a " K, to
z - a
h0(z) =
1 -

z
przekształca konforemnie K K oraz h0(a) = 0.
Twierdzenie 9.10 (Riemann) Niech wÅ‚aÅ›ciwe podzbiory U, W ‚" C
będą obszarami jednospójnymi. Dla dowolnych a " U, b " W oraz
¸ " R istnieje dokÅ‚adnie jedno odwzorowanie konforemne h : U W
takie, że h(a) = b oraz arg h (a) = ¸.
Ćwiczenie 9.11 Jeżeli wÅ‚aÅ›ciwy podzbiór U ‚" C jest obszarem jedno-
spójnym, to nie istnieje odwzorowanie konforemne h : U C.
Ćwiczenie 9.12 Jeżeli h : C C jest odwzorowaniem konforemnym,
to h(z) = az+b (a = 0). (Wskazówka: Przypadek istotnej osobliwości w

punkcie " wykluczyć za pomocą twierdzenia Casoratiego-Weierstrassa.)
Ćwiczenie 9.13 Każde odwzorowanie konforemne półpłaszczyzny H =
{z " C | Im z > 0} w siebie jest homografiÄ… postaci
az + b
h(z) = ,
cz + d
gdzie a, b, c, d są takimi liczbami rzeczywistymi, że ad - bc = 1.
Twierdzenie 9.14 Jeżeli h : U W jest odwzorowaniem konforem-
nym, to h jest wszędzie wiernokątne z zachowaniem zwrotu.
Przykład. Funkcja f = z2 nie jest wiernokątna w punkcie z0 = 0.
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 14
Ćwiczenie 9.15 Jeżeli f(z) jest funkcją holomorficzną oraz f (z0) = 0,
to funkcja f nigdy nie jest wiernokÄ…tna w punkcie z0.
Dla 0 < r < R niech P (0; r, R) = {z " C | r < |z| < R}. Jeżeli
 > 0 to przekształcenie z z odwzorowuje konforemnie pierścień
P (0; r, R) na pierścień P (0; r, R) = P (0; r1, R1), i wtedy R1/r1 =
(R)/(r) = R/r.
Twierdzenie 9.16 Pierścienie P (0; r1, R1) oraz P (0; r2, R2) są konfo-
remnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy R1/r1 = R2/r2.
10 Aproksymacje funkcji holomorficznych
Twierdzenie 10.1 (Runge) Niech K ‚" C bÄ™dzie zbiorem zwartym,
oraz E będzie zbiorem mającym po jednym punkcie wspólnym z każdą
Å»
składową C \ K.
Dla dowolnej funkcji f holomorficznej na K i dowolnej liczby µ > 0
istnieje funkcja wymierna Q(z) mająca bieguny wyłącznie w zbiorze E
taka, że
|f(z) - Q(z)| < µ dla z " K .
Fakt 10.2 Niech K ‚" C bÄ™dzie zbiorem zwartym nie rozcinajÄ…cym
płaszczyzny.
Dla dowolnej funkcji f holomorficznej na K i dowolnej liczby µ > 0,
istnieje wielomian P (z) taki, że
|f(z) - P (z)| < µ dla z " K .
Ćwiczenie 10.3 Niech K = {z " C | 1 d" |z| d" 2} będzie zwartym
pierścieniem rozcinającym płaszczyznę. Funkcja f(z) = 1/z jest holo-
morficzna na K.
Czy istnieje wielomian P (z) taki, że |1/z - P (z)| < 1/100 dla z "
K?
11 Funkcje harmoniczne
Definicja. Funkcja rzeczywista u(x, y) dwóch zmiennych rzeczywistych
jest harmoniczna w zbiorze otwartym U ‚" R2, jeżeli jest klasy C2 oraz
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 15
spełnia równanie
"2u "2u
u = + = uxx + uyy a" 0
"x2 "y2
zwane równaniem różniczkowym Laplace a. Wyrażenie u nazywamy
laplasjanem funkcji u.
Przykład.
" Funkcje ln(x2 + y2), x2 - y2 sÄ… harmoniczne,
" funkcja x2 + y2 nie jest harmoniczna.
Fakt 11.1 (i) Każda funkcja stała jest harmoniczna.
(ii) Jeżeli u, v są harmoniczne oraz a, b, c " R, to funkcje au+b, uąv,
au + bv + c sÄ… harmoniczne.
Uwaga. Iloczyn dwóch funkcji harmonicznych może nie być funkcją
harmonicznÄ….
Fakt 11.2 Niech f = u + iv będzie funkcją holomorficzną na U. Wtedy
u oraz v sÄ… harmoniczne na U.
Twierdzenie 11.3 Niech U ‚" C bÄ™dzie zbiorem otwartym nie rozcina-
jącym płaszczyzny.
Dla dowolnej funkcji harmonicznej u(x, y) na U istnieje f " H(U)
taka, że u = Re f.
Wniosek 11.4 Niech U ‚" C bÄ™dzie zbiorem otwartym nie rozcinajÄ…cym
płaszczyzny.
Dla dowolnej funkcji harmonicznej u na zbiorze U istnieje funkcja v
harmoniczna na U taka, że f = u + i v jest holomorficzna na U.
Funkcję v nazywamy funkcją harmoniczną sprzężoną z funkcją u.
Wniosek 11.5 Funkcja harmoniczna jest klasy C".
Twierdzenie 11.6 (O identyczności) Jeżeli funkcje harmoniczne u1, u2
w obszarze U sÄ… równe na jakimÅ› niepustym otwartym zbiorze A ‚" U,
to u1 a" u2 na całym U.
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 16
Twierdzenie 11.7 (Zasada ekstremum) Funkcja harmoniczna u(x, y),
różna od stałej, nie osiąga w żadnym punkcie wewnętrznym (x0, y0)
swego obszaru istnienia U ani wartości największej, ani najmniejszej.
Twierdzenie 11.8 (O wartości średniej dla funkcji harmonicznych)
Jeżeli u(x, y) jest harmoniczna na U oraz a " U, to dla dostatecznie
małego r > 0:

