3-cie Kolokwium z RRC1 grupa A
Imie i nazwisko, numer albumu:
nr grupy:
1. Dobierz parametry a, b " tak, aby podana funkcja byla r żniczkowalna
na :
1
x arcctg + a, x > 0,
x
f(x) =
3x - exp(x - b), x 0.
2. Oblicz pochodna funkcji
h(x) = ln(cos 1 - x2).
3. Korzystajac z reguly de L Hospitala obliczyć granice
1
Ą
x-
2
lim (1 - cos x) .
Ą
x
2
4. Wyznaczyć przedzialy wypuklości, wkleslości i punkty przegiecia wykres w
funkcji
x
f(x) = 2x exp( ).
2
5. Wyznaczyć przedzialy monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f określonej
wzorem
"
2
3
f (x) = x2 6x - 7.
3
1A. Naszkicować jedna z sum Riemanna niebedaca ani suma dolna ani g rna
dla funkcji f (x) = x2 na przedziale [-2, 1] . Naszkicować sume dolna i sume
g rna dla tej funkcji na wskazanym przedziale.
1
"
2A. xpdx = dx =
1-x2
8
3A. Wiadomo, że calka f (x) dx wynosi 10 i że funkcja f jest ciagla. Ile
2
jest r wna wartość średnia tej funkcji na przedziale [2, 8].
4A. Sprawdzić, czy można, korzystajac z podstawowego twierdzenia rachunku
x
calkowego, obliczyć pochodna funkcji F (x) = f (t) dt w punkcie x0 = 1, jeżeli
0
sin t dla t = 1

f (t) = .
1 dla t = 1
5A. Podać podstawowe twierdzenie rachunku calkowego.
"
6A. Uzasadnić, że dla p > 1 calka xpdx jest zbieżna.
1
7A. Czy funkcja ograniczona f : [a, b] R, kt ra ma skończona liczbe
punkt w nieciaglości może być calkowalna?
8A. Sformulować twierdzenie o calkowaniu przez cześci.
9A. Kt ra z wlasności calki w sensie Riemanna nie przenosi sie na calke
niewlaściwa?
1
3-cie Kolokwium z RRC1 grupa B
Imie i nazwisko, numer albumu:
nr grupy:
1. Dobierz parametry a, b " tak, aby podana funkcja byla r żniczkowalna
na :
1
x arctg + a, x > 0,
x
f(x) =
3 + (x - b)2, x 0.
2. Oblicz pochodna funkcji
h(x) = exp(sin x2 - 1).
3. Korzystajac z reguly de L Hospitala obliczyć granice
1
lim x ln 1 + sin .
x"
x
4. Wyznaczyć przedzialy wypuklości, wkleslości i punkty przegiecia wykres w
funkcji
x
f(x) = 3x exp(- ).
3
5. Wyznaczyć przedzialy monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f określonej
wzorem
"
3
f (x) = 3x2 4x - 1.
1B. Naszkicować jedna z sum Riemanna niebedaca ani suma dolna ani g rna
dla funkcji f (x) = sin x na przedziale [0, Ą] . Naszkicować sume dolna i sume
g rna dla tej funkcji na wskazanym przedziale.
2B. sin xdx = exdx =
4
3B. Wiadomo, że calka f (x) dx wynosi -7 i że funkcja f jest ciagla. Ile
0
jest r wna wartość średnia tej funkcji na przedziale [0, 4].
4B. Sprawdzić, czy można, korzystajac z podstawowego twierdzenia rachunku
x
calkowego, obliczyć pochodna funkcji F (x) = f (t) dt w punkcie x0 = 1, jeżeli
0
cos t dla t = Ą

