Wydział Elektroniki
Katedra Radiokomunikacji i Teleinformatyki
Wrocław
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
2.3 WYKA
AD:
Widmo Energii, Pasmo, Twierdzenie o Próbkowaniu
� Dr hab. inż. Wojciech J. Krzysztofik
�
�
�
2.3. WIDMO ENERGII SYGNAA
U
Niech funkcje f1(t) i f2(t) będą bezwzględnie całkowalne, oraz
niech istnieją całki z modułu tych funkcji.
Można wówczas zapisać następującą relację:
" "
F1(�) �"F2(�) = ( f1(�)�" e-j��d�)�"( f2(�) �" e-j�zdz)
+" +"
-" -"
Podstawmy: z = t-�; dz = dt
" " "
F1(�)�"F2(�) = f1(�)�" e-j�� �"[ f2(t - �)�" e-j�(t-�)dt]�" d� =
1
+" +" +"[f (�)�" f2(t - �)�" d�]e-j�tdt
-" -" -"
Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia !-1 {.} otrzymamy:
" "
1
f1(�)�" f2(t - �) �" d� =
1
+" +"F (�)�"F2(�)�" ej�td�
2Ą
-" -"
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 2
�
�
�
�
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3. WIDMO ENERGII SYGNAA
U
Dla t=0, po zamianie � na t otrzymujemy
" "
1
f1(t)�" f2(-t)�" dt =
1
+" +"F (�)�"F2(�)�" d�
2Ą
-" -"
Obliczmy
" " "
"
!{f2(- t)} = f2(-t)�" e-j�tdt = - f2(t) �" ej�tdt = f2(t)�" ej�tdt =F2(-�) = F2(�)
+" +" +"
-" -" -"
Zatem
" "
1
f1(t)�" f2(t)�" dt =
1
+" +"F (�)�"F2(-�)�" d�
2Ą
-" -"
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 3
�
�
�
�
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3. WIDMO ENERGII SYGNAA
U
Przyjmujemy teraz f1(t) = f(t); f2(t)= f*(t), wówczas:
" "
RÓWNOŚĆ PARSEVAL A
2 1 2
( 2.2.18)
f(t) �" dt = F(�) �" d�
dla ciągłego
+" +"
2Ą
przekształcenia Fourier a
-" -"
G
STOŚĆ WIDMOWA
ENERGIA SYGNAA
U
ENERGII
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 4
�
�
�
�
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.1. SZEROKOŚĆ PASMA
Należy podkreślić, że wszelkie problemy dotyczące
szerokości widma mogą być rozstrzygnięte tylko na
drodze UMOWY, gdyż teoretycznie  widmo sygnału jest
rozłożone w całym przedziale �" ", "
�"(- " ").
�" " "
�" " "
Powszechnie przyjmuje się, że graniczną częstotliwością
widma jest taka częstotliwość, dla której w przedziale
(-�dmax,, �gmax) zawarte jest 99 % energii.
Korzystając z RÓWNOŚCI PARSEVAL A można zapisać:
( 2.2.19)
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 5
�
�
�
�
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.1. SZEROKOŚĆ PASMA
Dolną i górną częstotliwość graniczną
wyznaczamy, odpowiednio:
DOLN
�d
�d
"
1 2 2
F(�) �" d� = 0,005 f(t) dt (
+" +"
2.2.20)
2Ą
-�d -"
GÓRN
�g
�g
"
1 2 2
( 2.2.21)
F(�) �" d� = 0,995 f(t) dt
+" +"
2Ą
�d -"
Znajomość szerokości pasma B = �g - �d
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 6
�
�
�
�
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Z pojęciem częstotliwości granicznej widma sygnału wią\
e się
własność sygnałów polegająca na mo\
liwości reprezentowania
sygnałów ciągłych (o ograniczonym widmie) za pomocą zbioru
dyskretnych próbek.
Niech będą zadane sygnał f (t) i jego widmo F (�), zawarte w przedziale
(-�g, �g).
Rozwa\
my SYGNAA
SKWANTOWANY czasowo, tzn.
Iloczyn sygnału f(t) oraz okresowego ciągu dystrybucji Delta-Dirac a
fp(t) = f (t) �T(t)
( 2.2.22)
Korzystając z własności iloczynu f (t) i �(t) mo\
na zapisać:
"
(
fp(t) =
"f(kT ) �" �(t - kTp)
p
2.2.23)
k=-"
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 7
�
�
�
�
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
f (t)
F (�)
! { . }
!
!
!
t
�
�T(t) �T(t) - �g �g
Rys. 2.3.1.
"� (�)
p
2Ą
Tp
�
t
0 Tp 2Tp 3Tp .
-2Ą/Tp 0 2Ą/Tp 4Ą/Tp .
Fp(�)=F(�) " "� (�)
p
fp(t) = f(t) �T(t)
H(j�)
"
t
�
-�p - �g �g 2Ą �p 8
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
Tp 2.3 Podstawy Telekomunikacji
Tp
2.3.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
( 2.2.24 )
Widmo sygnału skwantowanego
"
Fp(�) = !{f(t) �" �T(t)} = !{f(t)} " !{�T(t)} = �p �"
"F(� - k�p)
k=-"
Je\
eli widmo sygnału jest ograniczone, to sygnał skwantowany mo\
na
przedstawić w dziedzinie częstotliwości jak na rys. 15.5.
Je\
eli "e"0, to część widma Fp(�) w otoczeniu (k �p), k= 0, ą1, ą2, & będzie
identyczna z widmem sygnału f(t).
( �p = 2Ą/Tp )
DA
UGOŚĆ INTERWAA
U NYQUISTA
( 2.2.25 )
�g
1
�p - 2�g e" 0 e" 2 lub �p e" 2�g
Tp 2Ą
Dr hab. inż. W.J. Krzysztofik 9
�
�
�
�
2.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Sygnał o ograniczonym widmie jest jednoznacznie określony przez swoje
wartości f(kT), le\
ące w równych odstępach czasu T, nie większych ni\
Ą/�g,
gdzie �g jest pulsacją graniczną widma.
Sygnał f(t) może być odtworzony na podstawie znajomości sygnału
skwantowanego fp(t), po przepuszczeniu jego przez idealny filtr
dolnoprzepustowy H(j�).
Rys. 2.3.2.
H(j�) = 1(� + �g) - 1(� - �g)
"
"
1
F(�) = [2�g
Fp(�) = 2�g
"F(� - 2k�g)]�"H(j�)
"F(� - 2k�g)
-"
-"
�
-�g �g
�
�
� Dr inż. W.J. Krzysztofik 10
�
CHARAKTERYSTYKA
1.4 Podstawy Telekomunikacji
IMPULSOWA FILTRU