2Ä„
1
u(a) = u(a + reit) dt .
2Ä„
0
(Można dowieść, że funkcje ciągłe które spełniają tezę Twierdzenia są
harmoniczne.)
Ćwiczenie 11.9 Udowodnij odpowiednik Wzoru Cauchy ego dla funkcji
harmonicznych:
Jeżeli u(x, y) = u(z) jest harmoniczna na U oraz punkt a " U, to
dla dostatecznie małego r > 0 oraz dowolnego z, takiego że |z - a| < r,
zachodzi równość

2Ä„
1 r2 - |z - a|2
u(z) = u(a + reit) dt.
2Ä„ |reit - (z - a)|2
0
Niech U ‚" C bÄ™dzie zbiorem otwartym i niech Õ : "U R bÄ™dzie
funkcją ciągłą.
Problem Dirichleta: Czy istnieje funkcja ciągła u : j
R, która jest
harmoniczna w U taka, że u | "U = Õ ?
Twierdzenie 11.10 Problem Dirichleta ma rozwiązanie na każdym kole
D(a, r), tzn.:
Jeżeli Õ : " D(a, r) R jest ciÄ…gÅ‚a, to funkcja u okreÅ›lona wzorem

2Ä„
1 r2 - |z - a|2
u(z) = Õ(a + reit) dt
2Ä„ |reit - (z - a)|2
0
dla z " D(a, r), oraz u(z) = Õ(z) dla z " " D(a, r), jest harmoniczna
Å»
w D(a, r) oraz ciągła na D(a, r).
12 Konstrukcje funkcji
Twierdzenie 12.1 (Mittag-Leffler) Niech A będzie takim podzbiorem
zbioru otwartego U, że każdy punkt a " A jest izolowany w A, tzn. ist-
nieje promień ra > 0 taki, że A )" D(a, ra) = {a}.
Funkcje Analityczne II  Notatki do wykładu, Instytut Matematyki UG 17
Jeżeli każdemu punktowi a " A przyporządkujemy liczbę naturalną
m(a) i funkcjÄ™ wymiernÄ… Pa postaci
m(a)

