Wydział Elektroniki
Katedra Radiokomunikacji i Teleinformatyki
Wrocław
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
2.3 WYKA
AD:
Widmo Energii, Pasmo, Twierdzenie o Próbkowaniu
© Dr hab. inż. Wojciech J. Krzysztofik
©
©
©
2.3. WIDMO ENERGII SYGNAA
U
Niech funkcje f1(t) i f2(t) będą bezwzględnie całkowalne, oraz
niech istnieją całki z modułu tych funkcji.
Można wówczas zapisać następującą relację:
" "
F1(É) Å"F2(É) = ( f1(Ä)Å" e-jÉÄdÄ)Å"( f2(Ä) Å" e-jÉzdz)
+" +"
-" -"
Podstawmy: z = t-Ä; dz = dt
" " "
F1(É)Å"F2(É) = f1(Ä)Å" e-jÉÄ Å"[ f2(t - Ä)Å" e-jÉ(t-Ä)dt]Å" dÄ =
1
+" +" +"[f (Ä)Å" f2(t - Ä)Å" dÄ]e-jÉtdt
-" -" -"
Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia !-1 {.} otrzymamy:
" "
1
f1(Ä)Å" f2(t - Ä) Å" dÄ =
1
+" +"F (É)Å"F2(É)Å" ejÉtdÉ
2Ä„
-" -"
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 2
©
©
©
©
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3. WIDMO ENERGII SYGNAA
U
Dla t=0, po zamianie Ä na t otrzymujemy
" "
1
f1(t)Å" f2(-t)Å" dt =
1
+" +"F (É)Å"F2(É)Å" dÉ
2Ä„
-" -"
Obliczmy
" " "
"
!{f2(- t)} = f2(-t)Å" e-jÉtdt = - f2(t) Å" ejÉtdt = f2(t)Å" ejÉtdt =F2(-É) = F2(É)
+" +" +"
-" -" -"
Zatem
" "
1
f1(t)Å" f2(t)Å" dt =
1
+" +"F (É)Å"F2(-É)Å" dÉ
2Ä„
-" -"
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 3
©
©
©
©
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3. WIDMO ENERGII SYGNAA
U
Przyjmujemy teraz f1(t) = f(t); f2(t)= f*(t), wówczas:
" "
RÓWNOŚĆ PARSEVAL A
2 1 2
( 2.2.18)
f(t) Å" dt = F(É) Å" dÉ
dla ciągłego
+" +"
2Ä„
przekształcenia Fourier a
-" -"
G
STOŚĆ WIDMOWA
ENERGIA SYGNAA
U
ENERGII
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 4
©
©
©
©
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.1. SZEROKOŚĆ PASMA
Należy podkreślić, że wszelkie problemy dotyczące
szerokości widma mogą być rozstrzygnięte tylko na
drodze UMOWY, gdyż teoretycznie  widmo sygnału jest
rozÅ‚ożone w caÅ‚ym przedziale É" ", "
É"(- " ").
É" " "
É" " "
Powszechnie przyjmuje się, że graniczną częstotliwością
widma jest taka częstotliwość, dla której w przedziale
(-Édmax,, Égmax) zawarte jest 99 % energii.
Korzystając z RÓWNOŚCI PARSEVAL A można zapisać:
( 2.2.19)
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 5
©
©
©
©
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.1. SZEROKOŚĆ PASMA
Dolną i górną częstotliwość graniczną
wyznaczamy, odpowiednio:
DOLN
Éd
Éd
"
1 2 2
F(É) Å" dÉ = 0,005 f(t) dt (
+" +"
2.2.20)
2Ä„
-Éd -"
GÓRN
Ég
Ég
"
1 2 2
( 2.2.21)
F(É) Å" dÉ = 0,995 f(t) dt
+" +"
2Ä„
Éd -"
Znajomość szerokoÅ›ci pasma B = Ég - Éd
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 6
©
©
©
©
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Z pojęciem częstotliwości granicznej widma sygnału wią\
e siÄ™
własność sygnałów polegająca na mo\
liwości reprezentowania
sygnałów ciągłych (o ograniczonym widmie) za pomocą zbioru
dyskretnych próbek.
Niech bÄ™dÄ… zadane sygnaÅ‚ f (t) i jego widmo F (É), zawarte w przedziale
(-Ég, Ég).
Rozwa\
my SYGNAA
SKWANTOWANY czasowo, tzn.
Iloczyn sygnału f(t) oraz okresowego ciągu dystrybucji Delta-Dirac a
fp(t) = f (t) ´T(t)
( 2.2.22)
KorzystajÄ…c z wÅ‚asnoÅ›ci iloczynu f (t) i ´(t) mo\
na zapisać:
"
(
fp(t) =
"f(kT ) Å" ´(t - kTp)
p
2.2.23)
k=-"
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 7
©
©
©
©
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
f (t)
F (É)
! { . }
!
!
!
t
É
´T(t) ´T(t) - Ég Ég
Rys. 2.3.1.
"É (É)
p
2Ä„
Tp
É
t
0 Tp 2Tp 3Tp .
-2Ä„/Tp 0 2Ä„/Tp 4Ä„/Tp .
Fp(É)=F(É) " "É (É)
p
fp(t) = f(t) ´T(t)
H(jÉ)
"
t
É
-Ép - Ég Ég 2Ä„ Ép 8
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik
©
©
©
©
Tp 2.3 Podstawy Telekomunikacji
Tp
2.3.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
( 2.2.24 )
Widmo sygnału skwantowanego
"
Fp(É) = !{f(t) Å" ´T(t)} = !{f(t)} " !{´T(t)} = Ép Å"
"F(É - kÉp)
k=-"
Je\
eli widmo sygnału jest ograniczone, to sygnał skwantowany mo\
na
przedstawić w dziedzinie częstotliwości jak na rys. 15.5.
Je\
eli "e"0, to część widma Fp(É) w otoczeniu (k Ép), k= 0, Ä…1, Ä…2, & bÄ™dzie
identyczna z widmem sygnału f(t).
( Ép = 2Ä„/Tp )
DA
UGOŚĆ INTERWAA
U NYQUISTA
( 2.2.25 )
Ég
1
Ép - 2Ég e" 0 e" 2 lub Ép e" 2Ég
Tp 2Ä„
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 9
©
©
©
©
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Sygnał o ograniczonym widmie jest jednoznacznie określony przez swoje
wartości f(kT), le\
ące w równych odstępach czasu T, nie większych ni\
Ä„/Ég,
gdzie Ég jest pulsacjÄ… granicznÄ… widma.
Sygnał f(t) może być odtworzony na podstawie znajomości sygnału
skwantowanego fp(t), po przepuszczeniu jego przez idealny filtr
dolnoprzepustowy H(jÉ).
Rys. 2.3.2.
H(jÉ) = 1(É + Ég) - 1(É - Ég)
"
"
1
F(É) = [2Ég
Fp(É) = 2Ég
"F(É - 2kÉg)]Å"H(jÉ)
"F(É - 2kÉg)
-"
-"
É
-Ég Ég
©
©
© Dr inż. W.J. Krzysztofik 10
©
CHARAKTERYSTYKA
1.4 Podstawy Telekomunikacji
IMPULSOWA FILTRU