f (t) = .
-1 dla t = Ą
5B. Podać twierdzenie Newtona-Leibnitza.
"
6B. Uzasadnić, że dla p < 1 calka xpdx jest rozbieżna.
1
7B. Czy każda funkcja ciagla f : [a, b] R jest calkowalna w sensie Rie-
manna?
8B. Sformulować twierdzenie o calkowaniu przez podstawienie.
9B. Kt re ze znanych wzor w na pochodne maja odpowiedniki wsr d
wzor w na calki - chodzi o dzialania arytmetyczne.
2
3-cie Kolokwium z RRC1 grupa C
Imie i nazwisko, numer albumu:
nr grupy:
1. Dobierz parametry a, b " tak, aby podana funkcja byla r żniczkowalna
na :
3 + exp(x - b), x 0
f(x) =
1
x arcctg + a, x < 0.
x
2. Oblicz pochodna funkcji
h(x) = cos(ln 1 - x2).
3. Korzystajac z reguly de L Hospitala obliczyć granice
1 1
x x
lim x 2 - 2- .
x"
4. Wyznaczyć przedzialy wypuklości, wkleslości i punkty przegiecia wykres w
funkcji
x
f(x) = -2x exp( ).
2
5. Wyznaczyć przedzialy monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f określonej
wzorem
"
1
3
f (x) = x2 6x - 2.
3
1C. Naszkicować jedna z sum Riemanna niebedaca ani suma dolna ani g rna
dla funkcji f (x) = x3 na przedziale [0, 4] . Naszkicować sume dolna i sume g rna
dla tej funkcji na wskazanym przedziale.
1
2C. cos xdx = dx =
1+x2
9
3C. Wiadomo, że calka f (x) dx wynosi 5 i że funkcja f jest ciagla. Ile
0
jest r wna wartość średnia tej funkcji na przedziale [0, 9].
4C. Sprawdzić, czy można, korzystajac z podstawowego twierdzenia rachunku
x
calkowego, obliczyć pochodna funkcji F (x) = f (t) dt w punkcie x0 = 1, jeżeli
0
Ą
sin t dla t =

2
f (t) = .
Ą
1 dla t =
2
5C. Podać warunek wystarczajacy istnienia calki niewlaściwej.
1
6C. Uzasadnić, że dla p > 1 calka xpdx jest rozbieżna.
0
7C. Czy każda funkcja ograniczona f : [a, b] R jest calkowalna w sensie
Riemanna?
8C. Sformulować twierdzenie o dzialaniach arytmetycznych na calce Rie-
manna.
9C. Czy zmiana wartości funkcji calkowalnej w skończonej ilości punkt w
wplynie na wartość calki?
3
3-cie Kolokwium z RRC1 grupa D
Imie i nazwisko, numer albumu:
nr grupy:
1. Dobierz parametry a, b " tak, aby podana funkcja byla r żniczkowalna
na :
3 + (b - x)3, x 0
f(x) =
1
x arctg + a, x < 0.
x
2. Oblicz pochodna funkcji
h(x) = sin(exp x2 - 1).
3. Korzystajac z reguly de L Hospitala obliczyć granice
x 1
lim - .
x1 - 1 ln x
x
4. Wyznaczyć przedzialy wypuklości, wkleslości i punkty przegiecia wykres w
funkcji
x
f(x) = -3x exp(- ).
3
5. Wyznaczyć przedzialy monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f określonej
wzorem
"
3
f (x) = 5x2 3x - 4.
1D. Naszkicować jedna z sum Riemanna niebedaca ani suma dolna ani g rna
Ą Ą
dla funkcji f (x) = cos x na przedziale - , . Naszkicować sume dolna i sume
2 2
g rna dla tej funkcji na wskazanym przedziale.
1
2D. axdx = dx =
x
12
3D. Wiadomo, że calka f (x) dx wynosi 0 i że funkcja f jest ciagla. Ile
0
jest r wna wartość średnia tej funkcji na przedziale [0, 12].
4D. Sprawdzić, czy można, korzystajac z podstawowego twierdzenia rachunku
x
calkowego, obliczyć pochodna funkcji F (x) = f (t) dt w punkcie x0 = 1, jeżeli
0
cos t dla t = 1

f (t) = .
-1 dla t = 1
5D. Podać calkowe twierdzenie o wartości średniej.
1
6D. Uzasadnić, że dla p < 1 calka xpdx jest zbieżna.
0
x
d
7D. Jaka musi być funkcja f : [a, b] R, aby zachodzila relacja f (x) dx =
dx a
f (x) dla wszystkich x " (a, b).
8D. Sformulować twierdzenie o warunkach wystarczajacych calkowalności w
sensie Riemanna.
9D. Kiedy wartość gl wna calki niewlaściwej jest r wna wartości takiej calki?
4