Pa(z) = cj,a(z - a)-j, cj,a " C,
j=1
to istnieje funkcja meromorficzna f na U, majÄ…ca bieguny tylko w zbio-
rze A taka, że dla każdego a " A jej część główna rozwinięcia w szereg
Laurenta w punkcie a jest równa Pa(z).
Twierdzenie 12.2 (Weierstrass) Niech A będzie takim podzbiorem
zbioru otwartego U, że każdy punkt a " A jest izolowany w A.
Jeżeli każdemu punktowi a " A przyporządkujemy liczbę całkowitą
m(a) = 0, to istnieje funkcja meromorficzna f na U, majÄ…ca zera oraz

bieguny tylko w zbiorze A, przy czym w punkcie a " A ma ona krotność
m(a).
Jeżeli wszystkie m(a) są dodatnie, to istnieje funkcja holomorficzna
na U mająca w każdym punkcie a " A zero krotności m(a).
Twierdzenie 12.3 (Poincaré) Funkcja meromorficzna w zbiorze otwar-
tym U jest ilorazem dwóch funkcji holomorficznych.
Twierdzenie 12.4 (Picard) Każda funkcja całkowita, która nie jest
wielomianem, przyjmuje każdą wartość (z wyjątkiem co najwyżej
jednej) nieskończenie wiele razy.
Przykład. Funkcja ez nie przyjmuje nigdzie wartości zero. Każdą inną
wartość przyjmuje nieskończenie wiele razy.
13 O dowodzie Twierdzenia Riemanna
Niech K = D(0, 1) = {z " C | |z| < 1} oznacza koło jednostkowe o
środku w zerze i promieniu 1.
Fakt 13.1 Niech U ‚" C bÄ™dzie otwartym wÅ‚aÅ›ciwym obszarem nie roz-
cinającym płaszczyzny, tzn. U = C jest otwarty, jednospójny. Wez
my

dowolny punkt a " U.
Istnieje różnowartościowa funkcja holomorficzna g : U K taka, że
g(a) = 0.
Z Faktu 9.1: g (a) = 0.

Niech P będzie rodziną wszystkich różnowartościowych funkcji holomor-
ficznych f : U K takich, że f(a) = 0.
Ponieważ g " P, więc rodzina P jest niepusta.
Fakt 13.2 Rodzina P jest rodzinÄ… normalnÄ…, tzn z każdego ciÄ…gu (fn) ‚"
P można wybrać podciąg niemal jednostajnie zbieżny na U.
Fakt 13.3 Zbiór {f (a) | f " P} jest ograniczony.
Niech M = sup{|f (a)| : f " P}. Wtedy
M e" |g (a)| > 0 ,
oraz istnieje ciÄ…g (fn) ‚" P taki, że

lim |fn(a)| = M .
Na mocy Twierdzenia Stieltjesa-Osgood a/Montela, można zakładać, że
ciąg (fn) jest niemal jednostajnie zbieżny do h " H(U).
h(a) = lim fn(a) = lim 0 = 0.

Z Twierdzenia Weierstrassa, (fn) jest niemal jednostajnie zbieżny do h .
Lemat 13.4 h (a) = 0, |h (a)| = M.

Lemat 13.5 h jest różnowartościowa.
Lemat 13.6 h(U) ‚" K.
Fakt 13.7 h " P.
Fakt 13.8 h(U) = K .
Fakt 13.9 Niech U ‚" C bÄ™dzie otwartym obszarem nie rozcinajÄ…cym
płaszczyzny, U = C, oraz a " U.

Wtedy istnieje odwzorowanie h przekształcające konforemnie U na
K takie, że h(a) = 0.
Twierdzenie 13.10 (Riemanna o odwzorowaniu) Niech właściwe
podzbiory U, W ‚" C bÄ™dÄ… obszarami jednospójnymi. Dla dowolnych
a " U, b " W oraz ¸ " R istnieje dokÅ‚adnie jedno odwzorowanie
konforemne h : U W takie, że h(a) = b oraz arg h (a) = ¸.
18